Fisica 1 Sears 14a ed-1 - Física (2024)

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14eeMECÂNICAYOUNG & FREEDMANIFÍSICASEARS & ZEMANSKYMECÂNICAIFÍSICAMECÂNICAIFÍSICA14e YOUNG & FREEDMANSEARS & ZEMANSKY14e YOUNG & FREEDMANSEARS & ZEMANSKY14eMECÂNICAYOUNG & FREEDMANIFÍSICASEARS & ZEMANSKY14eMECÂNICAYOUNG & FREEDMANIFÍSICASEARS & ZEMANSKYHugh D. YoungRoger A. FreedmanUniversidade da Califórnia, Santa BárbaraColaboradorA. Lewis FordUniversidade A&M do TexasTradutor:Daniel VieiraRevisão técnica:Adir Moysés LuizDoutor em ciênciaProfessor associado aposentado do Instituto de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro2015Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos àPearson Education do Brasil Ltda.,uma empresa do grupo Pearson EducationRua Nelson Francisco, 26CEP 02712-100 – São Paulo – SP – BrasilFone: 11 2178-8686 – Fax: 11 2178-8688vendas@pearson.comDados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)Young, Hugh D. Física I, Sears e Zemansky : mecânica / Hugh D. Young, Roger A. Freedman ; colaborador A. Lewis Ford; tradução Daniel Vieira; revisão técnica Adir Moysés Luiz. – 14. ed. – São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016. Bibliografia ISBN 978-85-4301-813-31. Física 2. Mecânica I. Freedman, Roger A.. II. Ford, A. Lewis. III. Título.15-07465 CDD-530Índice para catálogo sistemático:1. Física 530©2016 by Pearson Education do Brasil Ltda.Copyright © 2016, 2014, 2012 by Pearson, Inc.Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Pearson Education do Brasil.Gerente editorial Thiago AnacletoSupervisora de produção editorial Silvana AfonsoCoordenador de produção editorial Jean XavierEditor de aquisições Vinícius SouzaEditora de texto Sabrina LevensteinasEditor assistente Marcos Guimarães e Karina OnoPreparação Renata Siqueira CamposRevisão Arlete SousaCapa Solange RennóProjeto gráfico e diagramação Casa de IdeiasFÍSICA IMECÂNICA 1 UNIDADES, GRANDEZAS FÍSICAS E VETORES 1 1.1 A natureza da física 2 1.2 Solução de problemas de física 2 1.3 Padrões e unidades 4 1.4 Utilização e conversão de unidades 6 1.5 Incerteza e algarismos significativos 8 1.6 Estimativas e ordens de grandeza 11 1.7 Vetores e soma vetorial 11 1.8 Componentes de vetores 15 1.9 Vetores unitários 20 1.10 Produtos de vetores 21 Resumo 27 Problemas/Exercícios/Respostas 29 2 MOVIMENTO RETILÍNEO 37 2.1 Deslocamento, tempo e velocidade média 38 2.2 Velocidade instantânea 40 2.3 Aceleração instantânea e aceleração média 44 2.4 Movimento com aceleração constante 48 2.5 Queda livre de corpos 55 2.6 Velocidade e posição por integração 58 Resumo 61 Problemas/Exercícios/Respostas 63 3 MOVIMENTO EM DUAS OU TRÊS DIMENSÕES 73 3.1 Vetor posição e vetor velocidade 73 3.2 Vetor aceleração 77 3.3 Movimento de um projétil 82 3.4 Movimento circular 90 3.5 Velocidade relativa 94 Resumo 99 Problemas/Exercícios/Respostas 100 4 LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO 110 4.1 Força e interações 111 4.2 Primeira lei de Newton 114 4.3 Segunda lei de Newton 119 4.4 Massa e peso 126 4.5 Terceira lei de Newton 128 4.6 Exemplos de diagramas do corpo livre 132 Resumo 134 Problemas/Exercícios/Respostas 135 5 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON 143 5.1 Uso da primeira lei de Newton: partículas em equilíbrio 143SUMÁRIO 5.2 Uso da segunda lei de Newton: dinâmica de partículas 149 5.3 Forças de atrito 157 5.4 Dinâmica do movimento circular 166 5.5 Forças fundamentais da natureza 172 Resumo 174 Problemas/Exercícios/Respostas 176 6 TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA 190 6.1 Trabalho 191 6.2 Energia cinética e o teorema do trabalho-energia 196 6.3 Trabalho e energia com forças variáveis 202 6.4 Potência 209 Resumo 212 Problemas/Exercícios/Respostas 213 7 ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 223 7.1 Energia potencial gravitacional 223 7.2 Energia potencial elástica 233 7.3 Forças conservativas e forças não conservativas 240 7.4 Força e energia potencial 244 7.5 Diagramas de energia 247 Resumo 249 Problemas/Exercícios/Respostas 251 8 MOMENTO LINEAR, IMPULSO E COLISÕES 261 8.1 Momento linear e impulso 262 8.2 Conservação do momento linear 267 8.3 Conservação do momento linear e colisões 272 8.4 Colisões elásticas 277 8.5 Centro de massa 281 8.6 Propulsão de um foguete 285 Resumo 289 Problemas/Exercícios/Respostas 290 9 ROTAÇÃO DE CORPOS RÍGIDOS 302 9.1 Velocidade angular e aceleração angular 302 9.2 Rotação com aceleração angular constante 308 9.3 Relações entre a cinemática linear e a angular 310 9.4 Energia no movimento de rotação 314 9.5 Teorema dos eixos paralelos 319 9.6 Cálculos do momento de inércia 320 Resumo 323 Problemas/Exercícios/Respostas 324VI Física I 10 DINÂMICA DO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO 335 10.1 Torque 335 10.2 Torque e aceleração angular de um corpo rígido 338 10.3 Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo móvel 342 10.4 Trabalho e potência no movimento de rotação 349 10.5 Momento angular 351 10.6 Conservação do momento angular 354 10.7 Giroscópios e precessão 358 Resumo 361 Problemas/Exercícios/Respostas 363 11 EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE 375 11.1 Condições de equilíbrio 376 11.2 Centro de gravidade 376 11.3 Solução de problemas de equilíbrio de corpos rígidos 380 11.4 Tensão, deformação e módulos de elasticidade 384 11.5 Elasticidade e plasticidade 391 Resumo 392 Problemas/Exercícios/Respostas 394FÍSICA IITERMODINÂMICA E ONDAS 12 GRAVITAÇÃO 12.1 Lei de Newton da gravitação 12.2 Peso 12.3 Energia potencial gravitacional 12.4 Movimento de satélites 12.5 As leis de Kepler e o movimento de planetas 12.6 Distribuição esférica de massa 12.7 Peso aparente e rotação da terra 12.8 Buraco negro Resumo Problemas/exercícios/respostas 13 MOVIMENTO PERIÓDICO 13.1 Causas da oscilação 13.2 Movimento harmônico simples 13.3 Energia no movimento harmônico simples 13.4 Aplicações do movimento harmônico simples 13.5 O pêndulo simples 13.6 O pêndulo físico 13.7 Oscilações amortecidas 13.8 Oscilações forçadas e ressonância Resumo Problemas/exercícios/respostas 14 MECÂNICA DOS FLUIDOS 14.1 Gases, líquidos e densidade 14.2 Pressão em um fluido 14.3 Empuxo 14.4 Escoamento de um fluido 14.5 Equação de Bernoulli 14.6 Viscosidade e turbulência Resumo Problemas/exercícios/respostas 15 ONDAS MECÂNICAS 15.1 Tipos de ondas mecânicas 15.2 Ondas periódicas 15.3 Descrição matemática das ondas 15.4 Velocidade de uma onda transversal 15.5 Energia no movimento ondulatório 15.6 Interferência de ondas, condições de contorno de uma corda e princípio da superposição 15.7 Ondas sonoras estacionárias em uma corda 15.8 Modos normais de uma corda Resumo Problemas/exercícios/respostas 16 SOM E AUDIÇÃO 16.1 Ondas sonoras 16.2 Velocidade das ondas sonoras 16.3 Intensidade do som 16.4 Ondas estacionárias e modos normais 16.5 Ressonância e som 16.6 Interferência de ondas 16.7 Batimentos 16.8 O efeito Doppler 16.9 Ondas de choque Resumo Problemas/exercícios/respostas 17 TEMPERATURA E CALOR 17.1 Temperatura e equilíbrio térmico 17.2 Termômetros e escalas de temperatura 17.3 Termômetro de gás e escala Kelvin 17.4 Expansão térmica 17.5 Quantidade de calor 17.6 Calorimetria e transições de fase 17.7 Mecanismos de transferência de calor Resumo Problemas/exercícios/respostas 18 PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA 18.1 Equações de estado 18.2 Propriedades moleculares da matéria 18.3 Modelo cinético-molecular de um gás ideal 18.4 Calor específico 18.5 Velocidades moleculares 18.6 Fasespor meio de múltiplos de 10 ou de 110. Logo, um quilômetro (1 km) é igual a 1000 metros, e um centímetro (1 cm) é igual a 1100 metros. Normalmente, escrevemos múltiplos de 10 ou de 110 usando notação exponencial: 1000 � 103, 11000 � 10�3 e assim por diante. Usando essa notação, 1 km � 103 m e 1 cm � 10�2 m.Os nomes das demais unidades são obtidos adicionando-se um prefixo ao nome da unidade fundamental. Por exemplo, o prefixo “quilo”, abreviado por k, significa sempre um múltiplo de 1000, portanto: quilômetro 1 = 1 km = 103 metros = 1033 m 1 quilograma = 1 kg = 103 gramas = 10 gquilowatt1 = 1 kW = 103 watts = 103 WOs prefixos padronizados do SI são indicados no Apêndice A, com as respecti-vas abreviações e significados.A Tabela 1.1 apresenta diversos exemplos do uso dos prefixos que desig-nam múltiplos de 10 para unidades de comprimento, massa e tempo. A Fi-gura 1.5 mostra como esses prefixos ajudam a descrever tanto longas quanto curtas distâncias.Figura 1.4 O objeto de metal cuidadosamente confinado nesses recipientes aninhados de vidro é o padrão internacional do quilograma.6 Física ITABELA 1.1 Algumas unidades de medida de comprimento, massa e tempo.Comprimento Massa Tempo1 nanômetro � 1 nm � 10–9 m (algumas vezes maior que o maior átomo)1 micrograma � 1 mg � 10–6 g � 10–9 kg (massa de uma partícula muito pequena de poeira)1 nanossegundo � 1 ns � 10–9 s (tempo para a luz percorrer 0,3 m)1 micrômetro � 1 mm � 10–6 m (tamanho de uma bactéria e outras células)1 miligrama � 1 mg � 10–3 g � 10–6 kg (massa de um grão de sal)1 microssegundo � 1 ms � 10–6 s (tempo para um satélite percorrer 8 mm)1 milímetro � 1 mm � 10–3 m (diâmetro do ponto feito por uma caneta)1 grama � 1 g � 10–3 kg (massa de um clipe de papel)1 milissegundo � 1 ms � 10–3 s (tempo para o som percorrer 3 cm)1 centímetro � 1 cm � 10–2 m (diâmetro de seu dedo mínimo)1 quilômetro � 1 km � 103 m (percurso em uma caminhada de 10 minutos)Figura 1.5 Alguns comprimentos típicos no universo.Nota: (f) é uma imagem de microscópio eletrônico dos átomos dispostos sobre a superfície de um cristal; (g) é representado de forma artística(a) 1026 m Limite do universo observável(b) 1011 m Distância até o Sol (c) 107 m Diâmetro da Terra(d) 1 m Dimensão humana (e) 10–5 m Diâmetro de um glóbulo vermelho(f) 10–10 m Raio de um átomo (g) 10–14 m Raio de um núcleo atômicoSistema inglêsPor fim, mencionamos o sistema inglês de unidades de medida. Essas unida-des são usadas somente nos Estados Unidos e em apenas alguns outros países e, na maioria deles, elas estão sendo substituídas pelas unidades de medida SI. As unidades de medida inglesas são oficialmente definidas em termos das unidades de medida SI, como pode ser visto a seguir: Comprimento: 1 polegada � 2,54 cm (exatamente) Força: 1 libra � 4,448221615260 newtons (exatamente)O newton, abreviado como N, é a unidade de força do SI. A unidade inglesa de tempo é o segundo, definida da mesma forma que no SI. Na física, as unidades in-glesas são usadas somente em mecânica e termodinâmica; não há sistema inglês de unidades elétricas.Neste livro, usamos as unidades SI para todos os exemplos e problemas. Ao resolver os problemas com unidades SI, pode ser que você queira convertê-las para os equivalentes aproximados ingleses, caso esteja mais familiarizado com eles (Figura 1.6). Mas recomendamos que tente pensar o máximo possível em unidades SI.1.4 UTILIZAÇÃO E CONVERSÃO DE UNIDADESUsamos equações para relacionar grandezas físicas representadas por símbo-los algébricos. A cada símbolo algébrico, sempre associamos um número e uma Figura 1.6 Muitos itens utilizam tanto as unidades SI quanto as inglesas. Por exemplo, o velocímetro de um automóvel montado nos Estados Unidos, que mostra a velocidade tanto em quilômetros por hora (escala interna) quanto em milhas por hora (escala externa).Capítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 7unidade. Por exemplo, d pode representar uma distância de 10 m, t, um tempo de 5 s e v, uma velocidade de 2 m/s.Uma equação deve sempre possuir coerência dimensional. Não se pode so-mar automóvel com maçã; dois termos só podem ser somados ou equacionados caso possuam a mesma unidade. Por exemplo, se um corpo se move com veloci-dade constante v e se desloca a uma distância d em um tempo t, essas grandezas podem ser relacionadas pela equação:d = vtCaso d seja medido em metros, então o produto vt também deve ser expresso em metros. Usando os valores anteriores como exemplo, podemos escrever:10 m = a2 msb (5 s)Como a unidade s do denominador do membro direito da equação é cancelada com a unidade s, o produto possui unidade de metro, como esperado. Nos cál-culos, as unidades são tratadas do mesmo modo que os símbolos algébricos na divisão e na multiplicação.ATENÇÃO Sempre use unidades em cálculos. Quando os cálculos envolvem números com unidades em um problema, recomendamos que você sempre escreva os números com as respectivas unidades, como no exemplo anterior. Isso permite que se faça uma verificação útil dos cálculos. Se, em um estágio da solução, você notar alguma inconsis-tência de unidades, saberá que cometeu um erro em alguma etapa. Neste livro, sempre escreveremos as unidades em todos os cálculos e recomendamos enfaticamente que você siga essa prática na solução de problemas.ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 1.2 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE FÍSICAIDENTIFICAR os conceitos relevantes: na maioria dos casos, é melhor usar as unidades fundamentais do SI (comprimento em metros, massa em quilogramas e tempo em segundos) na solução de um problema. Caso necessite da resposta em um conjunto diferente de unidades (como quilômetros, gramas ou horas), deixe para fazer a conversão ao final do problema.PREPARAR o problema e EXECUTAR a solução: na divisão e na multiplicação, as unidades são tratadas como se fossem sím-bolos algébricos comuns. Isso proporciona um método fácil para converter unidades. A ideia básica é que podemos ex-pressar a mesma grandeza com duas unidades diferentes e fazer uma igualdade.Por exemplo, quando dizemos que 1 min � 60 s, não quere-mos dizer que 1 seja igual a 60; queremos dizer que 1 min corresponde ao mesmo intervalo de 60 s. Por esse motivo, a razão (1 min)/(60 s) � (60 s)/(1 min) � 1. Podemos mul-tiplicar uma grandeza por qualquer um desses fatores (que chamamos de multiplicadores de unidade) sem alterar seu valor. Por exemplo, para determinar o número de segundos em 3 min, escrevemos:3 min = (3 min)a 60 s1 minb = 180 sAVALIAR sua resposta: se você converter unidades correta-mente, como no exemplo anterior, cancelará as unidades não desejadas. Caso você multiplique 3 min por (1 min)/(60 s), obterá o resultado 120 min2/s, que não faz sentido algum para medir o tempo. Para que você converta unidades de modo apropriado, deve escrevê-las em todas as etapas dos cálculos.Por fim, questione se sua resposta é razoável. Por exemplo, o resultado 3 min � 180 s é razoável? A resposta é sim; o segundo é uma unidade menor que o minuto; logo, existem mais segundos que minutos em um mesmo intervalo.8 Física IO recorde mundial de velocidade no solo é de 763,0 mi/h, es-tabelecido em 15 de outubro de 1997 por Andy Green com o Thrust SSC, um carro movido a jato. Expresse essa velocidade em metros por segundo.SOLUÇÃOIDENTIFICAR, PREPARAR E EXECUTAR: queremos converter as unidades de uma velocidade de mi/h para m/s. Temos, por-tanto, que encontrar multiplicadores da unidade de medida que relacione (i) milhas a metros e (ii) horas a segundos. No Apêndice E, encontramos as igualdades 1 mi � 1,609 km, 1 km � 1.000 m e 1 h � 3.600 s. Desenvolvemos a conversão da maneira demonstrada a seguir, o que nos assegura que todos os cancelamentos desejados quando à divisão são efetuados: 763,0 mi>h = a763,0 mihb a1,609 km1mib a1000 m1 kmb a 1 h3600 sb = 341,0 m>sAVALIAR: este exemplo mostra uma regra prática: uma veloci-dade expressa em m/s é um pouco menor que a metade do valor expresso em mi/h, e um pouco menor que um terço do valor expresso em km/h. Por exemplo, a velocidade normal em uma rodovia é cerca de 30 m/s � 67 mi/h � 108 km/h, e a veloci-dade típica de uma caminhada é de aproximadamente 1,4 m/s � 3,1 mi/h � 5,0 km/h.EXEMPLO 1.1 CONVERSÃO DE UNIDADES DE VELOCIDADEUm dos maiores diamantes lapidados do mundo é o First Star of Africa (Primeira Estrela da África), montado no Cetro Real Inglês e mantido na Torre de Londres. Seu volume é igual a 1,84 polegada cúbica (pol3). Qual é seu volume em centímetros cúbicos? E em metros cúbicos?SOLUÇÃOIDENTIFICAR, PREPARAR E EXECUTAR: devemos converter as unidades de um volume em polegadas cúbicas (pol3) para centímetros cúbicos (cm3) e metros cúbicos (m3). No Apêndice E, vemos a igualdade 1 pol � 2,540 cm, de onde podemos obter que 1 pol3 � (2,54 cm)3. Temos, então,1,84 3 = 11,84 polpol 32 a2,54 cm1b3= 11,842 12,542 33cm33 = 30,2 cm3polpolpolO Apêndice E também nos informa que 1 m � 100 cm, logo,30,2 cm3 = 1 30,2 cm32 a 1 m100 cmb3= 1 30,22 a 1100b3 cm3 m3cm3 = 30,2 � 10-6 m3= 3,02 � 10-5 m3AVALIAR: seguindo os mesmos passos dessas conversões, você pode mostrar que 1 pol3 ≈ 16 cm3 e que 1 m3 ≈ 60.000 pol3?EXEMPLO 1.2 CONVERSÃO DE UNIDADES DE VOLUME1.5 INCERTEZA E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOSAs medidas sempre envolvem incertezas. Se você medir a espessura da capa de um livro com uma régua comum, sua medida será confiável até o milímetro mais próximo. Suponha que você meça 3 mm. Seria errado expressar esse resul-tado como 3,0 mm. Por causa das limitações do dispositivo de medida, você não pode afirmar se a espessura real é 3,0 mm, 2,85 mm ou 3,11 mm. Contudo, se você usasse um micrômetro calibrador, um dispositivo capaz de medir distâncias com segurança até 0,01 mm, o resultado poderia ser expresso como 2,91 mm. A distinção entre essas duas medidas corresponde a suas respectivas incertezas. A medida realizada com um micrômetro possui uma incerteza menor; ela é mais precisa. A incerteza também é chamada erro da medida, visto que ela indica a maior diferença esperada entre o valor real e o medido. A incerteza ou erro no valor da grandeza depende da técnica usada na medida.Geralmente, indicamos a acurácia ou exatidão de um valor medido — ou seja, o grau de aproximação esperado entre o valor real e o medido — escrevendo o número seguido do sinal � e um segundo número indicando a incerteza da medida. Se o diâmetro de uma barra de aço for indicado por 56,47 � 0,02 mm, Capítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 9concluímos que o valor real não deve ser menor que 56,45 mm, nem maior do que 56,49 mm. Em notação resumida, às vezes utilizada, o número 1,6454(21) signi-fica 1,6454 � 0,0021. O número entre parênteses indica a incerteza nos dígitos finais do número principal.Também podemos indicar a acurácia mediante o máximo erro fracionário ou erro percentual (também chamados de incerteza fracionária ou incerteza per-centual). Um resistor com a indicação “47 ohms � 10%” deve possuir um valor de resistência provável que difere no máximo de 10% de 47 ohms, ou seja, cerca de 5 ohms. O valor da resistência deve estar situado entre 42 e 52 ohms. Para o diâmetro da barra de aço mencionado anteriormente, o erro fracionário é igual a (0,02 mm)/(56,47 mm), ou aproximadamente 0,0004; o erro percentual é aproxi-madamente igual a 0,04%. Algumas vezes, até mesmo erros percentuais peque-nos podem se tornar importantes (Figura 1.7).Em muitos casos, a incerteza de um número não é apresentada explicitamente. Em vez disso, ela é indicada pelo número de dígitos confiáveis, ou algarismos significativos, do valor da medida. Dissemos que a medida da espessura da capa de um livro forneceu o valor 2,91 mm, que possui três algarismos significativos. Com isso, queremos dizer que os dois primeiros algarismos são corretos, enquanto o terceiro dígito é incerto. O último dígito está na casa dos centésimos, de modo que a incerteza é aproximadamente igual a 0,01 mm. Dois valores com o mesmo número de algarismos significativos podem possuir incertezas diferentes; uma dis-tância de 137 km também possui três algarismos significativos, porém a incerteza é aproximadamente igual a 1 km. Uma distância de 0,25 km possui dois algarismos significativos (o zero à esquerda da vírgula decimal não é contado); se for dito 0,250 km, serão três algarismos significativos.Quando você usa números com incertezas para calcular outros números, os resultados obtidos também são incertos. Quando você multiplica ou divide núme-ros, o número de algarismos significativos do resultado não pode ser maior que o menor número de algarismos significativos dos fatores envolvidos. Por exemplo, 3,1416 � 2,34 � 0,58 � 4,3. Quando adicionamos ou subtraímos números, o que importa é a localização da vírgula indicadora da casa decimal, não o número de algarismos significativos. Por exemplo, 123,62 � 8,9 � 132,5. Embora 123,62 possua uma incerteza de 0,01, a incerteza de 8,9 é de 0,1. Sendo assim, o resul-tado possui uma incerteza de 0,1 e deve ser expresso como 132,5, e não 132,52. A Tabela 1.2 resume essas regras para algarismos significativos.Para aplicar esses conceitos, vamos supor que você queira verificar o valor de �, a razão entre a circunferência e o seu diâmetro. O verdadeiro valor dessa grandeza com dez dígitos é 3,141592654. Para testar isso, desenhe um grande cír-culo e meça sua circunferência e diâmetro ao milímetro mais próximo, obtendo os valores 424 mm e 135 mm (Figura 1.8). Usando a calculadora, você chega ao quociente (424 mm)/(135 mm) � 3,140740741. Pode parecer divergente do valor real de p, mas lembre-se de que cada uma de suas medidas possui três algarismos significativos e, portanto, sua medida de p só pode ter três algarismos signifi-cativos. O resultado deve ser simplesmente 3,14. Respeitando-se o limite de três algarismos significativos, seu resultado está de acordo com o valor real.Nos exemplos e problemas neste livro, normalmente apresentamos os resulta-dos com três algarismos significativos; portanto, as respostas que você encontrar não devem possuir mais do que três algarismos significativos. (Muitos números em nossa vida cotidiana possuem até uma menor exatidão. Por exemplo, o velocí-metro de um automóvel em geral fornece dois algarismos significativos.) Mesmo que você use uma calculadora com visualização de dez dígitos, seria errado for-necer a resposta com dez dígitos, porque representa incorretamente a exatidão dos resultados. Sempre arredonde seus resultados, indicando apenas o número correto de algarismos significativos ou, em caso de dúvida, apenas mais um al-garismo. No Exemplo 1.1, seria errado escrever a resposta como 341,01861 m/s. Observe que, quando você reduz a resposta ao número apropriado de algarismos significativos, deve arredondar, e não truncar a resposta. Usando a calculadora Figura 1.7 Este acidente espetacular foi causado por um erro percentual muito pequeno — ultrapassar em apenas alguns metros a posição final, em uma distância total percorrida de centenas de milhares de metros.TABELA 1.2 Uso de algarismos significativos.Multiplicação ou divisão:O resultado não pode ter mais algarismos significativos que o fator com o menor número de algarismos significativos:0,745 * 2,21,32578 * 107 * 4,11 * 10 –3 = 3,885 = 0,425,45 * 104Adição ou subtração:O número de algarismos significativos é determinado pelo termo com a maior incerteza (ou seja, menos algarismos à direita da vírgula decimal):27,153 � 138,2 � 11,74 � 153,6Figura 1.8 Como determinar o valor de � a partir da circunferência e diâmetro de um círculo.Os valores medidos possuem apenas três algarismos significativos; portanto, o cálculo darazão (π) também possui apenas três algarismos significativos.424 mm135 mm10 Física Ipara dividir 525 m por 311 m, você encontrará 1,688102894; com três algarismos significativos, o resultado é 1,69, e não 1,68.Quando você trabalha com números muito grandes ou muito pequenos, pode mostrar os algarismos significativos mais facilmente usando notação científica, algumas vezes denominada notação com potências de 10. A distância entre a Terra e a Lua é aproximadamente igual a 384.000.000 m, porém este modo de escrever não fornece indicação do número de algarismos significativos. Em vez disso, deslocamos oito casas decimais para a esquerda (o que corresponde a divi-dir por 108) e multiplicamos o resultado por 108. Logo,384.000.000 m � 3,84 � 108 mUsando essa forma, fica claro que o número possui três algarismos significati-vos. O número 4,0 � 10�7 também possui três algarismos significativos, embora haja dois zeros depois da vírgula. Note que, em notação científica, toda quanti-dade deve ser expressa por um número entre 1 e 10, seguido da multiplicação pela potência de 10 apropriada.Quando um inteiro ou uma fração ocorrem em uma equação, consideramos o inteiro como se não tivesse nenhuma incerteza. Por exemplo, na equação vx2 � v0x2 � 2ax(x � x0), que é a Equação 2.13 do Capítulo 2, o coeficiente 2 vale exatamente 2. Podemos supor que esse coeficiente possua um número infinito de algarismos significativos (2,000000...). A mesma observação é válida para o expoente 2 em vx2 e v0x2.Finalmente, convém notar a diferença entre precisão e exatidão ou acurácia. Um relógio digital barato que indica as horas como 10h35min17s é muito preciso (ele indica até o segundo); porém, se o seu funcionamento produz um atraso de alguns minutos, o valor indicado não é exato. Por outro lado, o relógio do seu avô pode ser exato (isto é, mostrar o tempo com exatidão), mas, se esse relógio não possui o ponteiro dos segundos, ele não é muito preciso. Medidas de elevada qua-lidade devem ser simultaneamente precisas e exatas.A energia de repouso E de um corpo em repouso de massa m é dada pela famosa equação de Einstein E = mc2, onde c é a velo-cidade da luz no vácuo. Determine E para um elétron para o qual (até três algoritmos significativos) a massa m = 9,11 � 10�31 kg. A unidade SI para energia E é o joule (J); 1 J � 1 kg � m2/s2.SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: nossa variável-alvo é a energia E. Nos é dada a equação e o valor da massa m; de acordo com a Seção 1.3 (ou o Apêndice F), o valor exato da velocidade da luz é c = 2,99792458 � 108 m/s.EXECUTAR: substituindo os valores de m e de c na equação de Einstein, encontramosE = 19,11 * 10-31 kg2 12,99792458 * 108 m>s2 2= 19,112 12,997924582 2 110-312 11082 2 kg # m2>s2= 181,876596782 110 3-31 +1 2 *82 4 2 kg # m2>s2= 8,187659678 * 10-14 kg # m2>s2Como o valor de m foi dado com três algarismos significativos, podemos aproximar o resultado paraE = 8,19 * 10-14 kg # m2>s2 = 8,19 * 10-14 JAVALIAR: embora a energia de repouso contida em um elétron possa parecer desprezivelmente pequena, ela é enorme na es-cala atômica. Compare nossa resposta com 10–19 J, a energia obtida ou perdida por um único átomo em uma reação química típica. A energia de repouso de um elétron é cerca de 1.000.000 de vezes maior! (Discutiremos a importância da energia de re-pouso no Capítulo 37, vol. 4.)EXEMPLO 1.3 ALGORITMOS SIGNIFICATIVOS NA MULTIPLICAÇÃOTESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 1.5 A densidade de um material é igual à divisão de sua massa pelo seu volume. Qual é a densidade (em kg/m3) de uma rocha com massa de 1,80 kg e volume de 6,0 � 10–4 m3? (i) 3 � 103 kg/m3; (ii) 3,0 � 103 kg/m3; (iii) 3,00 � 103 kg/m3; (iv) 3,000 � 103 kg/m3; (v) qualquer dessas alternativas — todas são matematicamente equivalentes. Capítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 111.6 ESTIMATIVAS E ORDENS DE GRANDEZAEnfatizamos a importância de se conhecer a exatidão de números que repre-sentam grandezas físicas. Porém, mesmo a estimativa mais grosseira de uma grandeza geralmente nos fornece uma informação útil. Às vezes, sabemos como calcular certa grandeza, mas precisamos fazer hipóteses sobre os dados neces-sários para os cálculos, ou os cálculos exatos podem ser tão complicados que fazemos algumas aproximações grosseiras. Em qualquer dos dois casos, nosso resultado será uma suposição, mas tal suposição pode ser útil mesmo quando a incerteza possuir um fator de dois, dez ou ainda maior. Tais cálculos normal-mente são denominados estimativas de ordem de grandeza. O grande físico nuclear ítalo-americano Enrico Fermi (1901-1954) chamava-os de “cálculos fei-tos nas costas de um envelope”.No final deste capítulo, desde o 1.17 até o 1.23, são propostas várias estimativas de “ordem de grandeza”. A maioria delas exige a elaboração de hipóteses para os dados necessários. Não tente procurar muitos dados; elabore as melhores hipóteses possíveis. Mesmo que elas estejam fora da realidade de um fator de dez, os resul-tados podem ser úteis e interessantes.Você está escrevendo um conto de aventuras no qual o herói foge pela fronteira transportando, em sua mala, barras de ouro estimadas em um bilhão de dólares. Isto seria possível? Poderia caber tanto ouro nessa mala?SOLUÇÃOIDENTIFICAR, PREPARAR E EXECUTAR: o ouro vale cerca de 1.400 dólares a onça, ou cerca de 100 dólares por 114 de onça. (O preço do ouro oscilou de 200 até 1.900 dólares por onça nos últi-mos vinte anos.) Uma onça equivale a cerca de 30 gramas, então 100 dólares de ouro têm uma massa de cerca de 114 de 30 gramas, ou aproximadamente 2 gramas. Um bilhão (109) de dólares em ouro tem uma massa 107 vezes maior, ou seja, cerca de 2 � 107 (20 milhões) de gramas ou 2 � 104 (20.000) quilogramas. Mil quilogramas equivalem a uma tonelada (ton) e, sendo assim, a mala pesa cerca de vinte toneladas! Nenhum ser humano con-segue carregar tanto peso.E qual é o volume aproximado desse ouro? A densidade da água é de cerca de 103 kg/m3. Se o ouro, que é muito mais denso que a água, possuir uma densidade dez vezes maior, então 104 kg de ouro caberiam em 1 m3. Dessa forma, 109 dólares em ouro possuem um volume de 2 m3, que é muito maior que o volume de uma mala.AVALIAR: é evidente que o conto deve ser reescrito. Refaça o cálculo com uma mala cheia de diamantes de cinco quilates (1 grama), cada um valendo 500 mil dólares. Daria certo?EXEMPLO 1.4 UMA ESTIMATIVA DE ORDEM DE GRANDEZA TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 1.6 Você pode estimar o total de dentes na boca de todos (alunos, funcionários e acadêmicos) no seu campus? (Dica: quantos dentes há em sua boca? Conte-os!) 1.7 VETORES E SOMA VETORIALAlgumas grandezas físicas, como tempo, temperatura, massa, densidade e carga elétrica, podem ser descritas por um único número com uma unidade. Po-rém, outras grandezas importantes possuem uma direção associada com elas e não podem ser descritas por um único número. Um exemplo simples de grandeza que possui direção é o movimento de um avião: para descrever completamente seu movimento, não basta dizer com que velocidade ele se desloca; é necessário dizer a direção de seu movimento. A velocidade do avião, combinada com a dire-ção do movimento, constitui uma grandeza chamada velocidade. Outro exemplo é a força, que na física significa a ação de empurrar ou puxar um corpo. Des-crever completamente uma força significa fornecer não apenas o quanto a força empurra ou puxa um corpo, mas também a direção dessa força.Quando uma grandeza física é descrita por um único número, ela é denomi-nada grandeza escalar. Diferentemente, uma grandeza vetorial é descrita por um módulo que indica a “quantidade” ou o “tamanho” do vetor, juntamente com Aplicação Temperatura escalar, vento vetorial O nível de conforto em um dia de vento depende da temperatura, uma grandeza escalar que pode ser positiva ou negativa (digamos, +5 ºC ou –20 ºC), mas não possuidireção. Também depende da velocidade do vento, que é uma grandeza vetorial, que possui módulo e direção (por exemplo, 15 km/h vindo do Oeste).12 Física Iuma direção e um sentido no espaço. Os cálculos envolvendo uma grandeza escalar são feitos pelas operações aritméticas normais. Por exemplo, 6 kg � 3 kg � 9 kg ou 4 � 2 s � 8 s. Contudo, os cálculos que envolvem vetores necessitam de ope-rações específicas.Para entender mais sobre vetores e as operações com eles envolvidas, começa-remos com uma grandeza vetorial muito simples, o deslocamento. Ele é simples-mente a variação da posição de um objeto. É uma grandeza vetorial porque temos de especificar não apenas a distância percorrida, mas também em que direção e sentido ocorre o deslocamento. Se você caminhar 3 km para o norte a partir da sua porta da frente, não chegará ao mesmo lugar que caminhando 3 km para o sudeste; esses dois deslocamentos possuem o mesmo módulo, mas direções e sentidos diferentes.Geralmente representamos uma grandeza vetorial por uma única letra, tal como na Figura 1.9a. Neste livro, sempre designaremos uma grandeza ve-torial por fonte em itálico e negrito, com uma seta sobre a letra. Fazemos isso para você lembrar que uma grandeza vetorial possui propriedades diferentes das grandezas escalares; a seta serve para lembrar que uma grandeza vetorial possui direção e sentido. Quando usar um símbolo para designar um vetor, sempre utilize uma seta sobre a letra. Se você não fizer essa distinção na notação entre uma grandeza vetorial e uma escalar, também poderá ocorrer uma confusão na sua maneira de pensar.Quando desenhar uma grandeza vetorial, é conveniente que você use uma seta em sua extremidade. O comprimento do segmento fornece o módulo do vetor, a direção é indicada pela direção do segmento da reta e o sentido é indicado pelo sentido da seta. O deslocamento é sempre dado por um segmento de reta que for-nece o módulo que liga o ponto inicial ao ponto final da trajetória, mesmo no caso de uma trajetória curva (Figura 1.9b). Note que o deslocamento não é associado diretamente com a distância total da trajetória descrita. Caso a partícula conti-nuasse a se deslocar até o ponto P2 e depois retornasse ao ponto P1, seu desloca-mento na trajetória fechada seria igual a zero (Figura 1.9c).Vetores paralelos são aqueles que possuem a mesma direção. Se dois vetores possuem o mesmo módulo e a mesma direção e o mesmo sentido eles são iguais, independentemente do local onde se encontram no espaço. Na Figura 1.10, o vetor ' que liga o ponto P3 ao ponto P4 possui o mesmo módulo, a mesma di-reção e o mesmo sentido do vetor que liga o ponto P1 com o ponto P2. Esses dois deslocamentos são iguais, embora comecem em pontos diferentes. Na Figura 1.10, vemos que ' � e estamos usando negrito no sinal de igual para enfatizar que essa igualdade envolve dois vetores, e não duas grandezas escalares. Duas grandezas vetoriais são iguais somente quando elas possuem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido.O vetor na Figura 1.10, no entanto, não é igual a , porque sua direção é oposta à de . Definimos um vetor negativo como um vetor que possui o mesmo módulo do vetor original, mas com direção oposta. O valor negativo de um vetor é designado por – e usamos um sinal negativo em negrito para enfatizar sua natureza vetorial. Caso seja um vetor de 87 m apontando para o sul, então – será um vetor de 87 m apontando para o norte. Logo, a relação entre o vetor e o vetor na Figura 1.10 pode ser escrita como � � ou � � . Quando dois vetores e possuem direções opostas, possuindo ou não o mesmo módulo, di-zemos que eles são antiparalelos.Normalmente, representamos o módulo de uma grandeza vetorial usando a mesma letra usada pelo vetor, mas em itálico e sem a seta em cima. Por exemplo, se o vetor deslocamento possui 87 m na direção sul, então A � 87m. O uso de barras verticais laterais é uma notação alternativa para o módulo de um vetor: 1Módulo de AS 2 = A = 0 AS 0 (1.1)Figura 1.10 O significado de vetores que possuem o mesmo módulo e a mesma direção ou direção oposta.O deslocamento possui o mesmo módulo que , mas em direção oposta; é o negativo de .P2 P4P5P1 P3P6′ = = - Os deslocamentos e ' são iguais porque eles possuem o mesmo comprimento e direção.SSSSSSSS SSSFigura 1.9 Deslocamento como uma grandeza vetorial.Posição final: P2Deslocamento Posição inicial: P1P2P1P1Trajetória descrita Notação escrita a mão:(a) Representamos um deslocamento com uma seta que aponta na direção e no sentido do deslocamento.(b) Um deslocamento é sempre uma reta direcionada da posição inicial até a final. Não depende da trajetória descrita, ainda que seja uma trajetória curva.(c) O deslocamento total para uma trajetória fechada é 0, não importa o caminho percorrido nem a distância percorrida.SSCapítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 13Por definição, o módulo de um vetor é uma grandeza escalar (um número), sendo sempre positivo. Note que um vetor nunca pode ser igual a um escalar por-que eles representam grandezas diferentes. A expressão “ � 6 m” é tão errada quanto dizer “2 laranjas � 3 maçãs”!Quando desenhamos diagramas contendo vetores, geralmente adotamos uma escala semelhante à usada em mapas. Por exemplo, um deslocamento de 5 km pode ser representado por um vetor com 1 cm de comprimento e um desloca-mento de 10 km, por um vetor com 2 cm de comprimento.Soma e subtração vetorialSuponha agora que uma partícula sofra um deslocamento , seguido de outro deslocamento . O resultado final é igual a um único deslocamento, começando no mesmo ponto inicial e terminando no mesmo ponto final (Figura 1.11a). Dizemos que o deslocamento é a resultante ou soma vetorial dos deslocamen-tos e . Essa soma é expressa simbolicamente por = +CSASBS (1.2)Usamos negrito no sinal de soma para enfatizar que a soma de dois vetores exige um processo geométrico e é uma operação diferente da soma de grandezas escalares, tal como 2 � 3 � 5. Na soma vetorial, normalmente desenhamos o iní-cio do segundo vetor a partir da extremidade do primeiro (Figura 1.11a).Caso você faça a soma, primeiro e na ordem inversa, com primeiro e depois , o resultado será o mesmo (Figura 1.11b). Logo, = =+ + +CSBSASe ASBSBSAS (1.3)Assim, conclui-se que a ordem da soma vetorial não importa. Em outras pala-vras, dizemos que a soma vetorial é uma operação comutativa.A Figura 1.11c mostra uma representação alternativa para a soma vetorial: quando desenhamos o início de e de no mesmo ponto, o vetor é a diagonal de um paralelogramo construído de tal modo que os vetores e sejam seus lados adjacentes.ATENÇÃO Módulos na soma vetorial Sendo � � , é um erro comum con-cluir que o módulo C é dado pela soma do módulo A com o módulo B. A Figura 1.11 mostra que, em geral, essa conclusão está errada; você pode notar pelo desenho que Csoma vetorial := =+ + +RSAS 1 BSCS 2 ASESFigura 1.11 Três modos de somar dois vetores.(a) Podemos somar dois vetores desenhando a extremidade de um com o início do outro.A→A→A→ B→ B→ B→(c) Podemos também somá-los juntando os pontos iniciais e construindo um paralelogramo. C→ = A→ + B→ C→ = A→ + B→ C→ = B→ + A→A soma vetorial C→ se estende do início do vetor A→... ...até o final do vetor B→.(b) Somá-los em ordem inversa produz o mesmo resultado: A→ + B→ = B→ + A→. A ordem não importa na soma vetorial... Figura 1.12 Somando vetores (a) paralelos e (b) antiparalelos.A→ B→A→ B→(a) Somente quando os dois vetores A→ e B→ são paralelos, o módulo de sua soma C→ é igual à soma de seus módulos: C = A + B.(b) Quando A→ e B→ são antiparalelos, o módulo de sua soma vetorial C→ é igual à diferença de seus módulos: C = |A – B|. C→ = A→ + B→ C→ = A→ + B→14 Física IFigura 1.13 Diversas construções para achar a soma vetorial � � .(a) Para determinar a soma desses três vetores...(c) ... ou some B→ e C→ para obter E→ e depois some A→ e E→ para obter R→...(d) ... ou some A→, B→ e C→ para obterR→ diretamente ...(e) ... ou some A→, B→ e C→ em qualquer ordem para, ainda assim, obter R→.(b) ... some A→ e B→ para obter D→ e depois someC→ e D→ para obter a somafinal (resultante) R→...A→ A→A→ E→A→A→B→B→B→B→B→C→ C→C→C→C→D→R→R→R→R→Não é nem mesmo necessário desenhar os vetores e ; basta desenhar os sucessivos vetores , e com o início de cada vetor na extremidade do vetor precedente e o vetor ligando o início do primeiro vetor com a extremidade do último (Figura 1.13d). A ordem é indiferente; a Figura 1.13e mostra outra ordem, e convidamos você a fazer outras variações. Vemos que a soma vetorial obedece à lei da associatividade.Podemos também subtrair vetores. Lembrem-se de que – é um vetor que possui o mesmo módulo e a mesma direção, mas sentido contrário a . Definimos a diferença � entre dois vetores e como a soma vetorial de e � =- -+ASBSAS 1 BS 2 (1.4)A Figura 1.14 mostra um exemplo de subtração vetorial.Figura 1.14 Para construir a subtração vetorial � , você pode ou inserir a extremidade de � na ponta de ou colocar os dois vetores e ponta com ponta.A→ + (–B→) = A→ – B→... equivale a somar –B→ a A→. Subtrair B→ de A→...Com as extremidades de A→ e B→ unidas, A→ – B→ é o vetor do início de A→com a extremidade de B→.A→ + (−B→) = A→ − B→+− = = =Com a extremidade de A→ no início de –B→, A→ – B→ é o vetor do início de A→ com a extremidade de –B→.A→B→A→A→A→–B→–B→ –B→A→ – B→Uma grandeza vetorial como o deslocamento pode ser multiplicada por uma grandeza escalar (um número comum). O deslocamento 2 é um deslocamento (grandeza vetorial) com as mesmas características do vetor , porém com o do-bro de seu módulo; isso corresponde a somar o vetor com ele mesmo (Figura 1.15a). Em geral, quando um vetor é multiplicado por um escalar c, o resultado c possui módulo |c|A (o valor absoluto de c multiplicado pelo módulo do vetor ). Supondo que c seja um número positivo, o vetor c é um vetor que possui a mesma direção e sentido do vetor ; caso c seja um número negativo, o vetor c possui a mesma direção, mas um sentido contrário a . Logo, 3 é um vetor paralelo a , enquanto �3 é um vetor antiparalelo a (Figura 1.15b).A grandeza escalar usada para multiplicar um vetor pode ser uma grandeza física que possua unidades. Por exemplo, você pode estar familiarizado com a relação � m ; a força resultante (uma grandeza vetorial) que atua sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo m (uma grandeza escalar positiva) pela sua aceleração a (uma grandeza vetorial). A direção e o sentido de coin-cidem com a direção e o sentido da aceleração porque m é uma grandeza posi-tiva e o módulo da força resultante é igual ao produto da massa m pelo módulo da aceleração . A unidade do módulo de uma força é igual ao produto da uni-dade de massa pela unidade do módulo da aceleração.Figura 1.15 Multiplicação de um vetor por um escalar.2A→–3A→(a) Multiplicar um vetor por um escalar positivo altera o módulo (comprimento) do vetor, mas não sua direção.(b) Multiplicar um vetor por um escalar negativo altera seu módulo e reverte sua direção.2A→ tem o dobro do comprimento de A→.–3A→ é três vezes o comprimento de A→e aponta na direção oposta.A→A→Capítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 15Uma esquiadora percorre 1,0 km para o norte e depois 2,0 km para o leste em um campo horizontal coberto de neve. A que distância ela está do ponto de partida e em que direção?SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: o problema envolve a combina-ção de dois deslocamentos em ângulo reto. A soma vetorial é semelhante à solução de um triângulo retângulo, de modo que podemos usar o teorema de Pitágoras e uma trigonome-tria simples. As variáveis-alvo são a distância e a direção total da esquiadora em relação a seu ponto de partida. Na Figura 1.16, mostramos um diagrama em escala dos deslocamentos da esquiadora. Descrevemos a direção do ponto de partida pelo ângulo f (a letra grega fi). O deslocamento parece ser de pouco mais de 2 km. A medição do ângulo com um transferidor in-dica que f é aproximadamente de 63°.f0 1 km 2 km1,00 km2,00 kmDeslocamento resultanteNEOSFigura 1.16 Diagrama vetorial, desenhado em escala, para um percurso de esqui.EXEMPLO 1.5 SOMA DE DOIS VETORES EM ÂNGULOS RETOSEXECUTAR: a distância do ponto de partida ao de chegada é igual ao comprimento da hipotenusa:"1 1,00 km2 2 + 1 2,00 km2 2 = 2,24 kmUm pouco de trigonometria (veja no Apêndice B) nos permite encontrar o ângulo f: tan f =Lado opostoLado adjacente=2,00 km1,00 km= 2,00 f = arctan 2,00 = 63,4Podemos descrever a direção como 63,4° do norte para o leste ou 90° � 63,4° = 26,6° do leste para o norte.AVALIAR: as respostas que encontramos a partir do cálculo (2,24 km e f = 63,4º) são bem próximas das nossas previsões. Na Seção 1.8, veremos como somar facilmente dois vetores que não estão em ângulo reto.TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 1.7 Dois vetores de deslocamentos, e , pos-suem módulos S � 3 m e T � 4 m. Qual das seguintes alternativas poderia corresponder ao módulo do vetor da diferença � ? (Pode haver mais de uma resposta correta.) (i) 9 m; (ii) 7 m; (iii) 5 m; (iv) 1 m; (v) 0 m; (vi) �1 m. 1.8 COMPONENTES DE VETORESNa Seção 1.7, somamos vetores mediante um diagrama em escala e usamos as propriedades de um triângulo retângulo. A medida direta feita no diagrama oferece uma exatidão muito pequena, e os cálculos envolvendo um triângulo re-tângulo só funcionam quando os vetores são perpendiculares. Logo, é necessário usar um método simples e geral para a soma vetorial. Esse procedimento é o mé-todo dos componentes.Para definir os componentes de um vetor , começamos com um sistema (car-tesiano) de coordenadas retangular com eixos (Figura 1.17). Se pensarmos em como um vetor deslocamento, poderemos considerar como a soma de um deslocamento paralelo ao eixo x e um ao eixo y. Usamos os números Ax e Ay para nos dizer quanto deslocamento existe paralelo ao eixo x e quanto existe paralelo ao eixo y, respectivamente. Por exemplo, se o eixo �x aponta para o leste e o eixo �y aponta para o norte, na Figura 1.17 poderia ser a soma de um deslocamento de 2,00 m para o leste e um deslocamento de 1,00 m para o norte. Então Ax � �2,00 m e Ay � �1,00 m. Depois, usamos a mesma ideia para quaisquer vetores, não apenas os de deslocamento. Os dois números, Ax e Ay, são os componentesdo vetor .DADOS MOSTRAM Adição e subtração de vetoresQuando os alunos recebiam um problema sobre soma ou subtração de dois vetores, mais de 28% davam uma resposta incorreta. Erros comuns:Ao somar vetores, desenhar os vetores , e � incorretamente. O arranjo de ponta e extremidade mostrado nas figuras 1.11a e 1.11b é mais fácil.Ao subtrair vetores, desenhar os vetores , e � incorretamente. Lembre-se de que subtrair de é o mesmo que somar � e (Figura 1.14).16 Física IATENÇÃO Componentes não são vetores Os componentes Ax e Ay de um vetor são apenas números; eles não são vetores. Por essa razão, estamos usando tipos itálicos sem uma seta para designá-los, em vez de usar um tipo itálico negrito com uma seta sobre a letra, notação reservada para vetores.Podemos calcular os componentes do vetor conhecendo seu módulo A e sua direção. Descrevemos a direção de um vetor mediante o ângulo que ele faz com alguma direção de referência. Na Figura 1.17, essa referência é o eixo positivo x, e o ângulo entre o vetor e o sentido positivo do eixo x é u (a letra grega teta). Ima-gine que o vetor estivesse sobre o eixo �x e que você o girasse até sua direção verdadeira, como indicado pela seta na Figura 1.17. Quando essa rotação ocorre no sentido do eixo �x para �y, dizemos que o ângulo u é positivo; quando essa rotação ocorre no sentido do eixo �x para �y, dizemos que o ângulo u é negativo. Logo, o eixo �y faz um ângulo de 90°, o eixo �x faz um ângulo de 180° e o eixo �y faz um ângulo de 270° (ou �90°). Medindo-se u desse modo, e usando-se as definições das funções trigonométricas, AxA= cos u eAyA= sen uAx = A cos u e Ay = A sen u (1.5) (medindo-se u supondo uma rotação no sentido do eixo �x para �y)Na Figura 1.17, os componentes Ax e Ay são positivos. Isso está de acordo com as equações 1.5; o ângulo u está no primeiro quadrante (entre 0° e 90°) e tanto o seno como o cosseno de um ângulo são positivos nesse quadrante. Porém, na Figura 1.18a, o componente Bx é negativo e o By, positivo. (Se o eixo �x aponta para o leste e o eixo �y aponta para o norte, poderia representar um desloca-mento de 2,00 m para o oeste e 1,00 m para o norte. Como o oeste está na direção �x e o norte está na direção �y, Bx � �2,00 m é negativo e By � �1,00 m é positivo.) Novamente, isso está de acordo com as equações 1.5; agora, u está no segundo quadrante, de modo que cos u é negativo e sen u é positivo. Na Figura 1.18b, os componentes Cx e Cy são negativos (sen u e cos u são negativos no ter-ceiro quadrante).ATENÇÃO Relação do módulo e direção de um vetor com seus componentes As equações 1.5 são válidas somente quando o ângulo u for medido considerando-se uma rotação no sentido �x. Se o ângulo do vetor for medido considerando-se outra direção de referência ou outro sentido de rotação, as relações são diferentes! O Exemplo 1.6 ilustra essa questão.Figura 1.18 Os componentes de um vetor podem ser números positivos ou negativos.uuBSCSSBy é positivo.Bx é negativo.Ambos os componentes de C são negativos.(a) yxBx 1-2By 1+2 (b) yxCx 1-2Cy 1-2Figura 1.17 Representamos um vetor em termos de seus componentes Ax e Ay.uASSxyOAx = AcosuAy = Asen uOs componentes de Asão as projeções do vetor nos eixos x e y.Neste caso, Ax e Ay são positivos.(a) Quais são os componentes x e y do vetor na Figura 1.19a? Seu módulo é D = 3,0 m e o ângulo α = 45°. (b) Quais são os componentes x e y do vetor na Figura 1.19b? Seu módulo é E � 4,50 m e o ângulo b = 37,0°.SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: podemos usar as equações 1.5 para encontrar os componentes desses vetores, mas é preciso ter cuidado: os ângulos a e b na Figura 1.19 não são medidos no sentido do eixo �x para o eixo �y. Estimamos, pela figura, que os comprimentos dos dois componentes na parte (a) são apro-ximadamente 2 m, e os da parte (b) são 3 m e 4 m. A figura indica os sinais dos componentes.EXECUTAR: (a) O ângulo a (a letra grega alfa) entre o vetor e o sentido positivo do eixo x é medido no sentido negativo do eixo y. Logo, o ângulo que devemos usar nas equações 1.5 é u = �a = –45°. EncontramosDx = D cos u = 1 3,00 m2 1 cos 1 -452 2 = + 2,1 mDy = D senu = 1 3,00 m2 1sen 1 -452 2 = - 2,1 mEXEMPLO 1.6 CÁLCULO DOS COMPONENTES(Continua)Capítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 17Cálculos de vetor com o uso de componentesO uso de componentes facilita bastante a execução de vários cálculos envol-vendo vetores. Vamos analisar três exemplos importantes: determinar módulo e direção de um vetor, multiplicar grandezas vetoriais por escalares e calcular a soma de dois ou mais vetores.ATENÇÃO Como determinar a direção de um vetor a partir de seus componentes Existe uma pequena complicação para o uso das equações 1.7 para calcular u: dois ângu-los quaisquer que diferem em 180º têm a mesma tangente. Suponha que Ax � 2 m e que Ay � �2 m, como ilustra a Figura 1.20; então, tan u � �1. Porém, existem dois ângu-los que possuem tangente igual a �1: 135° e 315° (ou �45°). Para decidir qual é o valor correto, devemos examinar cada componente. Como Ax é positivo e Ay é negativo, o ân-gulo deve estar no quarto quadrante; logo, u � 315° (ou �45°) é o valor correto. Muitas calculadoras de bolso dão como resultado arctan (�1) � �45°. Neste caso, isso é correto; mas, caso você tenha Ax � �2 m e Ay � 2 m, então o ângulo correto é 135°. De modo semelhante, supondo que Ax e Ay sejam negativos, a tangente é positiva, mas o ângulo está no terceiro quadrante. Você deve sempre desenhar um esquema, como o da Figura 1.20, para verificar qual é o valor correto.Figura 1.20 A ilustração de um vetor revela os sinais de seus componentes x e y.ASVamos supor que tan u = Dois ângulos possuem tangentes de -1: 135° e 315°.A inspeção do diagrama revela que u deve ser 315°. = -1. yxAy = -2 m Ax135°315°Ax = 2 m AyO que é u?1. Como determinar o módulo e a direção de um vetor a partir de seus compo-nentes. Podemos descrever completamente um vetor especificando seu módulo, sua direção e seu sentido, ou mediante seus componentes x e y. As equações 1.5 mostram como calcular os componentes conhecendo-se o módulo, a direção e o sentido. Podemos também inverter o processo: calcular o módulo, a direção e o sentido conhecendo os componentes. Aplicando o teorema de Pitágoras na Figura 1.17, obtemos o módulo do vetor : A = "Ax 2 + Ay 2 (1.6)(Sempre consideramos somente o valor positivo da raiz.) A Equação 1.6 é vá-lida para qualquer escolha do eixo x e do eixo y, desde que eles sejam mu-tuamente perpendiculares. A direção e o sentido decorrem da definição da tangente de um ângulo. Medindo-se u supondo uma rotação no sentido do eixo �x para o eixo �y (como na Figura 1.17), temos: tan u =AyAx e u = arctan AyAx (1.7)Caso você substituísse u = 45° nas equações 1.5, você acharia um sentido errado para Dy.(b) Na Figura 1.19b, o eixo x não é horizontal e o eixo y não é vertical (não formam ângulos retos), de modo que não importa se são horizontais e verticais, respectivamente. Mas não podemos usar o ângulo b (a letra grega beta) nas equações 1.5, pois b é medido a partir do eixo �y. Em vez disso, temos que usar o ân-gulo u = 90,0º � b = 90,0º � 37,0º = 53,0º. Depois, encontramosEx = E cos 53,0 = 1 4,50 m2 1 cos 53,02 = + 2,71 mEy = E sen 53,0 = 1 4,50 m2 1 sen 53,02 = + 3,59 mAVALIAR: nossas respostas para as duas partes estão próximas do que prevíamos. Mas por que as respostas na parte (a) pos-suem corretamente apenas dois algarismos significativos?Figura 1.19 Cálculo dos componentes x e y de vetores.a bDSES(a) (b)Dy 1-2Dx 1+2yxEx 1+2Ey 1+2yxO ângulo a é medido no sentido errado a partir do eixo +x, de modo que nas equações 1.5 temos que usar –a. O ângulo b é medido a partir do eixo +y, e não do eixo +x.Temosque usar u, que é medido a partir do eixo +x em direção ao eixo +y, nas equações 1.5.u(Continuação)18 Física ISempre usaremos o símbolo arctan para a função inversa da função tangente (ver Exemplo 1.5, na Seção 1.7). A notação tan_1 também é muito usada, e sua calcu-ladora pode ter uma tecla INV ou 2ND junto com a mesma tecla TAN.2. Como multiplicar uma grandeza vetorial por uma grandeza escalar. Se mul-tiplicarmos um vetor por uma grandeza escalar c, cada componente do produto de � c é igual ao produto de c e o componente correspondente de : Dx = cAx , Dy = cAy (componentes de DScAS) (1.8)Por exemplo, segundo a Equação 1.8, cada componente do vetor 2 é duas vezes maior que o componente correspondente do vetor , portanto, 2 está na mesma direção de , mas possui o dobro do módulo. Cada componente do vetor �3 é três vezes maior que o componente correspondente do vetor , mas possui o sinal oposto, portanto �3 está na direção oposta de e possui três vezes o módulo. Logo, a Equação 1.8 está de acordo com a nossa discussão na Seção 1.7 relativa à multiplicação de um vetor por um escalar (Figura 1.15).3. Como usar componentes para calcular uma soma vetorial (resultante) de dois vetores. A Figura 1.21 mostra dois vetores e e a resultante , com os componentes x e y desses três vetores. Podemos ver do diagrama que o com-ponente Rx da resultante é simplesmente a soma (Ax � Bx) dos componentes x dos vetores que estão sendo somados. O mesmo resultado é válido para os componentes y. Em símbolos,Rx = Ax + Bx, Ry = Ay + By (1.9)Cada componente de R = A + B ...S SS... é a soma dos componentes correspondentes de A e B. SSA Figura 1.21 mostra esse resultado para o caso no qual todos os componentes Ax, Ay, Bx e By são positivos. Você pode desenhar outros diagramas para verificar que as equações 1.9 são válidas para qualquer sinal dos componentes dos vetores e .Se conhecermos os componentes de dois vetores e , talvez pelo uso da Equação 1.5, poderemos calcular os componentes da resultante . Se desejarmos especificar o módulo, a direção e o sentido de , poderemos usar as equações 1.6 e 1.7, substituindo os diversos valores de A pelos respectivos valores de R.Esse procedimento da soma de dois vetores pode ser facilmente estendido para a soma de qualquer número de vetores. Seja a soma dos vetores , , , , , ... então, os componentes de são: Rx = Ax + Bx + Cx + Dx + Ex + g Ry = Ay + By + Cy + Dy + Ey + g (1.10)Mencionamos somente vetores situados no plano xy, porém o método dos com-ponentes é válido para qualquer vetor no espaço. Introduzimos um eixo z ortogo-nal ao plano xy; assim, em geral, todo vetor possui os componentes Ax, Ay e Az nas três direções de coordenadas. O módulo A é dado por: A = "Ax 2 + Ay 2 + Az 2 (1.11)Novamente, devemos considerar somente o valor positivo da raiz quadrada (Figura 1.22). As equações 1.10 para o vetor resultante devem possuir um ter-ceiro componente:Rz = Az + Bz + Cz + Dz + Ez + gFigura 1.21 Como determinar a soma (resultante) dos vetores e usando componentes.Os componentes de R são as somas dos componentes de A e B:ASBSRSSS SSS SOxyByBxAxRxRyRy = Ay + By Rx = Ax + BxAyO vetor R é a soma (resultante) de A e B.Figura 1.22 Um vetor em três dimensões.Em três dimensões, um vetor tem componentes x, y e z.AzAyAxzyxASO módulo do vetor Aé A = Ax2 + Ay2 + Az2 .S"Capítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 19Embora nossa discussão sobre soma vetorial esteja centrada somente na soma de deslocamentos, o método se aplica a qualquer tipo de grandeza vetorial. Es-tudaremos o conceito de força no Capítulo 4 e mostraremos que, para a soma de forças, usaremos as mesmas regras adotadas para os deslocamentos.ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 1.3 SOMA VETORIALIDENTIFICAR os conceitos relevantes: defina a variável-alvo. Pode ser o módulo da soma vetorial, a direção ou ambos.PREPARAR o problema: desenhe inicialmente o sistema de coordenadas e todos os vetores que deverão ser somados. Coloque o início do primeiro vetor na origem do sistema de coordenadas, o início do segundo vetor na extremidade do primeiro vetor e assim sucessivamente. Desenhe a resultante ligando o início do primeiro vetor (na origem) à extremi-dade do último. Use seu desenho para estimar, grosso modo, o módulo e a direção de . Selecione as ferramentas mate-máticas que usará para o cálculo completo: equações 1.5 para obter os componentes dos vetores indicados, se for preciso, equações 1.10 para obter os componentes da soma vetorial, Equação 1.11 para obter seu módulo e equações 1.7 para obter sua direção.EXECUTAR a solução da seguinte forma:1. Ache os componentes x e y de cada vetor e registre os cál-culos em uma tabela, como no Exemplo 1.7. Caso o vetor seja descrito pelo módulo A e pelo ângulo u, supondo uma rotação no sentido do eixo �x para o eixo �y, então os componentes são dados pela Equação 1.5:Ax = A cos u Ay = A sen u Caso os ângulos sejam medidos usando-se outras conven-ções, talvez usando direções distintas, converta-os supondo uma rotação a partir do sentido positivo do eixo x, como no Exemplo 1.6.2. Para achar o componente Rx da soma vetorial, some seus componentes algebricamente, levando em conta os res-pectivos sinais. Proceda da mesma forma para achar o componente Ry da soma vetorial. Veja o Exemplo 1.7.3. A seguir, calcule o módulo R da soma vetorial e a direção u do vetor resultante, dados pelas equações 1.6 e 1.7:R = "R 2x + R 2y u = arctan RyRxAVALIAR sua resposta: confira seus resultados de módulo e direção da soma vetorial, comparando-os com as aproxi-mações que fez a partir do seu desenho. O valor do ângulo u obtido com uma calculadora pode estar correto ou então defasado em 180°; você poderá decidir o valor correto pelo seu desenho.Três finalistas de um reality show encontram-se no centro de um campo plano e grande. Cada competidor recebe uma barra de um metro, uma bússola, uma calculadora, uma pá e (em ordens dife-rentes para cada competidor) os três deslocamentos seguintes: : 72,4 m, 32,0° do norte para o leste : 57,3 m, 36,0° do oeste para o sul : 17,8 m do norte para o sulOs três deslocamentos levam a um ponto onde as chaves de um Porsche novo foram enterradas. Dois competidores começam imediatamente a fazer medições, porém a vencedora foi quem realizou cálculos antes das medidas. O que ela calculou?SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: o objetivo é determinar a soma (resultante) dos três deslocamentos; portanto, trata-se de um problema de soma vetorial. A situação é descrita na Figura 1.23. Escolhemos o eixo �x orientado como leste e o eixo �y como norte. Pelo diagrama, podemos estimar que o vetor possui módulo aproximadamente igual a 10 m e forma um ân-gulo de 40° com o eixo �y com rotação no sentido do oeste para o norte (logo, u é cerca de 90º mais 40º, ou aproximada-mente 130º).uASBSCSRS57,3 my (norte)36,0°x (leste)O17,8 m72,4 m32,0°Figura 1.23 Três deslocamentos sucessivos, , e e a resultante (ou soma vetorial) = � � .EXECUTAR: os ângulos dos vetores, medidos considerando-se uma rotação do eixo �x para o eixo �y, são (90,0° � 32,0°) = 58,0°, (180,0° � 36,0°) = 216,0° e 270,0°, respectivamente. Agora podemos usar as equações 1.5 para encontrar os compo-nentes de :EXEMPLO 1.7 SOMA DE VETORES USANDO COMPONENTES(Continua)20 Física IAx = A cos uA = 172,4 m2 1cos 58,02 = 38,37 mAy = A sen uA = 172,4 m2 1sen 58,02 = 61,40 mNote que usamos um algarismo significativo a mais para os com-ponentes calculados; devemos aguardar o resultado final para arredondar o número correto de algarismos significativos. A ta-bela a seguir mostra os componentes de todos os deslocamentos, a soma dos componentes e os demais cálculos das equações 1.6 e 1.7.DistânciaÂngulo Componente x Componente yA = 72,4 m 58,0° 38,37 m 61,40 mB = 57,3 m 216,0° –46,36 m –33,68 mC = 17,8 m 270,0° 0,00 m –17,80 mRx = –7,99 m Ry = 9,92 m R = " 1-7,99 m2 2 + 1 9,92 m2 2 = 12,7 m u = arctan 9,92 m-7,99 m= -51A comparação com o ângulo u na Figura 1.23 mostra que o ângulo calculado está nitidamente deslocado em 180º. O valor correto é u = 180º � (�51º) = 129º, ou 39º do norte para o oeste.AVALIAR: nossos cálculos para R e u não diferem muito das nossas estimativas. Note como desenhar o diagrama da Figura 1.23 tornou fácil evitar um erro de 180° na direção da soma vetorial.(Continuação)TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 1.8 Considere dois vetores e no plano xy. (a) É possível possuir o mesmo módulo de , mas componentes diferentes? (b) É possível possuir os mesmos componentes de , mas diferir no módulo? 1.9 VETORES UNITÁRIOSUm vetor unitário é aquele que possui módulo igual a 1, não possuindo ne-nhuma unidade. Seu único objetivo é apontar, ou seja, descrever uma direção e um sentido no espaço. Os vetores unitários fornecem uma notação conveniente para cálculos que envolvem os componentes de vetores. Sempre usaremos acento circunflexo ou “chapéu” (̂ ) para simbolizar um vetor unitário e distingui-lo de um vetor comum cujo módulo pode ou não ser igual a 1.Em um sistema de coordenadas xy, definimos um vetor unitário apontando no sentido positivo do eixo x e um vetor unitário apontando no sentido positivo do eixo y (Figura 1.24a). Podemos então expressar um vetor , em termos de seus componentes, como +=ASAx d̂ Ay ê (1.12)A Equação 1.12 é uma equação vetorial; cada termo, como Ax , é uma gran-deza vetorial (Figura 1.24b).Usando vetores unitários, podemos escrever a soma vetorial de dois vetores e do seguinte modo: ++++ + ++====== ASAx d̂ Ay ê BSBx d̂ By ê RSASBS 1 Ax d̂ Ay ê2 1 Bx d̂ By ê2 1 Ax ++Bx2 d̂ 1 Ay + By2 ê Rx d̂ Ry ê (1.13)A Equação 1.13 reproduz o conteúdo das equações 1.9 sob a forma de uma única equação vetorial, em vez de usar duas equações para os componentes dos vetores.Quando os vetores não estão contidos no plano xy, torna-se necessário usar um terceiro componente. Introduzimos um terceiro vetor unitário apontando no Figura 1.24 (a) Os vetores unitários e . (b) Podemos expressar um vetor em termos dos seus componentes.Os vetores unitários d= e e= apontam nas direções dos eixos x e y e possuem módulo de 1.Podemos expressar um vetor A em termos de seus componentes comoASSd=yxOyxO(b)(a)e= Aye= e= d=Ax d=A = Ax d= + Aye= SCapítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 21sentido positivo do eixo z (Figura 1.25). Neste caso, a forma geral das equações 1.12 e 1.13 é Qualquer vetor pode ser expresso em termos de seus componentes x, y e z ...... e vetores unitários , e .d̂ ê k̂(1.14)A Axd Aye AzkB Bxd Bye Bzk^ ^^ ^^^SS + ++==RS 1 Ax + Bx2 d̂ 1 Ay + +By2 ê 1 Az + Bz2 k̂Rx d̂ Ry ê Rz k̂ (1.15)Dados os dois deslocamentos++--==DS 1 6,00 d̂ 3,00 ê 1,00k̂2 m eES 1 4,00 d̂ 5,00 ê 8,00k̂2 mencontre o módulo de deslocamento 2 – .SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: devemos multiplicar o vetor por 2 (uma grandeza escalar) e subtrair o vetor do resultado, a fim de obter o vetor = 2 � . A Equação 1.8 diz que, para multiplicar por 2, devemos simplesmente multiplicar cada um de seus componentes por 2. Podemos usar a Equação 1.15 para fazer a subtração; recapitulando a Seção 1.7, subtrair um vetor é o mesmo que somar o negativo desse vetor.EXECUTAR: Temos+++ ++- - --=== FS2 16,00 d̂ 3,00 ê 1,00k̂2 m 1 4,00 d̂ 5,00 ê 8,00k̂2 m 3112,00 - 4,002 d̂ 16,00 + 5,002 ê 1-2,00 - 8,002 k̂4 m 18,00 d̂ 11,00 ê 10,00k̂2 mPela Equação 1.11, o módulo de é F = "F 2x + F 2y + F 2z = "1 8,00 m2 2 + 1 11,00 m2 2 + 1 -10,00 m2 2 = 16,9 mAVALIAR: nossa resposta tem a mesma ordem de grandeza dos maiores componentes que aparecem na soma. Não deveríamos esperar que nossa resposta fosse muito maior do que isso, mas poderia ser muito menor.EXEMPLO 1.8 USO DE VETORES UNITÁRIOSTESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 1.9 Disponha os seguintes vetores ordenando--os de acordo com seus módulos, a partir do maior módulo. (i) � (3 � 5 � 2 ) m; (ii) � (�3 � 5 � 2 ) m; (iii) � (3 � 5 � 2 ) m; (iv) � (3 � 5 � 2 ) m. 1.10 PRODUTOS DE VETORESVimos como a soma vetorial evoluiu naturalmente a partir da combinação de deslocamentos, e mais adiante a usaremos para calcular outras grandezas veto-riais. Podemos também escrever concisamente muitas outras relações entre gran-dezas físicas usando produtos de vetores. Os vetores não são números comuns, de modo que o produto comum não é diretamente aplicado para vetores. Vamos definir dois tipos de produtos de vetores. O primeiro, denominado produto esca-lar, fornece um resultado que é uma grandeza escalar. O segundo, denominado produto vetorial, fornece outra grandeza vetorial.Produto escalarO produto escalar de dois vetores e é designado por � . Embora e sejam vetores, a grandeza � é escalar.Figura 1.25 Os vetores unitários , e .d=e= k= yxzOOs vetores unitários d=, e= e k= apontam nas direções dos eixos x, y e z positivos e têm um módulo igual a 1.22 Física IPara definir o produto escalar � de dois vetores e , desenhamos o início desses vetores no mesmo ponto (Figura 1.26a). O ângulo entre os vetores é designado por f (a letra grega fi) e está sempre compreendido entre 0° e 180°. A Figura 1.26b mostra a projeção do vetor na direção de ; essa projeção é o componente de na direção de e é dada por B cos f. (Podemos obter compo-nentes ao longo de qualquer direção conveniente e não somente nas direções dos eixos x e y.) Definimos � como o módulo de multiplicado pelo componente de paralelo ao vetor . Ou seja,Ângulo entre AS e BS iniciados no mesmo pontoProduto escalar dos vetores AS e BSMódulos de AS e BSA ~ B = AB cosf = 0 A 0 0 B 0 cosf (1.16)S SS SComo alternativa, podemos definir � como o produto do módulo de mul-tiplicado pelo componente de na direção do vetor , como indicado na Figura 1.26c. Logo, � � B(A cos f) � AB cos f, que é o mesmo que a Equação 1.16.O produto escalar é uma grandeza escalar, não um vetor, possuindo valor posi-tivo, negativo ou zero. Quando f está compreendido entre 0° e 90°, cos f > 0 e o produto escalar é positivo (Figura 1.27a). Quando está compreendido entre 90° e 180°, de modo que cos fesses produtos entre os vetores unitários: AS # BS= 1Ax d̂ Ay ê Az k̂2 # 1Bx d̂ By ê Bz k̂2= Ax d̂ # Bx d̂ + Ax d̂ # By ê + Ax d̂ # Bz k̂+ Ay ê # Bx d̂ + Ay ê # By ê + Ay ê # Bz k̂+ Az k̂ # Bx d̂ + Az k̂ # By ê + Az k̂ # Bz k̂= AxBx d̂ # d̂ + AxBy d̂ # ê + AxBz d̂ # k̂Figura 1.27 O produto escalar � = AB cos f pode ser positivo, negativo ou zero, dependendo do ângulo entre e .ASBSASBSASBSSe f = 90º, A # B = 0 porque B possui zero componente na direção de A.SSSSSe f está compreendido entre 90º e 180º, A # B é negativo...S S... porque B cos f 7 0.(a)f... porque B cos f 6 0.(b)f(c)f = 90°Se f está compreendido entre 0º e 90º, A # B é positivo...S SFigura 1.26 Cálculo do produto escalar de dois vetores, � = AB cos f.(Módulo de B) * Componente de A na direção BfASASASBSBSBSS SSDesenhe o início dos vetores no mesmo ponto.(a)fB cos ffA cos f(Módulo de A) * Componente de B na direção de ASSSq ra b(b) A # B é igual a A(B cos f).SS(c) A # B também é igual a B(A cos f).SSCapítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 23 + AyBx ê # d̂ + AyBy ê # ê + AyBz ê # k̂+ AzBx k̂ # d̂ + AzBy k̂ # ê + AzBz k̂ # k̂ (1.18)Pelas Equações 1.17, vemos que seis desses nove componentes se anulam, e os três que sobram fornecem simplesmente:Produto escalar dos vetores AS e BS Componentes de ASComponentes de BSA ~ B = AxBx + AyBy + AzBz (1.19)S SLogo, o produto escalar entre dois vetores é igual à soma dos produtos esca-lares entre seus respectivos componentes.O produto escalar fornece um método direto para o cálculo do ângulo f entre dois vetores e cujos componentes sejam conhecidos. Nesse caso, a Equação 1.19 deve ser usada para o cálculo do produto escalar de e . O Exemplo 1.10 mostra como fazer isso. Ache o produto escalar � dos dois vetores da Figura 1.28. Os módulos dos vetores são A = 4,00 e B = 5,00.SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: podemos calcular o produto esca-lar de duas maneiras: usando os módulos dos vetores e o ângulo entre eles (Equação 1.16) e usando os componentes dos vetores (Equação 1.19). Utilizaremos as duas maneiras, e os resultados confirmarão.ASBS130,0°53,0°yxfd=e= Figura 1.28 Dois vetores e em duas dimensões.EXECUTAR: o ângulo entre os dois vetores e é f � 130,0º � 53,0º = 77,0º, de modo que a Equação 1.16 nos dáAS # BS= AB cos f = 14,002 15,002 cos 77,0 = 4,50Para usar a Equação 1.19, temos primeiro de achar os compo-nentes dos vetores. Os ângulos de e são dados com relação ao eixo �x e são medidos no sentido do eixo �x para o eixo �y, de modo que podemos usar as equações 1.5:Ax = 14,002 cos 53,0 = 2,407Ay = 14,002 sen 53,0 = 3,195Bx = 15,002 cos 130,0 = -3,214By = 15,002 sen 130,0 = 3,830Assim como no Exemplo 1.7, mantemos um algarismo signi-ficativo extra nos componentes e arredondamos no final. A Equação 1.19 agora nos dá AS # BS= AxBx + AyBy + AzBz = 12,4072 1-3,2142 + 13,1952 13,8302 + 1 02 102 = 4,50AVALIAR: os dois métodos têm os mesmos resultados, como deveriam.EXEMPLO 1.9 CÁLCULO DO PRODUTO ESCALARAche o ângulo entre os dois vetores= + +AS2,00 d̂ 3,00 ê 1,00k̂e= + -BS-4,00 d̂ 2,00 ê 1,00k̂SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: temos os componentes x, y e z de dois vetores. Nossa variável-alvo é o ângulo f entre eles (Figura 1.29). Para achá-lo, resolvemos a Equação 1.16, � = AB cos f, para f em termos do produto escalar � e os módulos A e B. Podemos usar a Equação 1.19 para avaliar o (Continua)EXEMPLO 1.10 CÁLCULO DE ÂNGULOS USANDO O PRODUTO ESCALAR24 Física Iproduto escalar, � = AxBx � AyBy � AzBz, e podemos usar a Equação 1.16 para achar A e B.EXECUTAR: resolvemos a Equação 1.16 para cos f e usamos a Equação 1.19 para escrever � :cos f =AS # BSAB=AxBx + AyBy + AzBzABPodemos usar esta fórmula para achar o ângulo entre dois ve-tores e quaisquer. Aqui, temos Ax = 2,00, Ay = 3,00 e Az = 1,00, e Bx = �4,00, By = 2,00 e Bz = �1,00. Assim, AS # BS= AxBx + AyBy + AzBz = 12,002 1-4,002 + 13,002 12,002 + 11,002 1-1,002 = -3,00 A = "A 2x + A 2y + A 2z = "12,002 2 + 13,002 2 + 11,002 2 = "14,00 B = "B 2x + B 2y + B 2z = " 1-4,002 2 + 12,002 2 + 1-1,002 2 = "21,00 cos f =AxBx + AyBy + AzBzAB=-3,00"14,00 "21,00= -0,175 f = 100AVALIAR: para conferir este resultado, note que o produto esca-lar � é negativo. Isso significa que o ângulo f está compre-endido entre 90° e 180° (Figura 1.27), o que está de acordo com nossa resposta.(Continuação)Figura 1.30 O produto vetorial de (a) � e (b) � .Encurve os dedos em direção a BS.B : AO polegar aponta no sentido de AS : BS.Aponte os dedos da mão direita ao longo de AS, com a palma virada para BS.Una AS e BS pelo início do vetorSSBSS S(a) Usando a regra da mão direita para achar a direção de A : B.A : BASS SBSf1234Encurve os dedos no sentido de AS.O polegar aponta no sentido de BS : AS.Aponte os dedos da mão direita ao longo de BS, com a palma virada para AS.Una AS e BS pelo início do vetor1234BS : AS possuem o mesmo módulo de AS : BS, mas apontam no sentido oposto.5fAS(b) Usando a regra da mão direita para achar a direção de B : A = A : B (produto vetorial é anticomutativo)SS SSProduto vetorialO produto vetorial de dois vetores, e , é designado por � . Como sugere o nome, o produto vetorial é um vetor em si. Usaremos esse produto no Capítulo 10 para descrever o torque e o momento angular; nos capítulos 27 e 28 (no Volume 3), seu uso também será frequente para descrever campos e forças magnéticas.Para definir o produto vetorial � de dois vetores e , desenhamos os dois com início em um mesmo ponto (Figura 1.30a). Assim, os dois vetores fi-cam situados em um mesmo plano. Definimos o produto vetorial como uma gran-deza vetorial perpendicular a esse plano (isto é, tanto perpendicular a quanto a ) e possuindo módulo dado por AB sen f. Isto é, se � � , então:Ângulo entre AS e BS iniciados no mesmo pontoMódulo do produto vetorial de vetores BS e AS(1.20)C = AB senfMódulos de AS e BSMedimos o ângulo f entre e como o menor ângulo entre esses dois veto-res, ou seja, o ângulo f está compreendido entre 0° e 180°. Logo, sen f 0 e C na Equação 1.20 nunca possui valor negativo, como deve ser para o módulo de um vetor. Note também que, quando e forem dois vetores paralelos ou antipa-ralelos, f � 0° ou 180° e C � 0. Ou seja, o produto vetorial de dois vetores para-lelos ou antiparalelos é sempre igual a zero. Em particular, o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é igual a zero.ATENÇÃO Produto vetorial versus produto escalar Recomenda-se cautela para distin-guir entre a expressão AB sen f para o módulo do produto vetorial � e a expressão se-melhante AB cos f para o produto escalar � . Para compreender a diferença entre essasSASSBSA estende-se da origem até o vértice próximo da caixa vermelha.B estende-se da origem até o vértice distante da caixa azul.xzye= d=k= Figura 1.29 Dois vetores em três dimensões.Capítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 25duas expressões, imagine que o ângulo entre os vetores e possa variar enquanto seus módulos permanecem constantes. Quando e são paralelos, o módulo do produto ve-torial é igual a zero e o produto escalar será máximo. Quando e são perpendiculares, o módulo do produto vetorial será máximo e o produto escalar será zero.Existem sempre dois sentidos para uma direção perpendicular a um plano, um para cima e outro para baixo do plano. Escolhemos qual desses sentidos nos dá a direção de � do seguinte modo: imagine que ovetor sofra uma rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano até que ele se superponha com o vetor , escolhendo nessa rotação o menor ângulo entre os vetores e . Faça uma rotação dos quatro dedos da mão direita em torno da linha perpendicular, de modo que o dedo polegar aponte no sentido de � . A regra da mão direita é indicada na Figura 1.30a, que descreve uma segunda forma de pensar a respeito dessa regra.Da mesma forma, determinamos o sentido de � fazendo uma rotação de para , como indicado na Figura 1.30b. O resultado é um vetor oposto a � . O produto vetorial não é comutativo, mas anticomutativo. De fato, para dois vetores e , = -ASBSBS:: AS (1.21)Assim como fizemos para o caso do produto escalar, podemos fazer uma inter-pretação geométrica para o módulo do produto vetorial. Na Figura 1.31a, B sen f é o componente do vetor em uma direção perpendicular à direção do vetor . Pela Equação 1.20, vemos que o módulo de � é igual ao módulo de mul-tiplicado pelo componente de em uma direção perpendicular à direção de . A Figura 1.31b mostra que o módulo de � também é igual ao módulo de multiplicado pelo componente de em uma direção perpendicular à direção de . Note que a Figura 1.31 mostra um caso no qual f está compreendido entre 0° e 90°; você deve desenhar um diagrama semelhante para f compreendido entre 90° e 180° para verificar que a mesma interpretação geométrica vale para o módulo de � .Cálculo do produto vetorial usando componentesQuando conhecemos os componentes de e , podemos calcular os compo-nentes do produto vetorial mediante procedimento semelhante ao adotado para o produto escalar. Inicialmente, convém fazer uma tabela de multiplicação vetorial para os vetores unitários , e , todos os três perpendiculares entre si (Figura 1.32a). O produto vetorial de um vetor com ele mesmo é igual a zero, logo= = =d̂ : d̂ ê : ê k̂ : k̂ 0O zero em negrito é para lembrar que esse produto fornece um vetor nulo, isto é, aquele cujos componentes são nulos e não possui direção definida. Usando as equações 1.20 e 1.21 e a regra da mão direita, encontramos: = =---= == = d̂ : ê ê : d̂ k̂ ê : k̂ k̂ : ê d̂ k̂ : d̂ d̂ : k̂ ê (1.22)Pode-se verificar essas equações pela Figura 1.32a.A seguir, escrevemos e em termos dos respectivos componentes e vetores unitários e desenvolvemos a expressão para o produto vetorial:Figura 1.31 Cálculo do módulo AB sen f do produto vetorial de dois vetores, � .Componente de BS perpendicular a AS(Módulo de AS) : (Módulo de AS : BS) igual a A(B senf).(Módulo de AS : BS) também igual a B(A senf).ASASBSBSB senff(a)(b)A senffaComponente de AS perpendicular a BS(Módulo de BS) : abb26 Física I = + +++++ + ++++ + AS: BS 1Ax d̂ Ay ê Az k̂2 : 1Bx d̂ By ê Bz k̂2 Ax d̂ : Bx d̂ Ax d̂ : By ê Ax d̂ : Bz k̂ Ay ê : Bx d̂ Ay ê : By ê Ay ê : Bz k̂ Az k̂ : Bx d̂ Az k̂ : By ê Az k̂ : Bz k̂= (1.23)Os termos individuais também podem ser reescritos na Equação 1.23 como Ax � By � (AxBy) � , e assim por diante. Usando a tabela de multiplicação para vetores unitários nas equações 1.22 e então reagrupando os termos, encontramos: = + + AS: BS 1Ay Bz - Az By2 d̂ 1Az Bx - Ax Bz2 ê 1Ax By - Ay Bx2 k̂ (1.24)Se você comparar a Equação 1.24 com a Equação 1.14, verá que os componen-tes de � � são Ax , Ay , Az = componentes de ASBx , By , Bz = componentes de BSComponentes do produto vetorial A : BS SCx = AyBz - AzBy Cy = AzBx - AxBz Cz = AxBy - AyBx (1.25)Com o sistema de eixos da Figura 1.32a, se for invertido o sentido do eixo z obteremos o sistema de coordenadas da Figura 1.32b. Logo, como você pode ve-rificar, a definição do produto vetorial fornece � � � , em vez de � � . De fato, todos os produtos vetoriais dos vetores unitários , e teriam sinais opostos aos indicados nas equações 1.22. Vemos que existem dois tipos de siste-mas de coordenadas, diferenciados pelos sinais dos produtos vetoriais dos respec-tivos vetores unitários. Um sistema de coordenadas para o qual � � , como indicado na Figura 1.32a, denomina-se sistema da mão direita. A prática normal aconselha a usar somente sistemas com orientação da mão direita. Neste livro seguiremos essa prática.Figura 1.32 (a) Sempre usaremos um sistema de coordenadas com orientação da mão direita, como este. (b) Nunca usaremos um sistema de coordenadas com orientação da mão esquerda (para o qual � = � , e assim por diante).(b) Sistema de coordenadas com orientação da mão esquerda: não será usado.(a) Sistema de coordenadas com orientação da mão direita.yxzOyzxOd= : e= = k=e= : k= = d= k= : d= = e=d=e= k= d=e= k= O vetor possui módulo igual a 6 unidades e está contido no eixo �x. O vetor possui módulo igual a 4 unidades e está contido no plano xy, formando um ângulo de 30° com o eixo �x (Figura 1.33). Calcule o produto vetorial = � .ASBSCSyxzO f = 30°Figura 1.33 Os vetores e e seu produto vetorial = � . O vetor está contido no plano xy.SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: podemos achar o produto vetorial por dois métodos diferentes, o que permitirá verificar nossos cálculos. No primeiro, usamos a Equação 1.20 e a regra da mão direita; em seguida, usamos a Equação 1.25 para achar o pro-duto vetorial por meio do uso dos componentes.EXECUTAR: usando o primeiro método, pela Equação 1.20, o módulo do produto vetorial é dado por:AB sen f = (6) (4) (sen 30º) = 12De acordo com a regra da mão direita, o sentido de � é o mesmo do eixo �z (o sentido do vetor unitário ), de modo que = � = 12 .Para usar as equações 1.25, primeiro determinamos os compo-nentes de e de . Note que aponta ao longo do eixo x, de modo que seu único componente diferente de zero é Ax. Para , a Figura 1.33 mostra que f = 30º é medido a partir do eixo �x em direção ao eixo �y, de modo que podemos usar as equações 1.5:EXEMPLO 1.11 CÁLCULO DE UM PRODUTO VETORIAL(Continua)Capítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 27TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 1.10 O vetor possui módulo 2 e o vetor , módulo 3. O ângulo f entre e é (i) 0º, (ii) 90º ou (iii) 180º. Para cada uma dessas si-tuações, defina o valor de f. (Em cada situação, pode haver mais de uma resposta correta.) (a) � � 0; (b) � � 0; (c) � � 6; (d) � � �6; (e) (módulo de � � 6. Ax = 6 Ay = 0 Az = 0Bx = 4 cos 30 = 2"3 By = 4 sen 30 = 2 Bz = 0Então, as equações 1.25 resultam em Cx = 10 2 102 - 10 2 122 = 0 Cy = 10 2 12"32 - 16 2 102 = 0 Cz = 16 2 122 - 10 2 12"3 2 = 12Assim, novamente temos = 12 .AVALIAR: os dois métodos chegam ao mesmo resultado. Dependendo da situação, pode ser mais conveniente usar um ou outro.(Continuação)Grandezas físicas e unidades: as grandezas físi-cas fundamentais da mecânica são massa, compri-mento e tempo. As unidades SI correspondentes são quilograma, metro e segundo. As unidades deriva-das para outras grandezas físicas são produtos ou quocientes dessas unidades básicas. As equações devem ser dimensionalmente coerentes; dois ter-mos só podem ser somados quando possuírem as mesmas unidades (exemplos 1.1 e 1.2).Algarismos significativos: a exatidão ou acurácia de uma medição pode ser indicada pelo número de algarismos significativos ou pela incerteza estipu-lada. Os algoritmos significativos no resultado de um cálculo são determinados pelas regras resumidas na Tabela 1.2. Quando dispomos apenas de estima-tivas grosseiras para os dados de entrada, normal-mente podemos fazer estimativas úteis de ordem de grandeza (exemplos 1.3 e 1.4).Algarismos significativos destacadosp = = = 3,14C2r0,424 m210,06750 m2123,62 + 8,9 = 132,5Grandezas escalares, grandezas vetoriais e soma vetorial: as grandezas escalaresda matéria Resumo Problemas/exercícios/respostas 19 A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA 19.1 Sistemas termodinâmicos 19.2 Trabalho realizado durante variações de volume Sumário VII 19.3 Caminhos entre estados termodinâmicos 19.4 Energia interna e a primeira lei da termodinâmica 19.5 Tipos de processos termodinâmicos 19.6 Energia interna de um gás ideal 19.7 Calor específico de um gás ideal 19.8 Processo adiabático de um gás ideal Resumo Problemas/exercícios/respostas 20 A SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA 20.1 Sentido de um processo termodinâmico 20.2 Máquinas térmicas 20.3 Máquinas de combustão interna 20.4 Refrigeradores 20.5 Segunda lei da termodinâmica 20.6 O ciclo de Carnot 20.7 Entropia 20.8 Interpretação microscópica da entropia Resumo Problemas/exercícios/respostas FÍSICA IIIELETROMAGNETISMO 21 CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO 21.1 Carga elétrica 21.2 Condutores, isolantes e cargas induzidas 21.3 Lei de Coulomb 21.4 Campo elétrico e forças elétricas 21.5 Determinação do campo elétrico 21.6 Linhas de um campo elétrico 21.7 Dipolos elétricos Resumo Problemas/exercícios/respostas 22 LEI DE GAUSS 22.1 Carga elétrica e fluxo elétrico 22.2 Determinação do fluxo elétrico 22.3 Lei de Gauss 22.4 Aplicações da lei de Gauss 22.5 Cargas em condutores Resumo Problemas/exercícios/respostas 23 POTENCIAL ELÉTRICO 23.1 Energia potencial elétrica 23.2 Potencial elétrico 23.3 Determinação do potencial elétrico 23.4 Superfícies equipotenciais 23.5 Gradiente de potencial Resumo Problemas/exercícios/respostas 24 CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS 24.1 Capacitância e capacitores 24.2 Capacitores em série e em paralelo 24.3 Armazenamento de energia em capacitores e energia do campo elétrico 24.4 Dielétricos 24.5 Modelo molecular da carga induzida 24.6 Lei de Gauss em dielétricos Resumo Problemas/exercícios/respostas 25 CORRENTE, RESISTÊNCIA E FORÇA ELETROMOTRIZ 25.1 Corrente 25.2 Resistividade 25.3 Resistência 25.4 Força eletromotriz e circuitos 25.5 Energia e potência em circuitos elétricos 25.6 Teoria da condução em metais Resumo Problemas/exercícios/respostas 26 CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA 26.1 Resistores em série e em paralelo 26.2 Leis de Kirchhoff 26.3 Instrumentos de medidas elétricas 26.4 Circuitos R-C 26.5 Sistemas de distribuição de potência Resumo Problemas/exercícios/respostas 27 CAMPO MAGNÉTICO E FORÇAS MAGNÉTICAS 27.1 Magnetismo 27.2 Campo magnético 27.3 Linhas do campo magnético e fluxo magnético 27.4 Movimento de partículas carregadas em um campo magnético 27.5 Aplicações do movimento de partículas carregadas 27.6 Força magnética sobre um condutor conduzindo uma corrente 27.7 Força e torque sobre uma espira de corrente 27.8 O motor de corrente contínua 27.9 O efeito Hall Resumo Problemas/exercícios/respostas 28 FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO 28.1 Campo magnético de uma carga em movimento 28.2 Campo magnético de um elemento de corrente 28.3 Campo magnético de um condutor retilíneo conduzindo uma corrente 28.4 Força entre condutores paralelos 28.5 Campo magnético de uma espira circular 28.6 Lei de Ampère VIII Física I 28.7 Aplicações da lei de Ampère 28.8 Materiais magnéticos Resumo Problemas/exercícios/respostas 29 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 29.1 Experiências de indução 29.2 Lei de Faraday 29.3 Lei de Lenz 29.4 Força eletromotriz produzida pelo movimento 29.5 Campos elétricos induzidos 29.6 Correntes de rodamoinho 29.7 Corrente de deslocamento e equações de Maxwell 29.8 Supercondutividade Resumo Problemas/exercícios/respostas 30 INDUTÂNCIA 30.1 Indutância mútua 30.2 Indutores e autoindutância 30.3 Energia do campo magnético 30.4 O circuito R-L 30.5 O circuito L-C 30.6 O circuito R-L-C em série Resumo Problemas/exercícios/respostas 31 CORRENTE ALTERNADA 31.1 Fasor e corrente alternada 31.2 Resistência e reatância 31.3 O circuito R-L-C em série 31.4 Potência em circuitos de corrente alternada 31.5 Ressonância em circuitos de corrente alternada 31.6 Transformadores Resumo Problemas/exercícios/respostas 32 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 32.1 Equações de Maxwell e ondas eletromagnéticas 32.2 Ondas eletromagnéticas planas e a velocidade da luz 32.3 Ondas eletromagnéticas senoidais 32.4 Energia e momento linear em ondas eletromagnéticas 32.5 Ondas eletromagnéticas estacionárias Resumo Problemas/exercícios/respostas FÍSICA IVÓTICA E FÍSICA MODERNA 33 NATUREZA E PROPAGAÇÃO DA LUZ 33.1 Natureza da luz 33.2 Reflexão e refração 33.3 Reflexão interna total 33.4 Dispersão 33.5 Polarização 33.6 Espalhamento da luz 33.7 Princípio de Huygens Resumo Problemas/exercícios/respostas 34 ÓTICA GEOMÉTRICA E INSTRUMENTOS DE ÓTICA 34.1 Reflexão e refração em uma superfície plana 34.2 Reflexão em uma superfície esférica 34.3 Refração em uma superfície esférica 34.4 Lentes delgadas 34.5 Câmera 34.6 O olho 34.7 A lupa 34.8 Microscópios e telescópios Resumo Problemas/exercícios/respostas 35 INTERFERÊNCIA 35.1 Interferência e fontes coerentes 35.2 Interferência da luz produzida por duas fontes 35.3 Intensidade das figuras de interferência 35.4 Interferência em películas finas 35.5 O interferômetro de Michelson Resumo Problemas/exercícios/respostas 36 DIFRAÇÃO 36.1 Difração de Fresnel e difração de Fraunhofer 36.2 Difração produzida por uma fenda simples 36.3 Intensidade na difração produzida por uma fenda simples 36.4 Fendas múltiplas 36.5 A rede de difração 36.6 Difração de raios X 36.7 Orifícios circulares e poder de resolução 36.8 Holografia Resumo Problemas/exercícios/respostas 37 RELATIVIDADE 37.1 Invariância das leis físicas 37.2 Relatividade da simultaneidade 37.3 Relatividade dos intervalos de tempo 37.4 Relatividade do comprimento 37.5 As transformações de Lorentz 37.6 O efeito Doppler para as ondas eletromagnéticas 37.7 Momento linear relativístico 37.8 Trabalho e energia na relatividade 37.9 Mecânica newtoniana e relatividade Resumo Problemas/exercícios/respostas 38 FÓTONS: ONDAS DE LUZ SE COMPORTANDO COMO PARTÍCULAS 38.1 Luz absorvida como fótons: o efeito foloelétrico Sumário IX 38.2 Luz emitida como fótons: produção de raios X 38.3 Luz dispersa como fótons: dispersão de Compton e produção de pares 38.4 Dualidade onda-partícula, probabilidade e incerteza Resumo Problemas/exercícios/respostas 39 A NATUREZA ONDULATÓRIA DAS PARTÍCULAS 39.1 Ondas de elétrons 39.2 O átomo nuclear e espectros atômicos 39.3 Níveis de energia e o modelo do átomo de Bohr 39.4 O laser 39.5 Espectros contínuos 39.6 Revisão do princípio da incerteza Resumo Problemas/exercícios/respostas 40 MECÂNICA QUÂNTICA I: FUNÇÕES DE ONDA 40.1 Funções de onda e a equação unidimensional de Schrödinger 40.2 Partícula em uma caixa 40.3 Poços de potencial 40.4 Barreira de potencial e efeito túnel 40.5 O oscilador harmônico 40.6 Medição na mecânica quântica Resumo Problemas/exercícios/respostas 41 MECÂNICA QUÂNTICA II: ESTRUTURA ATÔMICA 41.1 A equação de Schrödinger em três dimensões 41.2 Partícula em uma caixa tridimensional 41.3 O átomo de hidrogênio 41.4 O efeito de Zeeman 41.5 Spin eletrônico 41.6 Átomos com muitos elétrons e o princípio de exclusão 41.7 Espectro de raios X 41.8 Entrelaçamento quântico Resumo Problemas/exercícios/respostas 42 MOLÉCULAS E MATÉRIA CONDENSADA 42.1 Tipos de ligações moleculares 42.2 Espectro molecular 42.3 Estrutura de um sólido 42.4 Bandas de energia 42.5 Modelo do elétron livre para um metal 42.6 Semicondutores 42.7 Dispositivos semicondutores 42.8 Supercondutividade Resumo Problemas/exercícios/respostas 43 FÍSICA NUCLEAR 43.1 Propriedades do núcleosão números que devem ser combinados usando-se as regras nor-mais da aritmética. As grandezas vetoriais possuem módulo, direção e sentido e devem ser combinadas usando-se as regras da soma vetorial. O negativo de um vetor possui o mesmo módulo, mas aponta no sentido oposto (Exemplo 1.5).ASASBSBSA + BS S=+Componentes vetoriais e soma vetorial: a soma vetorial pode ser feita usando-se os componentes dos vetores. O componente x de = � é a soma dos componentes x de e , o mesmo ocorrendo com os componentes y e z (exemplos 1.6 e 1.7). Rx = Ax + Bx Ry = Ay + By (1.9) Rz = Az + BzASBSRSOxyByBxAxRxRyAyCAPÍTULO 1 RESUMO28 Física IVetores unitários: os vetores unitários descrevem certas direções e sentidos no espaço. Um vetor unitário possui módulo igual a 1, sem unidades. Especialmente úteis são os vetores unitários , e , alinhados aos eixos x, y e z de um sistema retangular de coordenadas (Exemplo 1.8). = Ax + Ay + Az (1.14)Aye= Ax d=d=e= yxOA = Ax d= + Aye= SProduto escalar: o produto escalar C = � de dois vetores e é uma grandeza escalar. Pode ser expresso em termos dos módulos de e e o ângulo f, entre os dois vetores, ou em termos dos componentes dos dois vetores. O produto escalar é comutativo; � = � . O produto escalar de dois vetores perpendiculares é igual a zero (exem-plos 1.9 e 1.10).AS # BS= AB cos f = 0 AS 0 0 BS 0 cos (1.16)(1.19) f AS # BS= Ax Bx + Ay By + Az Bz ASBSfProduto escalar AS # BS = AB cos f Produto vetorial: o produto vetorial = � de dois vetores e é um terceiro vetor . O módulo de � depende dos módulos de e e do ân-gulo f entre os dois vetores. A direção do produto vetorial é perpendicular ao plano dos dois vetores que estão sendo multiplicados, conforme a regra da mão direita. Os componentes de = � podem ser expressos em termos dos componentes de e de . O produto vetorial não é comutativo; � = � � . O produto vetorial de dois vetores paralelos ou antiparalelos é igual a zero (Exemplo 1.11). C = AB sen f (1.20) Cx = Ay Bz � Az By Cy = Az Bx � Ax Bz (1.25) Cz = Ax By � Ay BxAS : BS é ortogonal ao plano de AS e BSA : B(Módulo de AS : BS) = AB sen f S SASBSfProblema em destaque Vetores no telhadoUma unidade de ar-condicionado é fixada a um telhado que se inclina em um ângulo de 35° acima da horizontal (Figura 1.34). Seu peso é uma força sobre o aparelho que é dirigida verticalmente para baixo. Para que a unidade não quebre as telhas do telhado, o componente do peso da unidade perpen-dicular ao telhado não pode exceder 425 N. (Um newton, ou 1 N, é a unidade SI de força. É igual a 0,2248 lb). (a) Qual é o peso máximo permitido para a unidade? (b) Se a fixação falhar, a unidade desliza 1,50 m ao longo do telhado antes que seja detida por um parapeito. Quanto trabalho a força do peso faz na unidade durante seu deslizamento se a unidade tem o peso calculado na parte (a)? O trabalho realizado por uma força sobre um oxbjeto que sofre um deslocamento s→ é W = � .GUIA DA SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR:1. Este problema envolve vetores e componentes. Quais são as quantidades conhecidas? Que aspecto(s) do vetor de peso (módulo, direção e sentido, e/ou componentes em particular) representa(m) a variável-alvo para a parte (a)? Quais aspectos você precisa conhecer para resolver a parte (b)?2. Crie um esboço com base na Figura 1.34. Desenhe os eixos x e y, escolhendo o sentido positivo para cada um. Seus eixos não precisam ser horizontal e vertical, mas sim, per-pendiculares entre si. A Figura 1.34 mostra uma escolha conveniente de eixos: o eixo x é paralelo à inclinação do telhado.3. Escolha as equações que você usará para determinar as variáveis-alvo.EXECUTAR: 4. Use o relacionamento entre módulo e direção de um vetor e seus componentes para resolver a variável-alvo na parte FS1,50 mxy35°Figura 1.34 Uma unidade de ar-condicionado sobre um telhado inclinado.(Continua)Capítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 29(a). Cuidado: 35º é o ângulo correto para usar na equação? (Dica: verifique seu esboço.)5. Cuide para que sua resposta tenha o número correto de algarismos significativos.6. Use a definição do produto escalar para resolver a variá-vel-alvo na parte (b). Novamente, use o número correto de algarismos significativos.AVALIAR: 7. Sua resposta na parte (a) inclui um componente de vetor cujo valor absoluto é maior que o módulo do vetor? Isso é possível?8. Há duas maneiras de encontrar o produto escalar de dois vetores, uma delas utilizada para resolver a parte (b). Verifique sua resposta repetindo o cálculo pela outra ma-neira. As respostas são as mesmas?(Continuação)PROBLEMAS, , : níveis de dificuldade. PC: problemas cumulativos, incorporando material de outros capítulos. CALC: problemas exigindo cálculo. DADOS: problemas envolvendo dados reais, evidência científica, projeto experimental e/ou raciocínio científico. BIO: problemas envolvendo biociências.QUESTÕES PARA DISCUSSÃOQ1.1 Quantas experiências corretas são necessárias para re-futar uma teoria? Quantas são necessárias para aprovar uma teoria? Explique.Q1.2 Alguém pede para você calcular a tangente de 5,0 me-tros. Isso é possível? Explique.Q1.3 Qual é sua altura em centímetros? Qual é seu peso em newtons?Q1.4 Suponha que um Instituto Brasileiro de Ciências mante-nha diversas cópias acuradas do padrão internacional de qui-lograma. Mesmo após uma limpeza minuciosa, esses padrões nacionais de quilograma ganham massa a uma taxa média de aproximadamente 1 mg/y (1 y � 1 ano) quando comparado com o padrão internacional de quilograma a cada dez anos. Essa va-riação aparente é importante? Explique.Q1.5 Além de um pêndulo ou de um relógio de césio, que fenômeno físico poderia ser usado para definir um padrão de tempo?Q1.6 Descreva como você poderia estimar a espessura de uma folha de papel usando uma régua.Q1.7 O número π � 3,14159... é um número sem dimensão, visto que pode ser calculado como a razão entre dois compri-mentos. Descreva mais duas ou três grandezas físicas e geomé-tricas que não possuam dimensões.Q1.8 Quais são as unidades de volume? Suponha que outro aluno diga que o volume de um cilindro com altura h e raio r seja dado por πr3h. Explique por que isso está errado.Q1.9 Em uma competição com três arqueiros, cada um atira quatro flechas. As quatro flechas de José ficam a 10 cm acima, 10 cm abaixo, 10 cm para a esquerda e 10 cm para a direita do alvo. Todas as quatro setas de Mário ficam dentro de um cír-culo de 1 cm de raio com centro a 20 cm do alvo central. Todas as quatro setas de Flávio ficam a 1 cm do alvo central. O juiz afirma que um dos arqueiros é acurado, mas não preciso, outro é simultaneamente preciso e acurado, e o outro é preciso, mas não acurado. Identifique os arqueiros que se enquadram nessas descrições e explique seu raciocínio.Q1.10 O vetor ( � � ) é unitário? O vetor (3,0 � 2,0 ) é unitário? Justifique suas respostas.Q1.11 Uma ciclovia circular possui raio igual a 500 m. Qual é a distância percorrida por uma ciclista que percorre a pista da extremidade norte para a sul? E quando ela faz uma volta completa no círculo? Explique.Q1.12 Dois vetores cujos comprimentos sejam diferentes podem possuir uma soma vetorial igual a zero? Qual a restri-ção para os comprimentos a fim de que possuam uma soma vetorial igual a zero? Explique.Q1.13 Algumas vezes falamos de “um sentido para o tempo” que evolui do passado para o futuro. Isso significa que o tempo é uma grandeza vetorial? Explique seu raciocínio.Q1.14 Os controladores de tráfego aéreo fornecem instru-ções para os pilotos informando em que direção e sentido eles devem voar. Essas instruções são chamadas de “veto-res”. Se estas forem as únicas informações dadas aos pilo-tos, onome “vetor” está ou não sendo usado corretamente? Explique.Q1.15 Você pode achar uma grandeza vetorial que possua módulo igual a zero, tendo, porém, componentes diferentes de zero? Explique. É possível o módulo de um vetor ser menor que o de qualquer de seus componentes? Explique.Q1.16 (a) Faz sentido afirmar que um vetor é negativo? Por quê? (b) Faz sentido afirmar que um vetor é o negativo de outro? Por quê? Esta sua resposta contradiz o que você afirmou na parte (a)?Q1.17 Se � � , o que deve ser verdadeiro sobre as dire-ções e módulos de e se C � A � B? O que deve ser verda-deiro sobre as direções e módulos de e se C � 0?Q1.18 Se e são vetores diferentes de zero, é possível que � e � sejam ambos zero? Explique.Q1.19 O que resulta de � , o produto escalar de um vetor consigo mesmo? E no caso de � , o produto vetorial de um vetor consigo mesmo?Q1.20 Seja um vetor diferente de zero. Por que /A é um vetor unitário e qual é sua direção e sentido? Se u é o ângulo entre e o eixo �x, explique por que ( /A) � é denominado cosseno diretor deste eixo.Q1.21 A Figura 1.7 mostra o resultado de um erro inaceitável na posição de parada de um trem. Se um trem viaja por 890 km de Berlim a Paris e depois ultrapassa o fim da linha em 10,0 m, qual é o erro percentual na distância total coberta? É correto escrever que a distância total coberta pelo trem é de 890.010 km? Explique sua resposta.Q1.22 Quais das seguintes são operações matemáticas legíti-mas: (a) � ( � ); (b) ( � ) � ; (c) � ( � ); (d) � ( � ); (e) � ( � )? Forneça a razão da resposta em cada caso.30 Física IQ1.23 Considere os dois produtos vetoriais � ( � ) e ( � ) � . Forneça um exemplo para mostrar que esses dois vetores normalmente não possuem nem módulos nem di-reções iguais. Você pode escolher os três vetores , e , de modo que esses dois produtos vetoriais sejam iguais? Em caso afirmativo, dê um exemplo.Q1.24 Demonstre que não importa o que sejam e , � ( � ) � 0. (Sugestão: não procure uma prova matemática elaborada. Em vez disso, examine a definição da direção e do sentido do produto vetorial.)Q1.25 (a) Se � � 0, é necessariamente verdadeiro que A � 0 ou B � 0? Explique. (b) Se � � 0, é necessaria-mente verdadeiro que A � 0 ou B � 0? Explique.Q1.26 Se � 0 para um vetor no plano xy, é verdadeiro que Ax � �Ay? O que se pode afirmar sobre Ax e Ay?EXERCÍCIOSSeção 1.3 Padrões e unidadesSeção 1.4 Utilização e conversão de unidades1.1 Começando pela definição 1 pol � 2,54 cm, calcule o número de (a) quilômetros em 1,00 milha e (b) pés em 1,00 km.1.2 De acordo com o rótulo de um frasco de molho para salada, o volume do conteúdo é de 0,473 litro (L). Usando ape-nas a conversão 1 L � 1.000 cm3, expresse esse volume em milímetros cúbicos.1.3 Calcule o tempo em nanossegundos que a luz leva para percorrer uma distância de 1,0 km no vácuo. (Este resultado é uma grandeza importante de se lembrar.)1.4 A densidade do ouro é 19,3 g/cm3. Qual é esse valor em quilogramas por metro cúbico?1.5 O motor de um potente automóvel Chevrolet Corvette 1963 possui um volume aproximadamente igual a 5,3 L. Sabendo que 1 decâmetro (dam) é igual a 10 m, expresse esse volume em decâmetros cúbicos.1.6 Um campo quadrado que mede 100,0 m por 100,0 m possui uma área de 1,0 hectare. Um acre corresponde a uma área de 4.046,84 m2. Se um terreno possui uma área de 12,0 acres, qual é sua área em hectares?1.7 Qual será sua idade daqui a 1,0 bilhão de segundos? (Considere um ano de 365 dias.)1.8 Ao dirigir em um país exótico, você vê um aviso de li-mite máximo de velocidade de 100 mi/h na rodovia. Expresse esse limite em km/h e em m/s.1.9 O consumo de gasolina de um carro híbrido é aproxima-damente igual a 15,0 km/L. (a) Se você estiver dirigindo esse carro nos Estados Unidos e quiser comparar seu consumo com o de outros carros desse país, expresse esse consumo em mpg (milhas por galão). Use os fatores de conversão do Apêndice E. (b) Se o tanque de gasolina desse carro admite 45 L, quantos tanques de gasolina você usará para dirigir por 1.500 km?1.10 As seguintes conversões ocorrem com frequência em física e são muito úteis. (a) Considere 1 mi � 5.280 pés e 1 h � 3.600 s para converter 60 mph em unidades de pés/s. (b) A ace-leração de um objeto em queda livre é de 32 pés/s2. Considere 1 pé = 30,48 cm para expressar essa aceleração em unidades de m/s2. (c) A densidade da água é 1,0 g/cm3. Converta essa densi-dade em unidades de kg/m3.1.11 Neptúnio. No outono de 2002, um grupo de cien-tistas do Los Alamos National Laboratory determinou que a massa crítica do neptúnio-237 é de aproximadamente 60 kg. A massa crítica de um material passível de desintegração nu-clear é a quantidade mínima que deve ser acumulada para ini-ciar uma reação em cadeia. Esse elemento possui densidade de 19,5 g/cm3. Qual seria o raio de uma esfera desse material que possui massa crítica?1.12 BIO (a) A dose diária recomendada (DDR) do metal de magnésio é 410 mg/dia para homens. Expresse essa quantidade em g/dia. (b) Para adultos, a DDR do aminoácido lisina é de 12 mg por kg de massa corporal. Quantos gramas por dia um adulto de 75 kg deveria receber? (c) Uma cápsula multivitamínica pode conter 2,0 mg de vitamina B2 (riboflavina) e a DDR é de 0,0030 g/dia. Quantas dessas cápsulas uma pessoa deverá tomar a cada dia para obter a quantidade adequada dessa vitamina, se não re-ceber nada de outras fontes? (d) A DDR para o microelemento selênio é 0,000070 g/dia. Expresse essa dose em mg/dia.1.13 BIO Bactérias. As bactérias variam em tamanho, mas um diâmetro de 2,0 mm não é raro. Quais são o volume (em centímetros cúbicos) e a área da superfície (em milíme-tros quadrados) de uma bactéria esférica com esse tamanho? (Consulte as fórmulas relevantes no Apêndice B.)Seção 1.5 Incerteza e algarismos significativos1.14 Usando uma régua de madeira, você mede o compri-mento de uma placa metálica retangular e encontra 12 mm. Usando um micrômetro para medir a largura da placa, você en-contra 5,98 mm. Forneça as respostas dos seguintes itens com o número correto de algarismos significativos. (a) Qual a área do retângulo? (b) Qual a razão entre a largura do retângulo e seu comprimento? (c) Qual o perímetro do retângulo? (d) Qual a diferença entre o comprimento do retângulo e sua largura? (e) Qual a razão entre o comprimento do retângulo e sua largura?1.15 Um valor aproximado útil e fácil de lembrar para o número de segundos em um ano é π � 107. Determine o erro percentual nesse valor aproximado. (Um ano compreende 365,24 dias.)1.16 Expresse cada aproximação de π até seis algoritmos significativos: (a) 22/7 e (b) 355/113. (c) Essas aproximações são acuradas nessa precisão?Seção 1.6 Estimativas e ordens de grandeza1.17 BIO Um homem normal de meia-idade vai ao hospi-tal para fazer exames de rotina. A enfermeira anota “200” na sua ficha médica, mas se esquece de incluir as unidades. Qual das seguintes grandezas esse número pode representar? (a) A massa dele em quilogramas; (b) a altura dele em metros; (c) a altura dele em centímetros; (d) a altura dele em milímetros; (e) a idade dele em meses.1.18 Quantos litros de gasolina são consumidos no Brasil em um dia? Suponha que haja um carro para cada quatro pes-soas, que cada carro seja dirigido por uma média de 10.000 quilômetros por ano e que um carro percorra em média 14 qui-lômetros por litro de gasolina.1.19 BIO Quantas vezes uma pessoa normal pisca os olhos em toda sua vida?1.20 BIO Quatro astronautas estão em uma estação espacial esférica. (a) Se, como é comum, cada um deles respira cerca de 500 cm3 de ar a cada respiração, aproximadamente que volume de ar (em metros cúbicos) esses astronautas respiram em um ano? (b) Qual teria de ser o diâmetro (em metros) da estação espacial para conter todo esse ar?1.21 Na ópera de Wagner O anel dos nibelungos, a deusa Freia é resgatadaem troca de uma pilha de ouro com largura e altura suficientes para escondê-la de vista. Estime o valor dessa Capítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 31pilha de ouro. A densidade do ouro é 19,3 g/cm3 e seu valor é aproximadamente US$ 10 por grama.1.22 BIO Quantas vezes o coração de uma pessoa bate em toda sua vida? Quantos litros de sangue ele bombeia nesse pe-ríodo? (Estime que, em cada batida do coração, o volume de sangue bombeado é aproximadamente 50 cm3.)1.23 Você está usando gotas de água para diluir pequenas quantidades de um produto químico no laboratório. Quantas gotas de água há em uma garrafa de 1 L? (Dica: comece esti-mando o diâmetro de uma gota de água.)Seção 1.7 Vetores e soma vetorial1.24 Para os vetores e na Figura E1.24, use um de-senho em escala para achar o módulo e a direção (a) da soma vetorial � e (b) da diferença vetorial � . Use suas respostas para en-contrar o módulo e a direção de (c) � � e (d) � . (Veja também o Exercício 1.31 para usar um método alternativo na solução deste problema.)1.25 Um empregado do correio dirige um caminhão de entrega e faz o trajeto in-dicado na Figura E1.25. Determine o módulo, a dire-ção e o sentido do desloca-mento resultante usando diagramas em escala. (Veja o Exercício 1.32 para usar um método alternativo na solução deste problema.)Figura E1.2545°4,0 km2,6 km3,1 kmINÍCIOFIMNLOS1.26 Uma exploradora está pesquisando uma caverna. Ela percorre 180 m em linha reta para oeste, depois caminha 210 m em uma direção formando 45° com a direção anterior e em sentido sul para leste; a seguir, percorre 280 m a 30° no sen-tido do norte para o leste. Depois de um quarto deslocamento não medido, ela retorna ao ponto de partida. Use um diagrama em escala para determinar o módulo, a direção e o sentido do quarto deslocamento. (Veja o Problema 1.61 para usar um mé-todo alternativo na solução de um problema semelhante a este.)Seção 1.8 Componentes de vetores1.27 Determine os componentes x e y dos vetores , , e indicados na Figura E1.24.1.28 Tomemos u como o ângulo que o vetor forma com o eixo �x, medido no sentido anti-horário desse eixo. Determine o ângulo u para um vetor que possui os seguintes componentes: (a) Ax = 2,0 m, Ay = �1,0 m; (b) Ax = 2,0 m, Ay = 1,0 m; (c) Ax = �2,0 m, Ay = 1,0 m; (d) Ax = �2,0 m, Ay = �1,0 m.1.29 O vetor tem componente y Ay = �9,60. forma um ângulo de 32,0º em sentido anti-horário a partir do eixo �y. (a) Qual é o componente x de ? (b) Qual é o módulo de ?1.30 O vetor está a 34,0º em sentido anti-horário do eixo �y. O componente x de é Ax = �16,0 m. (a) Qual é o compo-nente y de ? (b) Qual é o módulo de ?1.31 Para os vetores e na Figura Q1.24, use o método dos componentes para achar o módulo e a direção e sentido de (a) a soma vetorial � ; (b) a soma vetorial � ; (c) a dife-rença vetorial � ; (d) a diferença vetorial � .1.32 Um empregado do serviço postal dirige um cami-nhão de entrega e faz o trajeto indicado na Figura Q1.25. Use o método dos componentes para determinar o módulo, a di-reção e o sentido do deslocamento resultante. Mediante um diagrama vetorial (aproximadamente em escala), mostre que o deslocamento resultante obtido com esse diagrama concorda aproximadamente com o resultado obtido pelo método dos componentes.1.33 Um professor de física desorientado dirige 3,25 km para o norte, depois 2,2 km para oeste e, a seguir, 1,50 km para o sul. Determine o módulo, a direção e o sentido do desloca-mento resultante, usando o método dos componentes. Usando diagramas (aproximadamente em escala), mostre que o des-locamento resultante encontrado em seu diagrama concorda aproximadamente com o resultado obtido pelo método dos componentes.1.34 Determine o módulo, a direção e o sentido dos vetores representados pelos seguintes pares de componentes: (a) Ax = �8,60 cm, Ay = 5,20 cm; (b) Ax = �9,70 m, Ay = �2,45 m; (c) Ax = 7,75 km, Ay � �2,70 km.1.35 O vetor possui comprimento igual a 2,80 cm e está no primeiro quadrante a 60,0° acima do eixo x. O vetor possui comprimento igual a 1,90 cm e está no quarto quadrante a 60,0° abaixo do eixo x (Figura E1.35). Use componentes para encon-trar o módulo e a direção de (a) � ; (b) � ; (c) � . Em cada caso, faça um diagrama da soma ou da diferença e mostre que os resultados concordam apro-ximadamente com as respostas numéricas obtidas.Seção 1.9 Vetores unitários1.36 Em cada caso, determine os componentes de x e y do vetor : (a) = 5,0 � 6,3 ; (b) = 11,2 � 9,91 ; (c) = �15,0 � 22,4 ; (d) = 5,0 , onde = 4 � 6 .1.37 Escreva cada vetor indicado na Figura Q1.24 em ter-mos dos vetores unitários e .1.38 Dados dois vetores = 4,00 � 7,00 e = 5,00 � 2,00 , (a) ache o módulo de cada vetor; (b) escreva uma expres-são para a diferença vetorial � usando vetores unitários; (c) ache o módulo e a direção da diferença vetorial � ; (d) faça um diagrama vetorial para , e � , e mostre que os resultados concordam aproximadamente com a resposta do item (c).1.39 (a) Escreva cada vetor indicado na Figura E1.39 em termos dos vetores unitários e . (b) Use vetores unitários para escrever o vetor , onde = 3,00 � 4,00 (c) Encontre o módulo e a direção de .SSSy30,0°53,0°O25,0°xB (15,0 m)D (10,0 m)C (12,0 m)A (8,00 m)SFigura E1.24yxO60,0°60,0°B (1,90 cm)A (2,80 cm)SSFigura E1.3532 Física I1.40 Sejam dados dois ve-tores, � �3,00 � 6,00 e � 7,00 � 2,00 . Sejam positivos os ângulos anti-ho-rários.(a) Que ângulo forma com o eixo �x? (b) Que ân-gulo forma com o eixo �x? (c) O vetor é a soma de e , de modo que � � . Que ângulo forma com o eixo �x?1.41 Dados dois vetores = �2,00 � 3,00 � 4,00 e = 3,00 � 1,00 � 3,00 , (a) ache o módulo de cada vetor; (b) use vetores unitários para escrever uma expressão para a diferença vetorial � ; e (c) ache o módulo da diferença vetorial � . Este módulo é o mesmo de � ? Explique.Seção 1.10 Produtos de vetores1.42 (a) Ache o produto escalar dos dois vetores e mencionados no Exercício 1.38. (b) Encontre o ângulo entre esses dois vetores.1.43 Para os vetores , e indicados na Figura E1.24, ache os produtos escalares (a) � ; (b) � ; (c) � .1.44 Encontre o produto vetorial � (expresso em ter-mos de vetores unitários) dos vetores indicados no Exercício 1.38. Qual o módulo desse produto vetorial?1.45 Ache o ângulo entre cada par de vetores: (a) = �2,00 � 6,00 e = 2,00 � 3,00 (b) = 3,00 � 5,00 e = 10,00 � 6,00 (c) = �4,00 � 2,00 e = 7,00 � 14,001.46 Para os dois vetores indicados na Figura Q1.35, ache o módulo e a direção do (a) produto vetorial � ; (b) produto vetorial � .1.47 Para os vetores e indicados na Figura Q1.24, ache o módulo e a direção do (a) produto vetorial � ; (b) pro-duto vetorial � .1.48 Para os vetores e indicados na Figura Q1.39, ache (a) o produto escalar � ; (b) o módulo e a direção do produto vetorial � .PROBLEMAS1.49 Anãs brancas e estrelas de nêutrons. Lembre-se de que densidade é massa dividida pelo volume e consulte o Apêndice B se for preciso. (a) Calcule a densidade média da Terra em g/cm3, supondo que nosso planeta seja uma esfera perfeita. (b) Em cerca de 5 bilhões de anos, no final de sua vida, nosso Sol vai acabar como uma anã branca com apro-ximadamente a mesma massa, tal como agora, mas reduzido para cerca de 15.000 km de diâmetro. Qual será sua densidade nesse estágio? (c) Uma estrela de nêutrons é o remanescente de certas supernovas (explosões de estrelas gigantes). Geralmente, estrelas de nêutrons têm cerca de 20 km de diâmetro e aproxi-madamente a mesma massa do nosso Sol. Qual é a densidade típica da estrela de nêutrons em g/cm3?1.50 A milha ainda é uma unidade de comprimento muito usada nos Estados Unidos e na Europa. Sabendo que 1 mi é aproximadamente igual a 1,61 km, calcule:(a) o número de me-tros quadrados existentes em uma milha quadrada; (b) o nú-mero de decímetros cúbicos existentes em uma milha cúbica.1.51 Um planeta semelhante à Terra. Em janeiro de 2006, astrônomos relataram a descoberta de um planeta comparável em tamanho ao da Terra, na órbita de outra estrela e com apro-ximadamente 5,5 vezes a massa da Terra. Acredita-se que con-sista em um misto de rocha e gelo, semelhante a Netuno. Se esse planeta possui a mesma densidade de Netuno (1,76 g/cm3), qual é seu raio expresso (a) em quilômetros e (b) como múltiplo do raio da Terra? Consulte o Apêndice F para obter dados de astronomia.1.52 O maser de hidrogênio. Um maser é um dispositivo tipo laser, que produz ondas eletromagnéticas com frequên-cias nas faixas de micro-ondas e ondas de rádio do espectro eletromagnético. As ondas de rádio geradas por um maser de hidrogênio podem ser usadas como um padrão de frequência. A frequência dessas ondas é igual a 1.420.405.751,786 hertz. (Um hertz é o mesmo que um ciclo por segundo.) Um relógio controlado por um maser de hidrogênio pode atrasar ou adian-tar apenas 1 s em 100.000 anos. Para as respostas às perguntas seguintes, use apenas três algarismos significativos. (O grande número de algarismos significativos nessa frequência simples-mente ilustra a impressionante exatidão de sua medida.) (a) Qual é o intervalo de tempo de um ciclo dessa onda de rádio? (b) Quantos ciclos ocorrem em 1 h? (c) Quantos ciclos pode-riam ter ocorrido durante a idade da Terra, estimada em 4,6 � 109 anos? (d) Quantos segundos um relógio controlado por um maser de hidrogênio poderia atrasar ou adiantar em um inter-valo igual à idade da Terra?1.53 BIO Respirando oxigênio. A densidade do ar sob as condições normais de laboratório é de 1,29 kg/m3, e o teor de oxigênio desse ar corresponde a cerca de 20%. Normalmente, as pessoas aspiram cerca de meio litro de ar a cada respiração. (a) Quantos gramas de oxigênio uma pessoa respira por dia? (b) Se esse ar for armazenado não comprimido em um tanque cúbico, qual é o tamanho de cada lado do tanque?1.54 Um pedaço retangular de alumínio tem 7,60 � 0,01 cm de comprimento e 1,90 � 0,01 cm de largura. (a) Ache a área do retângulo e a incerteza na área. (b) Verifique se a incer-teza fracionária na área é igual à soma das incertezas fracioná-rias no comprimento e na largura. (Este é um resultado geral.)1.55 À medida que você come um pacote de biscoitos de chocolate, observa que cada biscoito é um disco circular com um diâmetro de 8,50 � 0,02 cm e espessura de 0,050 � 0,005 cm. (a) Ache o volume médio de um biscoito e a incerteza no vo-lume. (b) Ache a razão entre o diâmetro e a espessura e a in-certeza nessa razão.1.56 BIO Tecidos biológicos são tipicamente compostos de 98% de água. Considerando-se a densidade da água como 1,0 � 103 kg/m3, estime a massa (a) do coração de um humano adulto; (b) de uma célula com diâmetro de 0,5 mm; (c) de uma abelha.1.57 BIO Estime o número de átomos existentes em seu corpo. (Dica: com base em seus conhecimentos de biologia e de química, quais os tipos mais comuns de átomos existentes em seu corpo? Qual é a massa de cada um desses átomos? O Apêndice D apresenta uma relação das massas atômicas dos diferentes elementos, expressas em unidades de massa atômica; você encontrará o valor de uma unidade de massa atômica, ou 1 u, no Apêndice E.)1.58 Duas cordas em um plano vertical exercem as mes-mas forças de módulo sobre um peso suspenso, mas a tração entre elas possui um ângulo de 72,0º. Qual é a força de tração que cada uma exerce, se a tração resultante é de 372 N direta-mente para cima?Figura E1.3970,0°O30,0°yxB (2,4 m)A (3,60 m)SSCapítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 331.59 Dois operários puxam horizontalmente uma caixa pesada, mas um deles usa o dobro da força do outro. A maior tração está na direção 21,0º de norte para oeste, e o resultante dessas duas forças é 460,0 N no sentido norte. Use os compo-nentes vetoriais para achar o módulo de cada uma dessas forças e a direção e o sentido da menor força.1.60 Três cordas horizon-tais puxam uma pedra enorme encravada no solo, produzindo as forças vetoriais , e , demonstradas na Figura P1.60. Encontre o módulo e a direção de uma quarta força que pro-duzirá a soma vetorial zero para as quatro forças.1.61 Como dito no Exercício 1.26, uma pesqui-sadora está estudando uma caverna. Ela percorre 180 m em linha reta para oeste, depois caminha 210 m em uma direção que forma 45° de sul para leste, e a seguir percorre 280 m a 30° no sentido do norte para o leste. Depois de um quarto des-locamento, ela retorna ao ponto de partida. Use o método dos componentes para determinar o módulo, a direção e o sentido do quarto deslocamento. Verifique se a solução obtida usando-se um diagrama em escala é aproximadamente igual ao resultado obtido pelo método dos componentes.1.62 Aterrissagem de emergência. Um avião parte do aeroporto de Galisteo e voa 170 km, a 68º do norte para o leste e depois muda de direção, passando a voar a 230 km a 36,0º do leste para o sul, fazendo na sequência um pouso de emergência em um pasto. Quando o aeroporto envia uma equipe de resgate, em qual direção e a que distância essa equipe voará para seguir diretamente até esse avião?1.63 BIO Ombro deslocado. Um paciente com um ombro deslocado é colocado em um aparelho de tração conforme mos-tra a Figura P1.63. As trações e possuem o mesmo mó-dulo e precisam ser combinadas para produzir uma força de tração de 12,8 N para fora, no braço do paciente. Qual deve ser o valor dessa força de tração?Figura P1.63 ASBS32°32°1.64 Uma velejadora encontra ventos que impelem seu pequeno barco a vela. Ela veleja 2,0 km para leste, a seguir, 3,50 km para sudeste e depois, certa distância em direção des-conhecida. No final do trajeto, ela está a 5,80 km diretamente a leste de seu ponto de partida (Figura P1.64). Determine o módulo e a direção do terceiro deslocamento. Faça um diagrama em escala da soma vetorial dos deslocamentos e mostre que ele concorda aproximadamente com o resultado obtido mediante sua solução numérica.Figura P1.6445,0°NLOS3,50 kmTerceiro trechoINÍCIO5,80 kmFIM2,00 km1.65 Você sai do aeroporto de Congonhas e voa por 23,0 km na direção 34,0º do leste para o sul. Depois, voa por 46,0 km na direção norte. Então, até que distância e direção você precisa voar para alcançar a pista de pouso que está a 32,0 km a oeste do aeroporto de Congonhas?1.66 Em um voo de treinamento, uma aprendiz de piloto voa de Lincoln, no Estado de Nebraska, até Clarinda, em Iowa; a seguir, até St. Joseph, no Missouri; depois até Manhattan, no Kansas (Figura P1.66). Os ângulos formados pelos desloca-mentos são medidos em relação ao norte: 0° significa o sentido norte, 90° é o leste, 180° é o sul e 270° é o oeste. Use o método dos componentes para achar (a) a distância que ela terá de voar para voltar de Manhattan até Lincoln; (b) a direção (em relação ao norte) que ela deverá voar para voltar ao ponto de partida. Ilustre a solução fazendo um diagrama vetorial.Figura P1.66Lincoln ClarindaSt. JosephManhattan166 km235°106 km 167°NEBRASKAIOWAKANSAS MISSOURI147 km85°NLOS1.67 Como um teste de habilidades de orientação, sua turma de física realiza uma disputa em um campo grande e aberto. Cada participante deverá seguir 20,8 m ao norte do ponto de partida, depois 38,0 m a leste e, por fim, 18,0 m na direção 33,0° do oeste para o sul. O vencedor é aquele que levar o menor tempo para encontrar um dólar de prata escon-dido sob uma pedra. Lembrando-se do que aprendeu na aula, você corre do ponto de partida em linha reta até a moeda escondida. A que distância e em que direção e sentido você deve correr?1.68 O retorno. Um explorador na Antártica deixa seu abrigo durante um apagão. Ele dá 40 passos no sentido nor-deste, depois 80 passos em uma direção que forma um ângulo de 60° do oeste para o norte e, a seguir, 50 passos diretamente para o sul. Considerando-se que seus passos têm o mesmo com-primento: (a) faça um diagrama, aproximadamente em escala, dos três vetores e da resultante da soma vetorial. (b) Ajude-o a evitar que ele se perca na neve, fornecendo-lhe o vetor deslo-camento, calculado pelo método dos componentes, necessário para que ele retorne a seu abrigo.Figura P1.60A (100,0 N)30,0°30,0°O53,0°B (80,0 N)C (40,0 N)yxSSS34 Física I1.69 Você está perdido à noite em um campo grande, aberto. Seu GPS lhe diz que você está a 122,0 m de seu carro, na direção 58,0º do sul para o oeste. Você percorre 72,0 m na direção oeste ao longo de um canal. Por qual distância e em que direção você precisa caminhar para chegar ao seu carro?1.70 Um barco parte da ilha de Guam e navega a 285 km e 62,0º do oeste para o norte. Em qual direção ele deve seguir agora e qual a distância a percorrer de modo que seu desloca-mento resultante seja 115 km diretamente a leste da ilha?1.71 BIO Ossos e músculos. O braço de um paciente em tratamento pesa 20,5 N e ergue-se a um peso de 112,0 N. Essas duas forças têm direção verticalmente para baixo. As únicas outras forças significativas no braço dele vêm do músculo do bíceps (que age perpendicularmente ao braço) e do cotovelo. Se o bíceps produz uma tração de 232 N, quando o braço é levan-tado a 43º em relação ao plano horizontal, descubra o módulo e a direção da força que o cotovelo exerce sobre o braço. (A soma das forças do cotovelo e do bíceps deve equilibrar o peso do braço e o peso que ele carrega, de modo que a soma vetorial deve ser 132,5 N para cima.)1.72 Você está com fome e decide ir a seu restaurante fa-vorito na região. Você sai de seu apartamento e toma o eleva-dor para descer 10 andares (cada andar tem 3,0 m de altura) e depois segue 15 m ao sul, até a saída do prédio. Então, cami-nha 0,200 km a leste, vira para o norte e segue 0,100 km até a entrada do restaurante. (a) Determine o deslocamento de seu apartamento até o restaurante. Use a notação do vetor unitário em sua resposta, certificando-se de deixar clara a escolha das coordenadas. (b) Qual distância você percorreu de seu aparta-mento até a lanchonete e qual é o módulo do deslocamento que você calculou na parte (a)?1.73 Ao seguir um mapa do tesouro, você parte de um velho carvalho. Primeiro, caminha 825 m diretamente para o sul, depois vira e segue 1,25 km a 30,0º do norte para o oeste e, finalmente, caminha 1,0 km a 32,0º do leste para o norte, onde encontra o tesouro: uma biografia de Isaac Newton! (a) Para retornar ao velho carvalho, em que direção deve ir e qual dis-tância deve percorrer? Use os componentes para resolver este problema. (b) Para conferir seu cálculo na parte (a), desenhe uma solução gráfica aproximada em escala.1.74 Um poste está a 52,0 m de onde você está parado, na direção 37,0º do leste para o norte. Um segundo poste está em uma direção norte-sul, apontando para o sul. A que distância você está do segundo poste, se a distância entre os dois postes é de 68,0 m?1.75 Um cão em um campo aberto corre por 12,0 m para o leste e depois 28,0 m na direção 50,0º do norte para o oeste. Em que direção e sentido e a que distância o cão precisa correr para parar a 10,0 m ao sul do seu ponto de partida original?1.76 Ricardo e Jane estão parados sob uma árvore no meio de um pasto. Há uma discussão entre eles, e em seguida os dois partem em diferentes direções e sentidos. Ricardo ca-minha 26,0 m na direção a 60,0º do norte para o oeste. Jane segue por 16,0 m na direção a 30,0º do oeste para o sul. Então eles param e olham um para o outro. (a) Qual é a distância entre eles? (b) Em que direção e sentido Ricardo deve caminhar para ir diretamente a Jane?1.77 Você está acampando com dois amigos, José e Carlos. Como os três gostam de privacidade, vocês não mon-tam as barracas perto uma das outras. A barraca de José está a 21,0 m da sua, na direção 23,0º do leste para o sul. A de Carlos está a 32,0 m da sua, na direção 37,0º do leste para o norte. Qual é a distância entre a barraca de Carlos e a de José?1.78 Ângulo da ligação no metano. Na molécula do me-tano, CH4, cada átomo de hidrogênio ocupa o vértice de um tetraedro regular em cujo centro se encontra o átomo de car-bono. Usando coordenadas de tal modo que uma das ligações C — H esteja na direção de � � , uma ligação C — H adjacente estará na direção − − . Calcule o ângulo entre essas duas ligações.1.79 Os dois vetores e possuem produto escalar −6,00, e seu produto vetorial possui módulo �9,00. Qual é o ângulo entre esses vetores?1.80 Um cubo é colocado de modo que um de seus vértices esteja na origem e três ares-tas coincidam com os eixos x, y e z de um sistema de co-ordenadas (Figura P1.80). Use vetores para calcular: (a) o ângulo entre a aresta ao longo do eixo z (linha ab) e a diagonal da origem até o vértice oposto (linha ad); (b) o ângulo entre a linha ac (a diagonal de uma das faces) e a linha ad.1.81 O vetor tem módulo de 12,0 m, e o vetor tem mó-dulo de 16,0 m. O produto escalar � é 112,0 m2. Qual é o módulo do produto vetorial entre esses dois vetores?1.82 Obtenha um vetor unitário perpendicular aos dois vetores indicados no Exercício 1.41.1.83 O produto escalar dos vetores e é �48,0 m2. O vetor tem módulo 9,00 m na direção 28,0º do sul para o oeste. Se o vetor tem direção 39,0º do leste para o sul, qual é o módulo de ?1.84 Dois vetores e possuem módulos A = 3,00 e B = 3,00. Seu produto vetorial é � = −5,00 � 2,00 . Qual é o ângulo entre e ?1.85 São dados dois vetores = 5,0 − 6,5 e = 3,5 − 7,0 . Um terceiro vetor, , se encontra no plano xy. O vetor é per-pendicular ao vetor , e o produto escalar de com é 15,0. Por essa informação, ache os componentes do vetor .1.86 Mais tarde, em nossos estudos de física, encontrare-mos grandezas representadas por ( � ) � . (a) Quaisquer que sejam os vetores , e , prove que � ( � ) = ( � ) � . (b) Calcule ( � ) � para os três vetores se-guintes: com módulo A � 5,00 e ângulo uA � 26,0° (medido supondo-se uma rotação no sentido do eixo �x para o eixo �y), com módulo B � 4,0 e ângulo uB � 63,0° e com módulo 6,0 e orientado ao longo do eixo �z. Os vetores e estão sobre o plano xy.1.87 DADOS Você é o líder de equipe em uma empresa farmacêutica. Vários técnicos estão preparando amostras, e você deseja comparar as densidades delas (densidade = massa/vo-lume) usando os valores de massa e volume que eles relataram. Infelizmente, você não especificou quais unidades deveriam ser usadas. Os técnicos usaram diversas unidades no informe de seus valores, como mostra a tabela a seguir.xyzb cdaFigura P1.80Capítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 35Código da amostraMassa VolumeA 8,00 g 1,67 × 10–6 m3 B 6,00 mg 9,38 × 106 mm3C 8,00 mg 2,50 × 10–3 cm3D 9,00 × 10–4 kg 2,81 × 103 mm3E 9,00 × 104 ng 1,41 × 10–2 mm3F 6,00 × 10–2 mg 1,25 × 108 mm3Liste os códigos da amostra em ordem crescente de densidade.1.88 DADOS Você é um engenheiro mecânico traba-lhando para uma fábrica. Duas forças, 1 e 2, atuam sobre a peça de um equipamento. Seu chefe lhe pediu para achar o mó-dulo da maior dessas duas forças. Você pode variar o ângulo entre 1 e 2 de 0º a 90º, enquanto o módulo de cada força permanece constante. E você pode medir o módulo da força resultante que ela produz (sua soma vetorial), mas não pode medir diretamente o módulo de cada força separada. Você mede o módulo da força resultante para quatro ângulos u entre as direções das duas forças da seguinte maneira:u Força resultante (N)0,0º 8,0045,0º 7,4360,0º 7,0090,0º 5,83(a) Qual é o módulo da maior dessas duas forças?(b) Quando o equipamento é usado na linha de produção, o ân-gulo entre as duas forças é 30,0º. Qualé o módulo da força resultante neste caso?1.89 DADOS Navegando no sistema solar. A espaço-nave Mars Polar Lander (explorador polar de Marte) foi lan-çada em 3 de janeiro de 1999. No dia 3 de dezembro de 1999, ela pousou na superfície de Marte em alta velocidade e prova-velmente se desintegrou, ocasião em que as posições de Marte e da Terra eram dadas pelas seguintes coordenadas:x y zTerra 0,3182 UA 0,9329 UA 0,0000 UAMarte 1,3087 UA −0,4423 UA −0,0414 UANessas coordenadas, o Sol está na origem e o plano da órbita da Terra é o xy. A Terra corta o eixo +x uma vez por ano no equinócio do outono, o primeiro dia de outono no Hemisfério Norte, o que ocorre em torno do dia 22 de setembro. Uma UA, ou unidade astronômica, equivale a 1,496 × 108 km, a distân-cia média entre a Terra e o Sol. (a) Em um diagrama, mostre as posições do Sol, da Terra e de Marte no dia 3 de dezembro de 1999. (b) Calcule as seguintes distâncias em UA no dia 3 de dezembro de 1999: (i) entre o Sol e a Terra; (ii) entre o Sol e Marte; (iii) entre a Terra e Marte. (c) Observando-se da Terra, qual era o ângulo entre a direção que unia a Terra a Marte e a direção que unia a Terra ao Sol no dia 3 de dezembro de 1999? (d) Verifique e explique se Marte era visível à meia-noite na sua cidade no dia 3 de dezembro de 1999. (Quando é meia-noite no seu local, o Sol está do lado oposto da Terra em relação a você.)PROBLEMAS DESAFIADORES1.90 Passe completo. O time de futebol americano da Enormous State University (ESU) usa deslocamentos vetoriais para registrar suas jogadas, com a origem tomada na posição da bola no centro do campo. Em um passe do goleiro, um la-teral começa em �1,0 − 5,0 , onde as unidades são metros, é para a direita e é campo adentro. Os deslocamentos se-guintes do recebedor são �9,0 (ele está em movimento antes de receber a bola), �11,0 (segue campo adentro), −6,0 + 4,0 (dribla) e +12,0 � 18,0 (dribla). Enquanto isso, o lançador foi direto para a posição −7,0 . A que distância e em que direção o lançador deve lançar a bola? (Como técnico, você será acon-selhado a fazer um diagrama da situação antes de resolvê-la numericamente.)1.91 Navegando na Ursa Maior. As sete estrelas prin-cipais da Ursa Maior parecem estar sempre situadas a uma mesma distância da Terra, embora elas estejam muito afasta-das entre si. A Figura P1.91 indica a distância entre a Terra e cada uma dessas estrelas. As distâncias são dadas em anos-luz (al) — um ano-luz é a distância percorrida pela luz durante um ano, e equivale a 9,461 � 1015 m. (a) Alcaide e Méraque estão 25,6º separadas no céu. Em um diagrama, mostre as posições relativas do Sol, de Alcaide e de Méraque. Calcule a distância em anos-luz entre Alcaide e Méraque. (b) Para um habitante de um planeta na órbita de Méraque, qual seria a separação angu-lar entre o Sol e Alcaide?Mizar73 alMegrez81 alDubhe105 alMéraque77 alPhad80 alAliote64 alAlcaide138 alFigura P1.91Problemas com contextoBIO Calculando o volume do pulmão em humanos. Em hu-manos, oxigênio e dióxido de carbono são trocados no sangue dentro de bolsas chamadas alvéolos nos pulmões. Os alvéolos oferecem uma grande superfície para a troca de gás. Medições cuidadosas recentes mostram que o número total de alvéolos em um par de pulmões normais é cerca de 480 � 106 e que o volume médio de um único alvéolo é 4,2 � 106 mm3. (O volume de uma esfera é V = 43 � r3, e a área de uma esfera é A = 4� r2.)1.92 Qual é o volume total da região de troca de gás dos pul-mões? (a) 2000 mm3; (b) 2 m3; (c) 2,0 L; (d) 120 L.1.93 Se considerarmos que os alvéolos são esféricos, qual é o diâ-metro de um alvéolo típico? (a) 0,20 mm; (b) 2 mm; (c) 20 mm; (d) 200 mm.1.94 Os indivíduos variam bastante no volume total dos pul-mões. A Figura P1.94 mostra os resultados da medição do volume total dos pulmões e volume alveolar médio de seis in-divíduos. Por esses dados, o que você poderia deduzir sobre a relação entre o tamanho alveolar, o volume total dos pulmões e a quantidade de alvéolos por indivíduo? À medida que o volume total dos pulmões aumenta, (a) a quantidade e o volume dos 36 Física IRESPOSTASResposta à pergunta inicial do capítulo(iii) Tome o eixo �x apontado para leste e o eixo �y apontado para norte. O que estamos tentando determinar é o componente y do vetor de velocidade, que possui módulo y � 15 km/h e está a um ângulo u = 37º, medido do eixo �x para o eixo �y. Pelas equações 1.5, temos yy = y sen u = (15 km/h) sen 37º � 9 km/h. Logo, o furacão move-se a 9 km rumo ao norte em 1 hora e 18 km rumo ao norte em 2 horas.Respostas às perguntas dos testes de compreensão1.5 (ii) Densidade = (1,80 kg)/(6,0 � 10–4 m3) = 3,0 � 103 kg/m3. Quando multiplicamos ou dividimos, o número com menos al-garismos significativos controla o número de algarismos signi-ficativos no resultado.1.6 A resposta depende de quantos alunos são matriculados em seu campus.1.7 (ii), (iii) e (iv). O vetor � possui o mesmo módulo do vetor , portanto � = + (� ) é a soma de um vetor de módulo 3 m e outro de 4 m. Essa soma resulta no módulo 7 m, se e � forem paralelos, e no módulo 1 m, se e � forem antiparalelos. O módulo de � é 5 m, se e � forem per-pendiculares, de modo que os vetores , e � formem um triângulo retângulo 3-4-5. A resposta para (i) é impossível por-que o módulo da soma de dois vetores não pode ser maior que a soma dos módulos; a resposta para (v) é impossível porque a soma de dois vetores poderá ser nula somente se os dois vetores forem antiparalelos e tiverem o mesmo módulo; e a resposta para (vi) é impossível porque o módulo de um vetor não pode ser negativo.1.8 (a) sim, (b) não. Os vetores e podem ter o mesmo módulo, mas diferentes componentes se apontam para diferen-tes direções. Se, contudo, possuírem os mesmos componentes, serão o mesmo vetor ( = ) e, portanto, deverão ter o mesmo módulo.1.9 Todos possuem o mesmo módulo. Os quatro vetores , , e apontam para direções opostas, mas todos possuem o mesmo módulo:A = B = C = D = "1 {3 m2 2 + 1 {5 m2 2 + 1 {2 m2 2 = "9 m2 + 25 m2 + 4 m2 = "38 m2 = 6,2 m1.10 (a) (ii) f = 90º, (b) (i) f = 0º ou (iii) f = 180º, (c) (i) f = 0º, (d) (iii) f =180º, (e) (ii) f = 90º. (a) O produto escalar é zero somente se e forem perpendiculares. (b) O produto vetorial é zero somente se e forem paralelos ou antiparalelos. (c) O produto escalar é igual ao produto dos módulos ( � = AB) somente se e forem paralelos. (d) O produto escalar é igual à negativa do produto dos módulos ( � = �AB), somente se e forem antiparalelos. (e) O módulo do produto vetorial é igual ao produto dos módulos [(módulo de � ) = AB] somente se e forem perpendiculares.Problema em destaque(a) 5,2 � 102 N(b) 4,5 � 102 N � malvéolos individuais aumenta; (b) a quantidade de alvéolos au-menta e o volume dos alvéolos individuais diminui; (c) o volume dos alvéolos individuais permanece constante e a quantidade de alvéolos aumenta; (d) tanto a quantidade de alvéolos quanto o volume dos alvéolos individuais permanecem constantes.156Volume alveolar médio432500 1000 1500Volume total dos pulmões2000 25000Figura P1.942?Um velocista em geral acelera gradualmente no decorrer de uma corrida e de-sacelera gradualmente após cruzar a linha de chegada. Em que parte do movimento é correto dizer que ele está acelerando? (i) Durante a cor-rida; (ii) depois que ele cruza a linha de chegada; (iii) am-bas as opções anteriores; (iv) nem (i) nem (ii); (v) a resposta depende da rapidez com que o corredor ganha velocidade durante a corrida.MOVIMENTO RETILÍNEOOBJETIVOS DE APRENDIZAGEMAo estudar este capítulo, você aprenderá:2.1 Como as ideias de deslocamento e velo-cidade média nos ajudam a descrever o movimento retilíneo.2.2 O significado de velocidade instantânea; a diferença entre vetor velocidadee velo-cidade escalar.2.3 Como usar a aceleração média e a ace-leração instantânea para descrever as mudanças no vetor velocidade.2.4 Como usar equações e gráficos para resolver problemas que envolvem movimento retilíneo com aceleração constante.2.5 Como resolver problemas nos quais um objeto está caindo livremente apenas sob a influência da gravidade.2.6 Como analisar o movimento retilíneo quando a aceleração não é constante.Revendo conceitos de:1.7 Vetor deslocamento.1.8 Componentes de um vetor.Que distância um avião deve percorrer em uma pista antes de atingir a velo-cidade de decolagem? Quando você lança uma bola diretamente para cima, que altura ela atinge? Quando um copo escorrega de sua mão, de quanto tempo você dispõe para segurá-lo antes que ele atinja o solo? São esses os tipos de perguntas que você aprenderá a responder neste capítulo. Estamos iniciando o estudo da física com a mecânica, o estudo das relações entre força, matéria e mo-vimento. O objetivo deste e do próximo capítulo é o estudo da cinemática, a parte da mecânica que trata do movimento. Mais tarde, estudaremos a dinâmica, que nos ajuda a compreender por que os objetos se movem de diferentes maneiras.Neste capítulo, estudaremos o tipo mais simples de movimento: uma partícula se deslocando ao longo de uma linha reta. Para descrever esse movimento, intro-duziremos as grandezas físicas de velocidade e aceleração. Essas grandezas pos-suem definições mais precisas e um pouco diferentes das usadas na linguagem cotidiana. Uma observação importante é que essas grandezas são vetores. Como você aprendeu no Capítulo 1, isso significa que elas possuem módulo, direção e sentido. Neste capítulo, estamos interessados apenas em descrever o movimento em uma linha reta, de modo que, por enquanto, não necessitamos do tratamento matemático completo dos vetores. Porém, no Capítulo 3, abordaremos o movi-mento em duas e em três dimensões, casos em que o uso dos vetores é essencial.Desenvolveremos equações simples para descrever o movimento no caso es-pecial em que a aceleração permanece constante. Um exemplo é a queda livre de um corpo. Também consideraremos casos nos quais a aceleração varia durante o movimento; para essa situação, necessitamos do uso da integração para descre-ver o movimento. (Caso você ainda não tenha estudado integração, a Seção 2.6 é opcional.)38 Física I2.1 DESLOCAMENTO, TEMPO E VELOCIDADE MÉDIASuponha que, em uma corrida de carros, uma competidora dirija seu carro em um trecho retilíneo (Figura 2.1). No estudo do movimento, precisamos de um sistema de coordenadas. Escolhemos o eixo Ox para nosso sistema de coordena-das ao longo do trecho retilíneo, com a origem O situada no início da linha reta. Descreveremos a posição do carro de acordo com a posição de seu ponto repre-sentativo, como sua extremidade dianteira. Ao fazer isso, o carro todo é represen-tado por esse ponto, razão pela qual o consideramos uma partícula.Um modo útil para a descrição do movimento do carro consiste em dizer como x varia em um intervalo de tempo. Suponha que, 1,0 s depois do início do movi-mento, a extremidade dianteira do carro esteja no ponto P1, a 19 m da origem, e que, 4,0 s depois do início do movimento, esse ponto se desloque para P2, a 277 m da origem. O deslocamento da partícula é um vetor que aponta de P1 para P2 (Seção 1.7). A Figura 2.1 mostra que esse vetor se posiciona ao longo do eixo Ox. O componente x do deslocamento é simplesmente a variação no valor de x, (277 m � 19 m) � 258 m, em um intervalo de tempo (4,0 s � 1,0 s) � 3,0 s. Definimos a velocidade média do carro nesse intervalo de tempo como um vetor cujo com-ponente x é a variação de x dividida por esse intervalo: (258 m)/(3,0 s) � 86 m/s.Em geral, a velocidade média depende do intervalo específico de tempo esco-lhido. Para um intervalo de 3,0 s antes do início da corrida, a velocidade média seria zero, porque o carro estaria em repouso na linha de partida e seu desloca-mento seria nulo.Vamos generalizar o conceito de velocidade média. Em um instante t1, o carro se encontra no ponto P1, cuja coordenada é x1 e, no instante t2, ele se encontra no ponto P2, cuja coordenada é x2. O deslocamento do carro no intervalo de tempo entre t1 e t2 é o vetor que liga P1 a P2. O componente x do deslocamento do carro, designado como �x, é simplesmente a variação da coordenada x: Dx � x2 � x1 (2.1)O carro se move somente pelo eixo Ox; logo, os componentes y e z do desloca-mento são iguais a zero.ATENÇÃO O significado de �x Note que �x não é o produto de � vezes x; esse símbolo significa simplesmente “variação da grandeza x”. Sempre usamos a letra grega maiúscula � (delta) para representar a variação de uma grandeza, calculada como a diferença entre seu valor final e seu valor inicial — nunca o contrário. Analogamente, escrevemos o in-tervalo de tempo entre t1 e t2 como �t e a variação na grandeza t: �t � t2 � t1 (a diferença entre o valor final e o inicial).O componente x da velocidade média, ou velocidade x média, é o componente x do deslocamento, �x, dividido pelo intervalo de tempo �t durante o qual ocorre Figura 2.1 Posição de um carro de corrida em dois instantes de sua trajetória.Posição em t2 = 4,0 sPosição em t1 = 1,0 sP1 P2ODeslocamento de t1 para t2 x1 = 19 m∆x = 1x2 - x12 = 258 mx2 = 277 mxEixo OxFIMINÍCIOQuando o carro se move no sentido +x, o deslocamento ∆x é positivo, assim como a velocidade média x:Coordenada x do carro a 1,0 s.x é positivo à direita do ponto de origem (O), negativo à esquerda dele.Coordenada x do carro a 4,0 s.∆x∆t258 m3,0 s = 86 m>s = vmx = Capítulo 2 – Movimento retilíneo 39o deslocamento. Representaremos essa grandeza pelo símbolo vmx (em que o “m” subscrito significa valor médio e o “x” subscrito indica que esse é o componente x):(2.2)Componente x do deslocamento da partículavmx = = �t�xt2 - t1x2 - x1Intervalo de tempo Tempo final menos tempo inicialVelocidade x média de uma partícula em movimento retilíneo durante o intervalo de tempo de t1 a t2Coordenada x final menos coordenada x inicialComo um exemplo, para o carro na Figura 2.1, x1 � 19 m, x2 � 277 m, t1 � 1,0 s e t2 � 4,0 s. Logo, a Equação 2.2 fornece: vmx =277 m - 19 m4,0 s - 1,0 s=258 m3,0 s= 86 m>s A velocidade média do carro de corrida é positiva. Isso significa que, durante o intervalo de tempo, a coordenada x cresce e o carro se move no sentido positivo do eixo Ox (da esquerda para a direita na Figura 2.1).Quando a partícula se move no sentido negativo do eixo Ox durante o intervalo de tempo, sua velocidade média para esse intervalo é negativa. Por exemplo, su-ponha que uma caminhonete se mova da direita para a esquerda ao longo da pista (Figura 2.2). A caminhonete se encontra no ponto x1 � 277 m em um instante t1 � 16,0 s e em x2 � 19 m no instante t2 � 25,0 s. Logo, �x � (19 m � 277 m) � �258 m e �t � (25,0 s � 16,0 s) � 9,0 s. O componente x da velocidade média será vmx � �x/�t � (�258 m)/(9,0 s) � �29 m/s. A Tabela 2.1 apresenta algumas regras simples para decidir se a velocidade x é positiva ou negativa.ATENÇÃO O sinal do componente x da velocidade média Em nosso exemplo, velocidade média positiva implica em um deslocamento para a direita, como na Figura 2.1, e velocidade média negativa implica em um deslocamento para a esquerda, como na Figura 2.2. Porém, essas conclusões estão corretas somente quando o eixo Ox é orientado da esquerda para a direita. Poderíamos também ter orientado o eixo Ox da direita para a esquerda, com origem no ponto final. Neste caso, o carro de corrida teria uma velocidade média nega-tiva e a caminhonete teria uma velocidade média positiva. Você deve escolher o sentido do eixo ao resolver quase todos os problemas. Uma vez feita essa escolha, é necessário considerar esse sentido ao interpretar os sinais de vmx e deoutras grandezas que descre-vem o movimento!No caso do movimento retilíneo, em geral �x indica, simplesmente, o deslo-camento e vmx, a velocidade média. Contudo, lembre-se de que essas grande-zas indicam simplesmente os componentes x de grandezas vetoriais que, nesse caso particular, possuem apenas componentes x. No Capítulo 3, o deslocamento, TABELA 2.1 Regras para o sinal da velocidade x.Se a coordenada x é:...a velocidade x é:Positiva e crescente (tornando-se mais positiva)Positiva: a partícula se move no sentido do eixo +OxPositiva e decrescente (tornando-se menos positiva)Negativa: a partícula se move no sentido do eixo –OxNegativa e crescente (tornando-se menos negativa)Positiva: a partícula se move no sentido do eixo +OxNegativa e decrescente (tornando-se mais negativa)Negativa: a partícula se move no sentido do eixo –OxNota: estas regras aplicam-se tanto à velocidade x média vmx quanto à velocidade x instantânea vx (que será discutida na Seção 2.2).Figura 2.2 Posições de uma caminhonete em dois instantes durante seu movimento. Os pontos P1 e P2 indicam agora as posições da caminhonete, e não do carro de corrida, de modo que elas são o inverso da Figura 2.1.Posição em t1 = 16,0 sPosição em t2 = 25,0 sODeslocamento de t1 para t2x2 = 19 m�x = 1x2 - x12 = - 258 mx1 = 277 mxFIMINÍCIOQuando a caminhonete se move no sentido –x, �x é negativo, assim como a velocidade média é negativa:Esta posição agora é x1. Esta posição agora é x2.P2 P1�x�t = - 29 m>s = vmx = - 258 m9,0 s40 Física Ia velocidade e a aceleração serão considerados com dois ou três componentes di-ferentes de zero.A Figura 2.3 mostra um gráfico da posição do carro de corrida em função do tempo, ou seja, é um gráfico xt. A curva dessa figura não representa a trajetória do carro no espaço; como indicado na Figura 2.1, essa trajetória é uma linha reta. Em vez da trajetória, o gráfico mostra as variações da posição do carro com o tempo. Os pontos designados por p1 e p2 correspondem aos pontos P1 e P2 da tra-jetória do carro. A linha reta p1 p2 é a hipotenusa de um triângulo retângulo, cujo lado vertical é �x � x2 � x1 e cujo lado horizontal é �t � t2 � t1. A velocidade média do carro vmx � �x/�t é a inclinação da linha reta p1 p2, ou seja, a razão entre o lado vertical �x do triângulo retângulo e o lado horizontal �t. (A inclina-ção tem unidades de metros divididos por segundos, ou m/s, as unidades corretas para a velocidade média.)A velocidade média depende apenas do deslocamento total �x � x2 � x1, que ocorre durante o intervalo de tempo �t � t2 � t1, e não dos detalhes ocorridos durante esse intervalo. Suponha que uma motocicleta ultrapasse o carro de cor-rida no ponto P1 da Figura 2.1 no mesmo instante t1 e, a seguir, diminua a velo-cidade para passar pelo ponto P2 no mesmo instante t2 do carro. Os dois veículos possuem o mesmo deslocamento no mesmo intervalo e, portanto, apresentam a mesma velocidade média.Quando as distâncias são medidas em metros e os tempos em segundos, a ve-locidade média é dada em metros por segundo, ou m/s (Tabela 2.2). Outras uni-dades de velocidade comuns são quilômetros por hora (km/h), pés por segundo (pés/s), milhas por hora (mi/h) e nós (1 nó � 1 milha náutica/h � 6.080 pés/h).TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 2.1 Cada uma das viagens de automóvel descri-tas a seguir leva uma hora. O sentido positivo de x é do oeste para leste. (i) O automóvel A segue a 50 km para leste. (ii) O automóvel B segue a 50 km para oeste. (iii) O automóvel C segue a 60 km para leste, dá meia-volta e segue a 10 km para oeste. (iv) O automóvel D segue a 70 km para leste. (v) O automóvel E segue a 20 km para oeste, dá meia-volta e segue a 20 km para leste. (a) Classifique as cinco viagens por ordem de velocidade média, da mais positiva para a mais negativa. (b) Há viagens com a mesma velocidade média? Se houver, quais? (c) Há alguma viagem com velocidade média igual a zero? Qual? Figura 2.3 Gráfico da posição de um carro de corrida em função do tempo.Inclinação = segmento vertical sobre segmento horizontal =Para um deslocamento ao longo do eixo Ox, a velocidade média de um objeto vmx é igual à inclinação de uma linha que liga os pontos correspondentes em um gráfico de posição (x) versus tempo (t).x (m)x2P1p1P2 p2x1t2t (s)O4003002001001 2 3Percurso do carro de corrida (não escalar)4 5�x = x2 - x1Inclinação = velocidade x média�t = t2 - t1t1�x�t2.2 VELOCIDADE INSTANTÂNEAÀs vezes, a velocidade média é tudo o que precisamos para conhecer o movi-mento de uma partícula. Por exemplo, uma corrida em movimento retilíneo é real-mente uma competição para saber de quem é a velocidade média, vmx, com o maior O rastejar de uma cobra 10–3 m/sUma caminhada rápida 2 m/sHomem mais veloz 11 m/sVelocidade máxima em uma estrada30 m/sCarro mais veloz 341 m/sMovimento aleatório de moléculas do ar500 m/sAvião mais veloz 1.000 m/sSatélite de comunicação em órbita3.000 m/sElétron na órbita de um átomo de hidrogênio2 × 106 m/sA luz deslocando-se no vácuo3 × 108 m/sTABELA 2.2 Ordens de grandeza de algumas velocidades.Capítulo 2 – Movimento retilíneo 41módulo. O prêmio vai para o competidor capaz de percorrer o deslocamento �x do início ao fim no menor intervalo de tempo �t (Figura 2.4).Mas a velocidade média de uma partícula durante um intervalo de tempo não pode nos informar nem o módulo, nem o sentido do movimento em cada instante do intervalo. Para isso, é necessário saber a velocidade instantânea, ou a veloci-dade em um instante ou em um ponto específico ao longo da trajetória.ATENÇÃO Qual é a duração de um instante? No cotidiano, você pode usar a frase “só um instante” para indicar que um fato ocorrerá em um curto intervalo de tempo. Contudo, em física, um instante não possui nenhuma duração; ele se refere a um único valor definido para o tempo.Para achar a velocidade instantânea do carro no ponto P1 indicado na Figura 2.1, imaginamos que o ponto P2 se aproxima continuamente do ponto P1 e cal-culamos a velocidade média vmx � �x/�t nos deslocamentos e nos intervalos de tempo cada vez menores. Tanto �x quanto �t tornam-se muito pequenos, mas a razão entre eles não se torna necessariamente pequena. Em linguagem matemá-tica, o limite de �x/�t quando �t tende a zero denomina-se derivada de x em relação a t, e é escrito como dx/dt. Usaremos o símbolo vx, sem nenhum “m” subscrito, para designar a velocidade instantânea ao longo do eixo Ox:(2.3)vx = = �t�xdtdxlim�t S 0A velocidade x instantânea de uma partícula em movimento retilíneo...... é igual ao limite da velocidade x média da partícula à medida que o intervalo de tempo aproxima-se de zero...... e é igual à taxa de variação instantânea da coordenada x da partícula.Sempre supomos que o intervalo de tempo �t é positivo, de modo que vx pos-sui o mesmo sinal de �x. Quando o sentido positivo do eixo Ox é orientado da esquerda para a direita, um valor positivo de vx indica que x é crescente e que o movimento ocorre da esquerda para a direita; um valor negativo de vx indica que x é decrescente e que o movimento ocorre da direita para a esquerda. Um corpo pode ter valores de vx positivos e de x negativos, e vice-versa; x indica onde o corpo se encontra, enquanto vx nos informa como ele se move (Figura 2.5). As regras que apresentamos na Tabela 2.1 (Seção 2.1) para o sinal da velocidade x média vmx também se aplicam ao sinal da velocidade x instantânea, vx.A velocidade instantânea, assim como a velocidade média, é uma grandeza ve-torial. A Equação 2.3 define seu componente x. No movimento retilíneo, todos os demais componentes da velocidade instantânea são nulos e, neste caso, costuma-mos dizer que vx é simplesmente a velocidade instantânea. (No Capítulo 3, abor-daremos o caso geral em que a velocidadeinstantânea pode ter componentes x, y e z não nulos.) Quando empregamos a palavra “velocidade”, sempre queremos di-zer velocidade instantânea, e não velocidade média.Os termos “vetor velocidade”, “velocidade” e “velocidade escalar” são usados quase como sinônimos na linguagem cotidiana, mas na física possuem definições completamente diferentes. Usamos a expressão velocidade escalar ou a expres-são módulo do vetor velocidade para designar uma distância percorrida dividida pelo tempo, tanto no caso instantâneo quanto considerando-se a média. Usamos o símbolo v sem nenhum subscrito para designar velocidade instantânea, que indica com que rapidez uma partícula está se movendo; a velocidade instantânea indica se o movimento é rápido ou lento e em qual direção e sentido ele ocorre. Como a ve-locidade escalar instantânea é o módulo do vetor velocidade instantânea, a veloci-dade escalar instantânea nunca pode ser negativa. Por exemplo, suponha que duas partículas se movam na mesma direção, mas em sentidos contrários, uma com ve-locidade instantânea vx � 25 m/s e a outra com vx � �25 m/s. A velocidade esca-lar instantânea dessas partículas é a mesma, ou seja, 25 m/s.Figura 2.4 O vencedor de uma competição de natação de 50 m é aquele que possui uma velocidade média cujo módulo é o maior de todos, ou seja, o nadador que percorrer a distância �x de 50 m no menor intervalo de tempo �t.Figura 2.5 Em qualquer problema envolvendo movimento retilíneo, a escolha de qual sentido é positivo depende exclusivamente de você.Um ciclista movendo-se para a esquerda...... possui uma velocidade x negativa vx se escolhermos o sentido positivo de x para a direita...... mas possui uma velocidade x positiva vx se escolhermos o sentido positivo de x para a esquerda.xOxO42 Física IUm leopardo africano está de tocaia a 20 m a leste de um jipe de observação blindado (Figura 2.6a). No instante t � 0, o leo-pardo começa a perseguir um antílope que está a 50 m a leste do veículo. Durante os 2,0 s iniciais do ataque, a coordenada x do leopardo varia com o tempo de acordo com a equação x � 20 m � (5,0 m/s2)t2. (a) Determine o deslocamento do leopardo durante o intervalo entre t1 � 1,0 s e t2 � 2,0 s. (b) Ache a velo-cidade instantânea durante o mesmo intervalo. (c) Ache a veloci-dade instantânea no tempo t1 � 1,0 s, considerando �t � 0,1 s, depois 0,01 s e, a seguir, 0,001 s. (d) Deduza uma expressão geral para a velocidade instantânea em função do tempo e, a par-tir dela, calcule a velocidade vx para t � 1,0 s e t � 2,0 s.SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: a Figura 2.6b mostra nosso dese-nho do movimento do leopardo. Para analisar esse problema, usamos a Equação 2.1 para deslocamento, a Equação 2.2 para velocidade média e a Equação 2.3 para velocidade instantânea.EXECUTAR: (a) Nos instantes t1 = 1,0 s e t2 = 2,0 s, as posições x1 e x2 do leopardo são x1 = 20 m + 15,0 m>s22 1 1,0 s2 2 = 25 m x2 = 20 m + 15,0 m>s22 12,0 s2 2 = 40 mO deslocamento durante esse intervalo de 1,0 s é�x = x2 - x1 = 40 m - 25 m = 15 m(b) A velocidade média x durante esse intervalo é vmx =x2 - x1t2 - t1=40 m - 25 m2,0 s - 1,0 s=15 m1,0 s = 15 m>s(c) Para �t = 0,1 s, o intervalo é de t1 = 1,0 s a um novo t2 = 1,1 s. No instante t2, a posição éx2 = 20 m + 15,0 m>s22 1 1,1 s2 2 = 26,05 mA velocidade x média durante esse intervalo de 0,1 s évmx =26,05 m - 25 m1,1 s - 1,0 s= 10,5 m>sSeguindo esse padrão, você pode calcular as velocidades x médias para os intervalos t = 0,01 s e t = 0,001 s. Os resul-tados são 10,05 m/s e 10,005 m/s, respectivamente. À me-dida que �t se torna menor, a velocidade x média fica cada vez mais próxima do valor 10,0 m/s. Logo, concluímos que a velocidade instantânea para t = 1,0 s é igual a 10,0 m/s. (Suspendemos as regras para a contagem de algarismos sig-nificativos nesses cálculos.)(d) Pela Equação 2.3, a velocidade x instantânea é vx = dx/dt. A derivada de uma constante é zero, de modo que a derivada de t2 é 2t. Logo,Figura 2.6 Leopardo atacando um antílope a partir de uma tocaia. Os animais não estão desenhados na mesma escala do eixo.(a) A situaçãoVeículoLeopardo inicia Antílopex (m)v1x = ?x0 = 20,0 m t = 0x1 = ?t1 = 1,0 sx2 = ?t2 = 2,0 s �x = ?vmx = ?50,0 m(b) Nosso esboço(c) Decisões Trace um eixo apontado na direção e no sentido em que o leopardo corre, de modo que todos os valores sejam positivos.1 Eleja o veículo como ponto de origem.2 Marque as posições iniciais do leopardo e do antílope.3 Marque as posições para o leopardo em 1 s e 2 s.4 Acrescente as grandezas conhecidas e desconhecidas.5EXEMPLO 2.1 VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA(Continua)ATENÇÃO Velocidade escalar e velocidade média A velocidade escalar média não é igual ao módulo da velocidade média. Em 2009, César Cielo estabeleceu um recorde de velocidade na natação ao nadar 100,0 m em 46,91 s. A velocidade escalar média desse nadador foi (100,0 m)/(46,91 s) � 2,132 m/s. Porém, como ele nadou dois trechos de ida e volta em uma piscina de 50 m, seu vetor deslocamento total e o vetor velocidade média foram iguais a zero! Tanto a velocidade escalar média quanto a velocidade escalar ins-tantânea são grandezas escalares, não vetoriais, visto que não informam nem a direção nem o sentido do movimento.Capítulo 2 – Movimento retilíneo 43Cálculo da velocidade usando um gráfico xtA velocidade x de uma partícula também pode ser encontrada a partir de um gráfico da posição da partícula em função do tempo. Suponha que você deseja calcular a velocidade x do carro de corrida no ponto P1 indicado na Figura 2.1. Quando o ponto P2 dessa figura se aproxima do ponto P1, o ponto p2 nos gráfi-cos xt indicados nas figuras 2.7a e 2.7b se aproxima do ponto p1 e a velocidade média é calculada em intervalos �t cada vez menores. No limite �t 0, indicado na Figura 2.7c, a inclinação da linha reta p1 p2 torna-se igual à inclinação da tan-gente da curva no ponto p1. Assim, em um gráfico da posição da partícula em função do tempo no movimento retilíneo, a velocidade x instantânea em qual-quer ponto é igual à inclinação da tangente da curva nesse ponto.Quando a tangente é inclinada para cima e para a direita, como no gráfico xt da Figura 2.7c, sua inclinação e velocidade são positivas e o movimento ocorre no sentido positivo do eixo Ox. Quando a tangente é inclinada para baixo e para a di-reita, sua inclinação e velocidade são negativas e o movimento ocorre no sentido negativo do eixo Ox. Quando a tangente é horizontal, a inclinação é igual a zero e a velocidade é nula. A Figura 2.8 ilustra essas três possibilidades. vx =dxdt=ddt 3 20 m + 1 5,0 m>s22 t24= 0 + 15,0 m>s22 1 2t2 = 110 m>s22 tNo instante t = 1,0 s, vx = 10 m/s, de acordo com o resultado obtido no item (c). No instante t = 2,0 s, vx = 20 m/s.AVALIAR: nossos resultados demonstram que o leopardo ganhou velocidade a partir de t = 0 (quando em repouso) até t = 1,0 s (vx = 10 m/s) e até t = 2,0 s (vx = 20 m/s). Isto faz sentido; o leopardo percorreu apenas 5 m no intervalo de t = 0 até t = 1,0 s, mas percorreu 15 m no intervalo de t = 1,0 s até t = 2,0 s.(Continuação)Figura 2.7 Usamos um gráfico xt para ir de (a) e (b), velocidade média, para (c), velocidade instantânea vx. Em (c), achamos a inclinação da tangente para a curva xt, dividindo qualquer intervalo vertical (em unidades de distância) ao longo da tangente pelo intervalo horizontal correspondente (em unidades de tempo).Enquanto a velocidade média vmx é calculada em intervalos de tempo cada vez menores...... seu valor vmx = �x/�t tende para o valor da velocidade instantânea. A velocidade instantânea vx em qualquer dado ponto é igual à inclinação da tangente da curva xt nesse ponto. = 40 m>svx = 160 m4,0 s�t = 1,0 s�x = 55 mvmx = 55 m>sInclinação da tangente= velocidade x instantâneap1 4,0 s160 mt (s)1 2 3 4 5Ox (m)400300200100t (s)1 2 3 4 5p2p1 ΔxΔtx (m)OO400300200100t (s)1 2 3 4 5p2�t = 2,0 s�x = 150 mvmx = 75 m>sp1ΔxΔtx (m)400300200100(a) (b) (c)A partícula está a x 6 0 e movendo-se no sentido +x.Do intervalo tA para tB ela acelera...... e de tB para tC ela reduz a velocidade e para momentaneamente em tC.De tC para tD acelera no sentido de -x...... e de tD para tE reduz a velocidade no sentido de -x.• Em um gráfico xt, a inclinação da tangente em qualquer ponto é igual à velocidade da partícula nesse ponto.• Quanto maior a inclinação (positiva ou negativa) do gráfico xt de um objeto, maior a velocidade desse objeto no sentido positivo ou negativo de x.Inclinação positiva:vx 7 0Inclinação zero: vx = 0Inclinação negativa:vx 6 0(a) Gráfico xt (b) Movimento da partículatA = 0tBtCtDtEv0xv0x0xvvv = 00x0x0ABxCDEtFigura 2.8 (a) Gráfico xt do movimento de uma certa partícula. (b) Diagrama do movimento mostrando a posição e a velocidade da partícula em cada um dos cinco instantes indicados no gráfico xt.44 Física INote que a Figura 2.8 ilustra o movimento de uma partícula de dois modos: (a) mostra um gráfico xt e (b) mostra um exemplo de diagrama do movimento. Um diagrama do movimento indica a posição da partícula em diversos instantes de seu movimento (como se fosse um filme ou vídeo do movimento da partícula), bem como apresenta flechas para indicar as velocidades da partícula em cada ins-tante. Tanto o gráfico xt quanto o diagrama do movimento são valiosas ferramen-tas para a compreensão do movimento. Você verificará que é conveniente usar ambos os recursos na solução de problemas que envolvem movimentos.TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 2.2 A Figura 2.9 é um gráfico xt do movi-mento de uma partícula. (a) Classifique os valores da velocidade vx da partícula nos pontos P, Q, R e S, do mais positivo para o mais negativo. (b) Em quais pontos vx é positiva? (c) Em quais pontos vx é negativa? (d) Em quais pontos vx é nula? (e) Classifique os valores da velocidade escalar da partícula nos pontos P, Q, R e S, do mais rápido para o mais lento. 2.3 ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA E ACELERAÇÃO MÉDIAAssim como a velocidade indica uma taxa de variação da posição com o tempo, a aceleração descreve uma taxa de variação da velocidade com o tempo. Como a velocidade, a aceleração também é uma grandeza vetorial. No movimento reti-líneo, seu único componente diferente de zero está sobre o eixo ao longo do qual ocorre o movimento. Como veremos, a aceleração em um movimento retilíneo pode referir-se tanto ao aumento quanto à redução da velocidade.Aceleração médiaVamos considerar novamente o movimento de uma partícula ao longo do eixo Ox. Suponha que em dado instante t1 a partícula esteja em um ponto P1 e pos-sua um componente x da velocidade (instantânea) v1x, e que em outro instante t2 a partícula esteja em um ponto P2 e possua um componente x da velocidade v2x. Logo, a variação do componente x da velocidade é �vx � v2x − v1x em um inter-valo �t � t2 − t1. Definimos a aceleração média amx da partícula que se move de P1 a P2 como uma grandeza vetorial cujo componente x é dado pela razão entre �vx, a variação do componente x da velocidade e o intervalo �t:(2.4)Mudança no componente x da velocidade da partículaIntervalo de tempo Tempo final menos tempo inicialamx = = �t�vxt2 - t1v2x - v1xAceleração média x de uma partícula em movimento retilíneo durante o intervalo de t1 a t2Velocidade x final menos velocidade x inicialPara o movimento retilíneo ao longo do eixo Ox, chamamos amx simplesmente de aceleração média. (No Capítulo 3, encontraremos outros componentes do ve-tor aceleração média.)Quando a velocidade é expressa em metros por segundo e o tempo em se-gundos, a aceleração média é expressa em metros por segundo por segundo, ou (m/s)/s. Normalmente, escrevemos isso como m/s2 e lemos “metro por segundo ao quadrado”.RtSQPxOFigura 2.9 Gráfico xt para uma partícula.ATENÇÃO Aceleração versus velocidade A velocidade indica como a posição de um corpo varia com o tempo; é um vetor cujo módulo indica a velocidade do deslocamento do corpo, e sua direção e sentido mostram a direção e o sentido do movimento. A ace-leração indica como a velocidade e a direção do movimento variam com o tempo. Pode ser útil lembrar-se da frase “a aceleração está para a velocidade assim como a velocidade está para a posição”. Também pode ser útil se imaginar movendo-se com o corpo em movimento. Quando o corpo acelera para a frente e ganha velocidade, você se sente Capítulo 2 – Movimento retilíneo 45Aceleração instantâneaPodemos agora definir a aceleração instantânea seguindo o mesmo procedi-mento adotado quando definimos velocidade instantânea. Considere a situação em que um piloto de carro de corrida acaba de entrar na reta final do Grand Prix, como ilustra a Figura 2.11. Para definir a aceleração instantânea no ponto P1, imagi-namos que o ponto P2 da Figura 2.11 se aproxima continuamente do ponto P1, de modo que a aceleração média seja calculada em intervalos cada vez menores.(2.5)... e é igual à taxa instantânea de variação da velocidade x com o tempo.�tS0ax = lim = �t�vxdtdvxA aceleração instantânea x de uma partícula em movimento retilíneo...... é igual ao limite da aceleração média x quando o intervalo de tempo tende a zero ...empurrado para trás; quando ele acelera para trás e perde velocidade, você se sente em-purrado para a frente. Quando a velocidade é constante e não há aceleração, você não tem nenhuma dessas sensações. (Explicaremos essas sensações no Capítulo 4.)Uma astronauta saiu de um ônibus espacial em órbita no espaço para testar uma nova unidade de manobra tripulada. À medida que ela se move em linha reta, seu companheiro a bordo da espaçonave mede sua velocidade a cada intervalo de 2,0 s, co-meçando em t � 1,0 s, do seguinte modo:t vx t vx1,0 s 0,8 m/s 9,0 s –0,4 m/s3,0 s 1,2 m/s 11,0 s –1,0 m/s5,0 s 1,6 m/s 13,0 s –1,6 m/s7,0 s 1,2 m/s 15,0 s –0,8 m/sCalcule a aceleração média e verifique se a velocidade da as-tronauta aumenta ou diminui para cada um dos seguintes inter-valos de 2,0 s: (a) t1 � 1,0 s até t2 � 3,0 s; (b) t1 � 5,0 s até t2 � 7,0 s; (c) t1 � 9,0 s até t2 � 11,0 s; (d) t1 � 13,0 s até t2 � 15,0 s.SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: usamos a Equação 2.4 para en-contrar o valor de amx a partir da variação em velocidade para cada intervalo. Para determinar as variações em velocidade, usaremos o conceito de que a velocidade v é o módulo da velo-cidade instantânea vx.A parte superior da Figura 2.10 mostra um gráfico da velocidade em função do tempo. No gráfico vxt, a inclinação da linha que une os pontos do início e do final de cada intervalo fornece a ace-leração média amx � �vx/�t para cada intervalo. As quatro in-clinações (e, portanto, os sinais das acelerações médias) são, da esquerda para a direita, positiva, negativa, negativa e positiva. A terceira e a quarta inclinações (e, portanto, as próprias acelerações médias) possuem maiores módulos que a primeira e a segunda.EXECUTAR: usando a Equação 2.4, encontramos:(a) amx � (1,2 m/s − 0,8 m/s)/(3,0 s − 1,0 s) � 0,2 m/s2.A velocidade escalar (o módulo da velocidade instantânea) au-menta de 0,8 m/s para 1,2 m/s.(b) amx � (1,2 m/s − 1,6 m/s)/(7,0 s − 5,0 s) � −0,2 m/s2.A velocidade diminui de 1,6 m/s para 1,2 m/s.(c) amx � [−1,0 m/s − (−0,4 m/s)]/(11,0 s − 9,0 s) � −0,3 m/s2. A velocidade aumenta de 0,4 m/s para 1,0 m/s.(d) amx � [−0,8 m/s − (−1,6 m/s)]/(15,0 s − 13,0 s) � 0,4 m/s2. A velocidade diminui de 1,6 m/s para 0,8 m/s.Na parte inferior da Figura 2.10, representamos graficamente os valores de amx.AVALIAR: os sinais e os módulos relativos das acelerações mé-dias correspondem às nossas43.2 Ligação nuclear e estrutura nuclear 43.3 Estabilidade nuclear e radioatividade 43.4 Atividade e meia-vida 43.5 Efeitos biológicos da radiação 43.6 Reações nucleares 43.7 Fissão nuclear 43.8 Fusão nuclear Resumo Problemas/exercícios/respostas 44 FÍSICA DAS PARTÍCULAS E COSMOLOGIA 44.1 Partículas fundamentais – uma história 44.2 Aceleradores de partículas e detectores 44.3 Interações entre partículas 44.4 Quarks e o modelo com simetria de oito modos 44.5 O modelo padrão e os modelos futuros 44.6 O universo em expansão 44.7 O começo do tempo Resumo Problemas/exercícios/respostas APÊNDICES A O sistema internacional de unidades 408 B Relações matemáticas úteis 410 C Alfabeto grego 412 D Tabela periódica dos elementos 413 E Fatores de conversão das unidades 414 F Constantes numéricas 415 Respostas dos problemas ímpares 417 Créditos 421 Índice remissivo 422 Sobre os autores 429Desde a sua primeira edição, o livro Física tem sido reconhecido por sua ênfase nos princípios fundamentais e em como aplicá-los. O texto é conhecido por sua narrativa clara e abrangente, e por seu conjunto amplo, profundo e ponderado de exemplos funcionais — ferramentas-chave para o desenvolvimento do conhecimento conceitual e das habilidades para a solução de problemas.A décima quarta edição melhora as características essenciais do texto, enquanto acrescenta novos recursos influenciados pela pesquisa acadêmica em física. Com foco no aprendizado visual, novos tipos de problemas en-cabeçam as melhorias elaboradas para criar o melhor recurso de aprendizagem para os alunos de física de hoje.FOCO NA SOLUÇÃO DE PROBLEMASREFERÊNCIA DE CLAREZA E RIGORA prancha (Figura 11.8a) é uma ótima maneira de fortalecer os músculos abdominais, das costas e dos braços. Você também pode usar essa posição de exercício para localizar seu centro de gravidade. Mantendo a posição de prancha com uma balança sob seus dedos dos pés e outra sob seus antebraços, um atleta mediu que 66,0% do seu peso era apoiado por seus antebraços e 34,0% pelos dedos de seus pés. (Ou seja, as forças normais totais sobre seus antebraços e dedos dos pés foram 0,660p e 0,340p, respectivamente, onde p é o peso do atleta.) Ele possui 1,80 m de altura e, na posição de prancha, a distância dos dedos de seus pés até o meio de seus antebraços é 1,53 m. A que dis-tância dos dedos está seu centro de gravidade?Figura 11.8 Um atleta em posição de prancha.1,80 m1,53 m1,53 mnT = 0,340 pLcgnF = 0,660 pyTpFx(a)(b)cgSOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: podemos usar as duas condições para o equilíbrio, equações 11.6, para um atleta em repouso. Assim, tanto a força resultante quanto o torque resultante sobre o atleta são zero. A Figura 11.8b mostra um diagrama do corpo livre, incluindo os eixos x e y e nossa convenção de que os torques em sentido anti-horário são positivos. O peso p atua no centro de gravidade, que está entre os dois suportes (como deve estar; veja a Seção 11.2). Nossa variável-alvo é a distância Lcg, o braço de alavanca do peso em relação aos dedos dos pés T; portanto, é razoável obter torques em relação a T. O torque em função do peso é negativo (ele tende a causar uma rotação em sentido horário em torno de T), e o torque em função da força normal de baixo para cima nos antebraços, F, é positivo (ele tende a causar uma rotação no sentido anti-horário em torno de T).EXECUTAR: a primeira condição de equilíbrio é satisfeita (Figura 11.8b): gFx � 0, visto que não existe nenhum com-ponente x e gFy � 0, porque 0,340p � 0,660p � (�p) � 0. Escrevemos a equação do torque e resolvemos para Lcg:gtR � 0,340p(0) � pLcg � 0,660p(1,53 m) � 0Lcg � 1,01 mAVALIAR: o centro de gravidade está ligeiramente abaixo do umbigo do nosso atleta (como para a maioria das pessoas) e mais perto de seus antebraços que de seus pés, motivo pelo qual seus antebraços suportam a maior parte de seu peso. Você pode conferir seu resultado escrevendo a equação do torque em re-lação aos antebraços F. Você verá que seu centro de gravidade está a 0,52 m dos seus antebraços, ou (1,53 m) � (0,52 m) � 1,01 m dos dedos de seus pés.EXEMPLO 11.2 LOCALIZANDO SEU CENTRO DE GRAVIDADE ENQUANTO VOCÊ SE EXERCITAESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 3.1 MOVIMENTO DE UM PROJÉTILNOTA: as estratégias recomendadas nas seções 2.4 e 2.5 para problemas de aceleração constante em movimento retilíneo também são úteis aqui.IDENTIFICAR os conceitos relevantes: o principal conceito a se lembrar é que, durante o movimento do projétil, a aceleração é descendente e possui um módulo g constante. Vale obser-var que as equações de movimento de um projétil não se apli-cam ao arremessar uma bola, porque o arremesso sofre ação tanto da mão do arremessador quanto da gravidade. Essas equações se aplicam somente após a bola deixar a mão do arremessador.PREPARAR o problema usando os seguintes passos: 1. Defina seu sistema de coordenadas e faça um desenho mos-trando os eixos. Em geral, é sempre melhor colocar o eixo x na horizontal e o eixo y na vertical, colocando a origem na posição em que um corpo inicialmente se torna um projétil (por exemplo, onde uma bola deixa a mão do arremessador ou uma bala sai do cano de uma espingarda). Nesse caso, os componentes da aceleração (constante) são ax � 0 e ay � �g, e a posição inicial é x0 � y0 � 0; e você pode usar as equações 3.19 a 3.22. (Se você escolher uma origem diferente ou eixos, terá de modificar essas equações.)2. Faça uma lista com as grandezas conhecidas e as desconhe-cidas, para descobrir quais incógnitas são suas variáveis--alvo. Por exemplo, você poderia ter a velocidade inicial (sejam os componentes ou o módulo e a direção e sentido) e precisar achar a posição e os componentes da velocidade em qualquer outro instante. Cuide para que tenha tantas equações quantas variáveis-alvo a serem achadas. Além das equações 3.19 a 3.22, as equações 3.23 a 3.26 também podem ser úteis.3. Normalmente, é útil formular o problema em palavras e posteriormente traduzi-las em símbolos. Por exemplo, quando uma partícula atinge um certo ponto? (Ou seja, qual é o valor de t?) Onde está a partícula quando sua velo-cidade possui um dado valor? (Ou seja, qual é o valor de x e de y quando os valores de vx ou vy forem especificados?) Como vy � 0 no ponto mais elevado de sua trajetória, a pergunta “Quando o projétil atinge o ponto mais elevado de sua trajetória?” se traduz em “Qual é o valor de t quando vy � 0?” Da mesma forma, “Quando o projétil retorna à sua elevação inicial?” se traduz em “Qual é o valor de t quando y � y0?”.EXECUTAR a solução: use as equações que você escolheu para achar as incógnitas. Resista à tentação de segmentar a traje-tória e analisar cada segmento separadamente. Não é neces-sário recomeçar quando o projétil atinge seu ponto mais alto! Quase sempre é mais fácil usar os mesmos eixos e escala de tempo por todo o problema. Se precisar de valores numéricos, use g � 9,80 m/s2. Lembre-se de que g é positivo!AVALIAR sua resposta: seus resultados fazem sentido? Os va-lores numéricos parecem razoáveis? PROBLEMAS EM DESTAQUE, que ajudam os alu-nos a passarem de exemplos resolvidos de um único conceito para problemas multiconceituais ao final do capítulo, foram revisados com base no feed-back dos revisores, garantindo que sejam eficazes e estejam no nível de dificuldade apropriado.Uma aluna suspende uma corrente composta de três elos, cada um com massa m � 0,250 kg, por meio de uma corda leve. A corda está presa ao elo superior da corrente, que não balança. Ela puxa a corda para cima, de modo que a corda aplica uma força de 9,00 N à corrente, no sentido de baixo para cima. (a) Desenhe o diagrama do corpo livre para a corrente inteira, considerada como um corpo, e um para cada elo da corrente. (b) Use os diagramas da parte (a) e as leis de Newton para achar (i) a ace-leraçãoprevisões qualitativas. Observe que, quando a aceleração média x possui o mesmo sentido (mesmo sinal algébrico) da velocidade inicial, como nos intervalos (a) e (c), a astronauta acelera. Quando amx possui sinal algébrico con-trário, como nos intervalos (b) e (d), ela diminui a aceleração. Logo, a aceleração positiva x implica velocidade crescente, quando a velocidade x é positiva [intervalo (a)], mas redução da velocidade, quando ela é negativa [intervalo (d)]. Da mesma forma, a aceleração negativa x implica velocidade crescente, quando a velocidade x é negativa [intervalo (c)], mas decres-cente, quando a velocidade é positiva [intervalo (b)].Figura 2.10 Nossos gráficos de velocidade versus tempo (parte superior) e aceleração média versus tempo (parte inferior) para a astronauta.A inclinação da linha que liga dois pontos em um gráfico de vxt...é igual à aceleração média entre esses pontos.vx (m/s)amx(m/s2)ΔvxΔtt (s)t (s)1,51,00,50–0,50,505 10 155 10 15–0,5–1,0–1,5(a)(b)(c)(d)EXEMPLO 2.2 ACELERAÇÃO MÉDIA46 Física IFigura 2.11 Um carro de corrida do Grand Prix na reta final.Módulo da velocidade v2Velocidade v2xMódulo da velocidade v1Velocidade v1xP2P1OxNote que ax na Equação 2.5 é, de fato, o componente x do vetor aceleração instantânea x; no movimento retilíneo, todos os demais componentes desse vetor são iguais a zero. A partir de agora, quando usarmos o termo “aceleração”, desig-naremos a aceleração instantânea, não a aceleração média.Suponha que a velocidade vx do carro na Figura 2.11 em qual-quer instante t seja dada pela equaçãovx = 60 m>s + 10,50 m>s32 t2(a) Ache a variação da velocidade média do carro no intervalo entre t1 � 1,0 s e t2 � 3,0 s. (b) Ache a aceleração média do carro nesse intervalo. (c) Ache a aceleração instantânea do carro para t1 � 1,0 s, considerando �t � 0,1 s, 0,01 s e 0,001 s. (d) Deduza uma expressão geral para a aceleração instantânea em função do tempo e, a partir dela, calcule ax para t � 1,0 s e t � 3,0 s.SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo é análogo ao Exem-plo 2.1 da Seção 2.2. Naquele caso, encontramos a velocidade média x ao longo de intervalos cada vez mais curtos a partir da variação da posição e determinamos a velocidade instantânea x pela diferenciação da posição como uma função do tempo. Neste caso, temos um paralelo exato. Usando a Equação 2.4, encontramos a aceleração média x da variação na velocidade em um intervalo. Da mesma forma, usando a Equação 2.5, obteremos uma expressão para a aceleração instantânea deri-vando a velocidade em função do tempo.EXECUTAR: (a) Antes de aplicar a Equação 2.4, temos de achar a velocidade x em cada instante da equação fornecida. Para t1 � 1,0 s e t2 � 3,0 s, as velocidades são v1x = 60 m>s + 10,50 m>s32 11,0 s2 2 = 60,5 m>s v2x = 60 m>s + 10,50 m>s32 13,0 s2 2 = 64,5 m>sA variação da velocidade �vx entre t1 � 1,0 s e t2 � 3,0 s é dada por�vx = v2x - v1x = 64,5 m>s - 60,5 m>s = 4,0 m>s(b) A aceleração média durante esse intervalo de duração t2 � t1 � 2,0 s éamx =v2x - v1xt2 - t1=4,0 m>s2,0 s= 2,0 m>s2Durante esse intervalo, a velocidade e a aceleração média pos-suem o mesmo sinal (nesse caso, positivo) e o carro acelera.(c) Quando �t � 0,1 s, t2 � 1,1 s. Prosseguindo como antes, encontramos v2x = 60 m>s + 10,50 m>s32 11,1 s2 2 = 60,605 m>s �vx = 0,105 m>s amx =�vx�t=0,105 m>s0,1 s= 1,05 m>s2Convidamos você a seguir o mesmo raciocínio e refazer os cál-culos de amx para os intervalos �t � 0,01 s e �t � 0,001 s; os resultados são amx � 1,005 m/s2 e amx � 1,0005 m/s2, respec-tivamente. À medida que �t se torna cada vez menor, a acele-ração média x fica cada vez mais próxima do valor 1,0 m/s2. Logo, concluímos que a aceleração instantânea para t � 1,0 s é igual a 1,0 m/s2.(d) Pela Equação 2.5, a aceleração instantânea x é ax � dvx /dt. A derivada de uma constante é igual a zero e a derivada de t2 é 2t, portanto ax =dvxdt=ddt 360 m>s + 10,50 m>s32 t24 = 10,50 m>s 32 12t2 = 11,0 m>s32 tPara t � 1,0 s,ax = 11,0 m>s3211,0 s2 = 1,0 m>s2Para t � 3,0 s,ax = 11,0 m>s321 3,0 s2 = 3,0 m>s2AVALIAR: note que nenhum desses valores encontrados no item (d) é igual à aceleração média obtida no item (b). Isso porque a aceleração instantânea desse carro varia com o tempo. A taxa de variação da aceleração com o tempo produz uma variação brusca da velocidade.EXEMPLO 2.3 ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEACálculo da aceleração usando um gráfico vxt ou um gráfico xtNa Seção 2.2, interpretamos a velocidade média e a velocidade instantânea de uma partícula em termos da inclinação em um gráfico de posição em fun-ção do tempo. De modo semelhante, podemos ter melhor noção dos conceitos de Capítulo 2 – Movimento retilíneo 47aceleração média e instantânea x usando um gráfico com a velocidade instantâ-nea vx no eixo vertical e o tempo t no eixo horizontal — ou seja, um gráfico vxt (Figura 2.12). Os pontos nesse gráfico, designados por p1 e p2, correspondem aos pontos P1 e P2 indicados na Figura 2.11. A aceleração média amx � �vx /�t du-rante esse intervalo é a inclinação da linha p1 p2.À medida que o ponto P2 da Figura 2.11 se aproxima do ponto P1, o ponto p2 no gráfico vxt indicado na Figura 2.12 se aproxima do ponto p1 e a inclinação da linha reta p1 p2 se aproxima da inclinação da tangente da curva no ponto p1. Portanto, em um gráfico da velocidade em função do tempo, a aceleração instantânea x em qualquer ponto é igual à inclinação da tangente da curva nesse ponto. Na Figura 2.12, tangentes traçadas em diferentes pontos ao longo da curva possuem diferen-tes inclinações, de modo que a aceleração instantânea varia com o tempo.ATENÇÃO Sinais de aceleração e velocidade Note que o sinal algébrico da aceleração não é suficiente para informar se um corpo está em movimento acelerado ou retardado. Você deve comparar o sinal da velocidade com o da aceleração. Quando vx e ax possuem o mesmo sinal, o movimento do corpo está sendo acelerado. Quando ambos forem positi-vos, o corpo está se movendo no sentido positivo com uma velocidade crescente. Quando ambos forem negativos, o corpo está se movendo no sentido negativo com uma veloci-dade que se torna cada vez mais negativa, e novamente a velocidade é crescente. Quando vx e ax possuem sinais opostos, o movimento do corpo é retardado. Quando vx é posi-tivo e ax é negativo, o corpo se desloca no sentido positivo com velocidade decrescente; quando vx é negativo e ax é positivo, ele se desloca no sentido negativo com uma velo-cidade que se torna menos negativa, e novamente o movimento do corpo é retardado. A Tabela 2.3 resume essas regras, e a Figura 2.13 ilustra algumas dessas possibilidades.O termo “desaceleração” algumas vezes é usado para designar diminuição de velocidade. Como isso pode corresponder a um valor de ax positivo ou negativo, dependendo do sinal de vx, evitamos esse termo.Também podemos estudar a aceleração de uma partícula a partir do gráfico de sua posição versus tempo. Como ax � dvx /dt e vx � dx/dt, podemos escrever: ax =dvxdt=ddt a dxdtb =d2xdt2 (2.6)Ou seja, ax é a derivada de segunda ordem de x em relação a t. A derivada de segunda ordem de qualquer função é relacionada com a concavidade ou curva-tura do gráfico dessa função (Figura 2.14). Em um ponto no qual o gráfico xt tenha concavidade voltada para cima (encurvado para cima), como o ponto A ou E na Figura 2.14a, a aceleração x é positiva e vx é crescente. Em um ponto no qual o gráfico xt tenha concavidade voltada para baixo (encurvado para baixo), como o ponto C na Figura 2.14a, a aceleração x é negativa e vx é decrescente. Em Figura 2.12 Gráfico vx t do movimento indicado na Figura 2.11.vxv2xv1xt2t1tOp1p2�t = t2 - t1�vx = v2x - v1xInclinação da tangente para a curva vxt em um dado ponto = aceleração instantânea nesse ponto.Paraum deslocamento no eixo Ox, a aceleração média de um objeto x é igual à inclinação da linha que liga os pontos correspondentes em um gráfico de velocidade (vx) versus tempo (t).Inclinação = aceleração média TABELA 2.3 Regras para o sinal da aceleração.Se a velocidade x é:...a aceleração é:Positiva e crescente (tornando-se mais positiva)Positiva: a partícula se move no sentido do eixo +Ox em velocidade crescentePositiva e decrescente (tornando-se menos positiva)Negativa: a partícula se move no sentido do eixo +Ox em velocidade decrescenteNegativa e crescente (tornando-se menos negativa)Positiva: a partícula se move no sentido do eixo –Ox em velocidade decrescenteNegativa e decrescente (tornando-se mais negativa)Negativa: a partícula se move no sentido do eixo –Ox em velocidade crescenteNota: estas regras aplicam-se tanto à aceleração média amx quanto à aceleração instantânea ax.48 Física Ium ponto no qual o gráfico xt não possui nenhuma concavidade, como nos pon-tos de inflexão B e D, a aceleração é igual a zero e a velocidade não varia.Examinando a concavidade de um gráfico xt, torna-se fácil determinar o sinal da aceleração. Essa técnica é menos útil para a determinação do módulo da aceleração, visto que a concavidade de um gráfico é difícil de ser determinada com exatidão.TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 2.3 Analise novamente o gráfico xt na Figura 2.9, ao final da Seção 2.2. (a) Em quais dos pontos P, Q, R e S a aceleração ax é positiva? (b) Em quais dos pontos a aceleração é negativa? (c) Em quais pontos a ace-leração parece ser zero? (d) Em cada ponto, indique se a velocidade está aumentando, diminuindo ou é constante. 2.4 MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTEO mais simples dos movimentos acelerados é o movimento retilíneo com ace-leração constante. Neste caso, a velocidade varia com a mesma taxa durante o movimento. Como exemplo, um corpo em queda livre possui uma aceleração constante quando os efeitos da resistência do ar são desprezados. O mesmo ocorre Figura 2.13 (a) Gráfico vxt do movimento de uma partícula diferente da mostrada na Figura 2.8. (b) Diagrama do movimento mostrando a posição, a velocidade e a aceleração da partícula em cada um dos instantes indicados no gráfico vx t.Inclinação zero: ax = 0• Em um gráfico vxt, a inclinação da tangente em qualquer ponto é igual à aceleração da partícula nesse ponto.• Quanto maior a inclinação (positiva ou negativa), maior a aceleração da partícula no sentido positivo ou negativo de x.A partícula está a x 6 0, movendo-se no sentido -x (vx 6 0), e reduzindo a velocidade (vx e ax possuem sinais opostos).A partícula está a x 7 0, movendo-se no sentido –x (vx 6 0), acelerando (vx e ax têm o mesmo sinal).A partícula está a x 7 0, movendo-se no sentido +x (vx 7 0); sua velocidade está instantaneamente invariável (ax = 0).A partícula está a x 6 0, instantaneamente em repouso (vx = 0), e prestes a se mover no sentido +x (ax 7 0).A partícula está a x 7 0, instantaneamente em repouso (vx = 0), e prestes a se mover no sentido –x (ax 6 0).Inclinação positiva:ax 7 0Inclinação negativa:ax 6 0(a) Gráfico vxt (b) Movimento da partícula0ABCDEtvxtEtA = 0tBtCtD0x0x0x0xaava = 0vv = 00xav = 0vaFigura 2.14 (a) O mesmo gráfico xt indicado na Figura 2.8a. (b) Diagrama do movimento mostrando a posição, a velocidade e a aceleração da partícula em cada um dos instantes indicados no gráfico xt.A partícula está a x 6 0, movendo-se no sentido +x (vx 7 0), e acelerando (vx e ax possuem o mesmo sinal).A partícula está a x > 0, movendo-se no sentido –x (vx 6 0), retardando (vx e ax possuem sinais opostos).A partícula está a x 7 0, instantaneamente em repouso (vx = 0), e prestes a se mover no sentido –x (ax 6 0).A partícula está a x = 0, movendo-se no sentido +x (vx 7 0); sua velocidade está instantaneamente invariável (ax = 0).A partícula está a x 7 0, movendo-se no sentido –x (vx 6 0); sua velocidade está instantaneamente invariável (ax = 0).Inclinação positiva: vx 7 0Concavidade para cima: ax 7 0Inclinação positiva: vx 7 0Concavidade zero: ax = 0Inclinação negativa: vx 6 0Concavidade zero: ax = 0Inclinação negativa:vx 6 0Concavidade para cima: ax 7 0Inclinação zero: vx = 0Concavidade para baixo: ax 6 00ABCDEtx(a) Gráfico xt tCtDtBtEtA= 0(b) Movimento da partícula0x0x0x0xvvv = 0vv0xaa = 0aa = 0a• Em um gráfico xt, a concavidade em qualquer ponto indica a aceleração da partícula nesse ponto.• Quanto maior a concavidade (positiva ou negativa), maior a aceleração da partícula no sentido positivo ou negativo de x.Capítulo 2 – Movimento retilíneo 49quando um corpo escorrega ao longo de um plano inclinado ou de uma superfície horizontal com atrito, ou no caso do movimento de um caça a jato sendo lançado pela catapulta de um porta-aviões.A Figura 2.15 é um diagrama do movimento que mostra a posição, a veloci-dade e a aceleração para uma partícula que se move com aceleração constante. Nas figuras 2.16 e 2.17, mostramos esse mesmo diagrama por meio de gráfi-cos. Como a aceleração a é constante, o gráfico axt (gráfico da aceleração versus tempo) indicado na Figura 2.16 é uma linha horizontal. O gráfico da velocidade versus tempo (gráfico vxt) possui uma inclinação constante, pois a aceleração é constante e, portanto, o gráfico é uma linha reta (Figura 2.17).Quando a aceleração ax é constante, a aceleração média amx para qualquer in-tervalo de tempo é a mesma que ax. Assim, é fácil deduzir equações para a posi-ção x e para a velocidade vx em função do tempo. Para achar uma expressão para vx, primeiro substituímos amx na Equação 2.4 por ax: ax =v2x - v1xt2 - t1 (2.7)Agora, faça t1 � 0 e suponha que t2 seja um instante posterior arbitrário t. Usa-mos o símbolo v0x para a velocidade no instante t � 0; a velocidade para qualquer instante t é vx. Então, a Equação 2.7 torna-se:ax =vx - v0xt - 0 ouvx = v0x + axt (2.8)Aceleração constante x da partícula TempoVelocidade x no instante t de uma partícula com aceleração constante xVelocidade x da partícula no instante 0Na Equação 2.8, o termo axt é o produto da variação da velocidade por uni-dade de tempo, ax, multiplicada pelo tempo t. Portanto, indica a variação total da velocidade desde o instante inicial t � 0 até um instante posterior t. A velocidade vx em qualquer instante t é igual à velocidade inicial v0x (para t � 0) mais a varia-ção da velocidade axt (Figura 2.17).Outra interpretação da Equação 2.8 é que a variação da velocidade vx � v0x da partícula desde t � 0 até um instante posterior t é igual à área sob o gráfico entre esses limites em um gráfico axt. Na Figura 2.16, a área sob a linha do gráfico de aceleração versus o tempo é indicada pelo retângulo com altura ax e comprimento t. A área desse retângulo é igual a axt, que pela Equação 2.8 é igual à variação da velocidade vx � v0x. Na Seção 2.6, verificamos que, mesmo no caso em que a ace-leração não seja constante, a variação da velocidade continua sendo dada pela área sob a linha em um gráfico axt, embora nesse caso a Equação 2.8 não se aplique.A seguir, queremos deduzir uma expressão para a posição x da partícula que se move com aceleração constante. Para isso, usaremos duas diferentes expressões para a velocidade média vmx da partícula desde t � 0 até um instante posterior t. A primeira expressão resulta da definição de vmx, Equação 2.2, que permanece válida em caso de aceleração constante ou não. Denominamos a posição no ins-tante t � 0 de posição inicial e a representamos por x0. Designamos simples-mente por x a posição em um instante posterior t. Para o intervalo �t � t � 0 e para o deslocamento correspondente �x � x � x0, a Equação 2.2 fornecevmx =x - x0t (2.9)Se uma partícula tem movimento retilíneo com aceleração constante ax ...... a velocidade varia em quantidades iguais para intervalos de tempo iguais.Entretanto, a posição varia em quantidades diferentes para intervalos de tempo iguais porque a velocidade está variando.t = 2�t0t = 3�t00t = �tt = 4�t0vt = 0 0avvvvaaaaxxxxxFigura 2.15 Diagrama do movimento para uma partícula que se move em linha reta no sentido positivo de x com aceleração constante positiva ax.Figura 2.16 Gráfico da aceleração versus tempo (axt) para uma partícula que se move em linha reta com aceleração constante positiva ax.Aceleração constante: o gráfico axt é uma linha horizontal (inclinação = 0).Área sob o gráfico axt = vx - v0x = variação na velocidade do tempo 0 ao tempo t.OaxaxttFigura 2.17 Gráfico da velocidade versus tempo (vxt) para uma partícula que se move em linha reta com aceleração constante positiva ax. A velocidade inicial v0x também é positiva neste caso.Aceleração constante x: o gráfico vxt é uma linha reta.No intervalo de tempo t, a velocidade x varia emvx - v0x = axt.Inclinação = aceleração xÁrea total sob o gráfico vxt = x – x0 = variação na coordenada do tempo 0 para o tempo t.vxvxv0xOttvxax tv0x50 Física IPara deduzir uma segunda expressão para vmx, observe que a velocidade varia com uma taxa constante se a aceleração for constante. Nesse caso, a velocidade média durante o intervalo de tempo de 0 até t é simplesmente a média aritmética das velocidades desde o início até o instante final do intervalo: vmx = 12 (v0x + vx) (somente para aceleração constante) (2.10)(Essa equação não vale quando a aceleração varia durante o intervalo de tempo.) Sabemos também que, no caso de aceleração constante, a velocidade vx em qualquer instante t é dada pela Equação 2.8. Substituindo essa expressão por vx na Equação 2.10, encontramos: vmx = 12 1v0x + v0x + ax t2 = v0x + 12 ax t (somente para aceleração constante) (2.11)Finalmente, igualando a Equação 2.9 com a Equação 2.11 e simplificando o resultado, obtemos:v0x + 12 ax t =x - x0t ou(2.12)Aceleração constante da partículaPosição da partícula no instante 0Posição no instante t de uma partícula com aceleração constante xVelocidade da partícula no instante 0Tempox = x0 + v0xt + axt212A Equação 2.12 mostra que, se para um instante inicial t � 0, a partícula está em uma posição x0 e possui velocidade v0x, sua nova posição em qualquer ins-tante t é dada pela soma de três termos — a posição inicial x0, mais a distância v0xt que ela percorreria caso a velocidade permanecesse constante, mais uma dis-tância adicional 12 ax t2 produzida pela variação da velocidade x.Um gráfico da Equação 2.12, que é um gráfico xt para movimento com acele-ração constante (Figura 2.18a), é sempre uma parábola. A Figura 2.18b mostra esse gráfico. A curva intercepta o eixo vertical (eixo Ox) em x0, na posição t � 0. A inclinação da tangente em t � 0 é igual a v0x, a velocidade inicial, e a inclina-ção da tangente para qualquer tempo t é igual à velocidade vx em qualquer tempo. A inclinação e a velocidade são continuamente crescentes, de modo que a ace-leração ax é positiva; também se pode verificar isso porque o gráfico na Figura BIO Aplicação Testando humanos em altas aceleraçõesEm experimentos realizados pela Força Aérea dos Estados Unidos nas décadas de 1940 e 1950, os humanos pilotando um trenó a jato puderam suportar acelerações de até 440 m/s2. As três primeiras fotos nesta sequência mostram o médico da Força Aérea John Stapp acelerando do repouso até 188 m/s (678 km/h = 421 mi/h) em apenas 5 s. As fotos 4 a 6 mostram um módulo de aceleração ainda maior, quando o equipamento freou até parar.Figura 2.18 (a) Movimento em linha reta com aceleração constante. (b) Gráfico de posição versus tempo (xt) para esse movimento (o mesmo que aparece nas figuras 2.15, 2.16 e 2.17). Para esse movimento, a posição inicial x0, a velocidade inicial v0x e a aceleração ax são todas positivas.No intervalo de tempo t, a velocidade varia em vx - v0x = axt.Aceleração constante: o gráfico xt é uma parábola.(a) Um carro de corrida se desloca na direção do eixo Ox com uma aceleração constante(b) Gráfico xtv0xvx = v0x + axtxxxx0x0OxOttInclinação = vxInclinação = v0xCapítulo 2 – Movimento retilíneo 512.18b é côncavo para cima (encurvado para cima). Se ax é negativo, o gráfico xt é uma parábola côncava para baixo (encurvada para baixo).Quando a aceleração é zero, o gráfico xt é uma linha reta; quando a acelera-ção é constante, o termo adicional 12 ax t2 na Equação 2.12 para x em função de t encurva o gráfico para formar uma parábola (Figura 2.19a). Podemos analisar o gráfico vxt da mesma forma. Quando a aceleração é zero, esse gráfico é uma linha horizontal (a velocidade é constante). Acrescentando-se uma aceleração constante na Equação 2.8, temos uma inclinação para esse gráfico (Figura 2.19b).Aqui está outra forma de derivar a Equação 2.12. Do mesmo modo que a ve-locidade é dada pela área sob um gráfico axt, o deslocamento (a variação da po-sição) é igual à área sob um gráfico vxt. Ou seja, o deslocamento x � x0 de uma partícula desde t � 0 até um instante posterior t é igual à área sob o gráfico vxt entre esses dois limites de tempo. Na Figura 2.17, a área sob o gráfico é com-posta pela soma da área do retângulo de lado vertical v0x e lado horizontal t mais a área do triângulo dada por 12 1axt2 1 t 2 = 12 axt2. Já a área total sob o gráfico vxt é x - x0 = v0x t + 12 ax t2, de acordo com a Equação 2.12.O deslocamento durante um dado intervalo de tempo sempre pode ser calcu-lado pela área sob a curva vxt. Isso é verdade mesmo quando a aceleração não é constante, embora para esses casos a Equação 2.12 não possa ser aplicada. (Isso será demonstrado na Seção 2.6.)Em muitos problemas, é conveniente usar uma equação que envolva a posição, a velocidade e a aceleração (constante), que não leve em conta o tempo. Para obtê--la, inicialmente explicitamos t na Equação 2.8; a seguir, a expressão obtida deve ser substituída na Equação 2.12 e simplificada: t =vx - v0xax x = x0 + v0x avx - v0xaxb + 12 ax avx - v0xaxb2Transferindo o termo x0 para o membro esquerdo, multiplicando por 2ax e simplificando:2ax1x - x02 = 2v0xvx - 2v0x2 + vx2 - 2v0xvx + v0x2Finalmente, ao simplificar, obtemosvx2 = v0x2 + 2ax1 x - x02 (2.13)Velocidade da partícula no instante 0Aceleração constante da partículaPosição da partícula no instante tPosição da partícula no instante 0Velocidade no instante t de uma partícula com aceleração constanteFigura 2.19 Como uma aceleração constante afeta (a) o gráfico xt e (b) o gráfico vxt de um corpo.Gráfico com aceleração constante:x = x0 + v0xt + axt2Gráfico que obteríamos com aceleração zero: x = x0 + v0xt Efeito da aceleração: axt2Gráfico com aceleração zero:vx = v0xGráfico com aceleração constante:vx = v0x + axtVelocidade acrescentada pela aceleração:axt(a) Um gráfico xt para uma partícula que se move a uma aceleração constante positiva(b) O gráfico vxt para a mesma partículaxx0OtOtv0xvx121252 Física IPodemos obter outra equação útil igualando as duas expressões de vmx, dadas pelas equações 2.9 e 2.10, e multiplicando os dois membros por t:(2.14)Posição da partícula no instante 0Velocidade da partícula no instante 0 Velocidade da partícula no instante tTempo1v0x + vx2 tx - x0 = 12Posição no instante t de uma partícula com aceleração constanteNote que a Equação 2.14 não contém a aceleração ax. Essa equação pode ser útil quando ax possuir um valor constante, porém desconhecido.As equações 2.8, 2.12, 2.13 e 2.14 são as equações do movimento com acelera-çãoconstante (Tabela 2.4). Usando essas equações, podemos resolver qualquer problema que envolva o movimento retilíneo com aceleração constante.TABELA 2.4 Equações de movimento com aceleração constante.Equação Inclui grandezasvx = v0x + ax t (2.8) t vx axx = x0 + v0x t + 12 ax t2 (2.12) t x axvx 2 = v0x2 + 2ax 1x - x02 (2.13) x vx axx - x0 = 12 (v0x + vx) t (2.14) t x vxESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 2.1 MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTEIDENTIFICAR os conceitos relevantes: na maioria dos proble-mas de movimento retilíneo, você pode usar as equações de aceleração constante 2.8, 2.12, 2.13 e 2.14. Mas, eventual-mente, você encontrará uma situação em que a aceleração não é constante. Nesse caso, necessitará de uma abordagem diferente (ver Seção 2.6).PREPARAR o problema seguindo estes passos:1. Leia o problema cuidadosamente. Crie um diagrama de mo-vimento mostrando o local da partícula nos instantes em que houver interesse. Decida onde colocar a origem das coordenadas e a direção do eixo, assinalando qual é seu sentido positivo. É sempre útil colocar a partícula na origem t � 0; então x0 � 0. Sua escolha do sentido positivo do eixo automaticamente determina o sentido positivo da veloci-dade e da aceleração. Se o eixo Ox for orientado para a di-reita da origem, então vx e ax também serão positivos quando tiverem esse sentido.2. Identifique as grandezas físicas (tempos, posições, veloci-dades e acelerações) que aparecem nas equações 2.8, 2.12, 2.13 e 2.14, atribuindo-lhes símbolos apropriados: x, x0, vx e ax, ou símbolos relacionados. Reformule o problema em palavras: “Quando uma partícula atinge seu ponto mais alto?” significa “Qual é o valor de t quando x tem seu valor máximo?”. Já o Exemplo 2.4 “Onde está o motociclista quando sua velocidade é de 25 m/s?” quer dizer “Qual é o valor de x quando vx � 25 m/s?”. Esteja atento a informa-ções implícitas. Por exemplo, “Um carro para em um semá-foro” normalmente significa v0x � 0.3. Faça uma lista de grandezas como x, x0, vx, v0x, ax e t. Em geral, algumas delas serão conhecidas e outras, desconhecidas. Escreva os valores das conhecidas e decida quais das desco-nhecidas são variáveis-alvo. Anote a ausência de qualquer uma das grandezas que aparecem nas quatro equações de ace-leração constante.4. Use a Tabela 2.4 para identificar as equações que se apli-cam. (Normalmente são aquelas que não incluem qualquer uma das grandezas ausentes, identificadas na etapa 3.) Normalmente, você encontrará uma única equação que contém apenas uma das variáveis-alvo. Às vezes, você de-verá achar duas equações, cada uma contendo as mesmas duas incógnitas.5. Faça um esboço dos gráficos correspondentes às equações que se aplicam. O gráfico vxt da Equação 2.8 é uma linha reta com inclinação ax. O gráfico xt da Equação 2.12 é uma parábola voltada para cima, se ax for positiva, ou para baixo, se a aceleração for negativa.6. Com base em sua experiência com esse tipo de problema, e levando em consideração o que seus gráficos lhe infor-mam, faça as previsões qualitativas e quantitativas que puder a respeito da solução.EXECUTAR a solução: se uma única equação se aplicar, resolva--a para a variável-alvo, usando somente símbolos. A seguir, substitua os valores conhecidos e calcule o valor da variável--alvo. Algumas vezes, você terá de resolver um sistema de duas equações com duas incógnitas; resolva-as simultaneamente para as variáveis-alvo.AVALIAR sua resposta: faça uma análise rigorosa dos resul-tados para verificar se eles fazem sentido. Eles estão dentro dos limites de valores que você esperava?Capítulo 2 – Movimento retilíneo 53Um motociclista se dirige para o leste da cidade de Osasco (SP) e acelera a moto a uma aceleração constante de 4,0 m/s2 depois de passar pela placa que indica os limites da cidade (Figura 2.20). No instante t � 0, ele está a 5,0 m a leste do sinal, mo-vendo-se para leste a 15 m/s. (a) Determine sua posição e velo-cidade para t � 2,0 s. (b) Onde está o motociclista quando sua velocidade é de 25 m/s?Figura 2.20 Motociclista deslocando-se com aceleração constante.x (leste)x = ?t = 2,0 sOv0x = 15 m>svx = ?ax = 4,0 m>s2x0 = 5,0 m t = 0OSASCOSOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: o enunciado do problema revela que a aceleração é constante. Portanto, podemos usar as equa-ções de aceleração constante. Escolhemos o sinal demarcador do limite da cidade como origem das coordenadas (x � 0) e orien-tamos o eixo �Ox de oeste para leste (veja a Figura 2.20, que também funciona como um diagrama de movimento). As variá-veis conhecidas são posição e velocidade iniciais, x0 � 5,0 m e v0x � 15 m/s. A aceleração constante é ax � 4,0 m/s2. As variá-veis-alvo na parte (a) são os valores da posição x e da velocidade vx em um instante posterior t � 2,0 s; a variável-alvo na parte (b) é o valor de x quando vx � 25 m/s.EXECUTAR: (a) Visto que conhecemos os valores de x0, v0x e ax, a Tabela 2.4 nos diz que podemos determinar a posição x em t � 2,0 s usando a Equação 2.12 e a velocidade vx nesse instante usando a Equação 2.8: x = x0 + v0x t + 12 ax t2= 5,0 m + 115 m>s2 12,0 s2 + 12 14,0 m>s22 12,0 s2 2= 43 m vx = v0x + ax t = 15 m>s + 14,0 m>s22 12,0 s2 = 23 m>s(b) Queremos encontrar o valor de x para vx � 25 m/s, mas não sabemos quando a motocicleta possui essa velocidade. A Tabela 2.4 nos diz que devemos usar a Equação 2.13, que en-volve x, vx e ax, mas não envolve t:v 2x = v 20x + 2ax 1x - x02Explicitando x e substituindo os valores numéricos conhecidos, obtemos x = x0 +v 2x - v 20x2ax = 5,0 m +125 m>s2 2 - 115 m>s2 2214,0 m>s22 = 55 mAVALIAR: você pode conferir o resultado no item (b) usando primeiro a Equação 2.8, vx � v0x � axt, para descobrir o instante em que vx � 25 m/s, que é t � 2,5 s. Então, você pode usar a Equação 2.12, x � x0 � v0xt � 12 axt2, para explicitar x. Você deverá encontrar x � 55 m, a mesma resposta dada na solução. Mas esse é o caminho mais longo para resolver o problema. O método usado no item (b) é muito mais eficiente.EXEMPLO 2.4 CÁLCULOS ENVOLVENDO ACELERAÇÃO CONSTANTEUm motorista dirige a uma velocidade constante de 15 m/s quando passa em frente a uma escola, onde a placa de limite de velocidade indica 10 m/s. Um policial que estava parado no local da placa acelera sua motocicleta e persegue o motorista com uma aceleração constante de 3,0 m/s2 (Figura 2.21a). (a) Qual o intervalo desde o início da perseguição até o mo-mento em que o policial alcança o motorista? (b) Qual é a velo-cidade do policial nesse instante? (c) Que distância cada veículo percorreu até esse momento?Figura 2.21 (a) Movimento com aceleração constante concomitante a um movimento com velocidade constante. (b) Gráfico de x em função de t para cada veículo.Policial: inicialmente em repouso, aceleração constanteO policial e o motorista se encontram no intervalo t, onde seus gráficos xt se cruzam.Motorista: velocidade constantexPOaPx = 3,0 m>s2vM0x = 15 m>sxM4080120160x (m)xO 1210862t (s)MotoristaPolicial4(a) (b)TRAVESSIA ESCOLAREXEMPLO 2.5 DOIS CORPOS COM ACELERAÇÕES DIFERENTES(Continua)54 Física ISOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: o policial e o motorista se movem com aceleração constante (que é igual a zero para o motorista), de modo que podemos usar as equações deduzidas anterior-mente. Escolhemos o sentido positivo para a direita e a origem coincidindo com o sinal da escola, de modo que x0 � 0 para ambos os veículos. Sejam xP a posição do policial e xM a posi-ção do motorista em qualquer instante. As velocidades iniciais são vP0x � 0 e vM0x � 15 m/s; as acelerações constantes são aPx � 3,0 m/s2 e aMx � 0. Nossa variável-alvo na parte (a) cor-responde ao instante em que o policial e o motorista estão na mesma posição x; a Tabela 2.4 nos diz que a Equação 2.12 é útil nessa parte. Na parte (b), usaremosa Equação 2.8 para achar a velocidade v do policial (o módulo de sua velocidade) no ins-tante encontrado na parte (a). Na parte (c), usaremos a Equa-ção 2.12 novamente para achar a posição do seu veículo nesse mesmo instante.A Figura 2.21b mostra um gráfico xt para ambos os veículos. A linha reta representa o movimento do motorista, xM � xM0 � vM0xt � vM0xt. O gráfico do movimento do policial é a metade direita de uma parábola com concavidade voltada para cima:xP = xP0 + vP0x t + 12 aPx t2 = 12 aPx t2Um bom desenho mostra que o policial e o motorista estão na mesma posição (xP � xM) em cerca de t � 10 s, quando ambos se afastaram cerca de 150 m da placa.EXECUTAR: (a) Para calcular o tempo t no momento em que o mo-torista e o policial estão na mesma posição, definimos xP � xM, igualando as expressões acima e explicitando t nessa equação:vM0xt = 12 aPxt2t = 0 ou t =2vM0xaPx=2115 m>s23,0 m>s2= 10 sExistem dois instantes nos quais os dois veículos possuem o mesmo valor de x, como indica a Figura 2.21b. O primeiro, t � 0, corresponde ao ponto em que o motorista passa pela placa onde o policial estava. O segundo, t � 10 s, corresponde ao mo mento em que o policial alcança o motorista.(b) Queremos o módulo da velocidade do policial vPx no instante t, encontrado na parte (a). Substituindo os valores de vP0x e aPx na Equação 2.8, com t � 10 s da parte (a), encontramosvPx = vP0x + aPx t = 0 + 13,0 m>s22 110 s2 = 30 m>sA velocidade do policial é o valor absoluto disso, que também é 30 m/s.(c) Em 10 s, a distância percorrida pelo motorista éxM = vM0x t = 115 m>s2 110 s2 = 150 me a distância percorrida pelo policial éxP = 12 aPx t2 = 1213,0 m>s22 110 s2 2 = 150 mIsso confirma que eles percorreram distâncias iguais após 10 s.AVALIAR: nossos resultados nas partes (a) e (c) combinam com nossas estimativas do desenho. Note que, quando o policial passa pelo motorista, eles não têm a mesma velocidade. O mo-torista está se movendo a 15 m/s e o policial, a 30 m/s. Você também pode ver isso pela Figura 2.21b. Onde as duas curvas xt se cruzam, suas inclinações (iguais aos valores de vx para os dois veículos) são diferentes.É apenas uma coincidência que, quando os dois veículos estão na mesma posição, o policial está com o dobro da velocidade do motorista? A Equação 2.14, x - x0 = 12 1v0x + vx2 t, ofe-rece a resposta. Como o motorista tem velocidade constante, vM0x � vMx, e o deslocamento do motorista x � x0 no instante t é vM0xt. Como vP0x � 0, no mesmo instante t o deslocamento do policial é 12 vPx t . Os dois veículos têm o mesmo desenvolvi-mento no mesmo período de tempo, de modo que vM0xt = 12 vPxt e vPx� 2vM0x — ou seja, o policial tem exatamente o dobro da velocidade do motorista. Isso é verdadeiro, não importando o valor da aceleração do policial.(Continuação)Para o caso específico do movimento com aceleração constante esquematizado na Figura 2.15 e cujos gráficos são apresentados nas figuras 2.16, 2.17 e 2.18, os valores x0, v0x e ax são todos positivos. Convidamos você a refazer essas figuras considerando um, dois ou três desses valores negativos.TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 2.4 O Exemplo 2.5 mostra quatro gráficos vxt para dois veículos. Qual gráfico está correto? (a) (b) (c) (d)vxO 10t (s)MotoristaPolicialvxO 10t (s)MotoristaPolicialvxO 10t (s)MotoristaPolicialvxO 10t (s)MotoristaPolicialCapítulo 2 – Movimento retilíneo 552.5 QUEDA LIVRE DE CORPOSO exemplo mais familiar de um movimento com aceleração (aproximada-mente) constante é a queda livre de um corpo atraído pela força gravitacional da Terra. Tal movimento despertou a atenção de filósofos e cientistas desde tempos remotos. No século IV a.C., Aristóteles pensou (erroneamente) que objetos mais pesados caíam mais rapidamente que objetos leves, com velocidades proporcio-nais aos respectivos pesos. Dezenove séculos mais tarde, Galileu (ver Seção 1.1) afirmou que um corpo deveria cair com aceleração constante independentemente de seu peso.Experiências demonstram que, quando os efeitos do ar podem ser desprezados, Galileu está correto; todos os corpos em um dado local caem com a mesma ace-leração, independentemente de seus tamanhos e pesos. Além disso, quando a dis-tância da queda livre é pequena em comparação com o raio da Terra e ignoramos os pequenos efeitos exercidos por sua rotação, a aceleração é constante. O movi-mento ideal resultante de todos esses pressupostos denomina-se queda livre, em-bora ele inclua também a ascensão de um corpo. (No Capítulo 3, estenderemos a discussão da queda livre para incluir o movimento de projéteis, que possuem componentes do movimento na horizontal e na vertical.)A Figura 2.22 é uma fotografia de múltipla exposição da queda livre de uma bola feita com auxílio de um estroboscópio luminoso que produz uma série de flashes com intervalos de tempo iguais. Para cada flash disparado, a imagem da bola fica gravada no filme nesse instante. A distância crescente entre duas ima-gens consecutivas na Figura 2.22 mostra que a velocidade está aumentando e que a bola acelera para baixo. Medidas cuidadosas mostram que a variação da velo-cidade é sempre a mesma entre os intervalos, de modo que a aceleração de uma bola em queda livre é constante.A aceleração constante de um corpo em queda livre denomina-se aceleração da gravidade, e seu módulo é designado por g. Sempre usaremos o valor aproxi-mado de g na superfície terrestre ou próximo a ela:g = 9,80 m>s2 = 980 cm>s2 = 32,2 pés (valor aproximado próximo à superfície terrestre)>s2O valor exato varia de um local para outro, de modo que normalmente forne-cemos o valor de g na superfície terrestre com somente dois algarismos signifi-cativos (9,8 m/s2). Na superfície da Lua, como a atração gravitacional é da Lua e não da Terra, g � 1,6 m/s2. Próximo à superfície do Sol, g � 270 m/s2.ATENÇÃO g é sempre um número positivo Como g é o módulo de uma grandeza ve-torial, ele é sempre um número positivo. Se você considerar que o sentido positivo está para cima, como fazemos na maioria das situações envolvendo queda livre, a aceleração é negativa (para baixo) e igual a �g. Tenha cuidado com o sinal de g, ou então terá difi-culdade com os problemas de queda livre.Nos exemplos seguintes, usaremos as equações de movimento com aceleração constante da Seção 2.4. Sugerimos que, antes de resolver esses exemplos, você leia novamente a Estratégia para a solução de problemas 2.1 dessa seção.DADOS MOSTRAM Queda livreQuando os alunos recebiam um problema sobre queda livre, mais de 20% davam uma resposta incorreta. Erros comuns:Confusão entre velocidade escalar, vetor velocidade e aceleração. A velocidade escalar nunca pode ser negativa; o vetor velocidade pode ser positivo ou negativo, dependendo do sentido do movimento. Em queda livre, velocidade escalar e vetor velocidade variam continuamente, mas a aceleração (taxa de variação da velocidade) é constante e para baixo.Não observar que um corpo em queda livre que se move para cima com uma certa velocidade além de um ponto passará pelo mesmo ponto na mesma velocidade quando se mover para baixo (ver Exemplo 2.7).Figura 2.22 Fotografia de múltipla exposição de uma bola em queda livre.MovimentovA bola é lançada aqui e cai livremente.As imagens da bola são registradas em intervalos de tempo iguais.56 Física IUma moeda de 1 euro é derrubada da Torre de Pisa. Ela parte do repouso e se move em queda livre. Calcule sua posição e sua velocidade nos instantes 1,0 s, 2,0 s e 3,0 s.SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: “queda livre” significa “possuir uma aceleração constante pela gravidade”. Portanto, podemos usar as equações de aceleração constante. O lado direito da Fi-gura 2.23 demonstra nosso diagrama de movimento para a moeda. Como o eixo é vertical, vamos chamá-lo de y em vez de x. Todos os valores de x das equações serão substituídospor y. Consideramos a origem O como o ponto inicial e escolhemos um eixo vertical orientado com sentido positivo de baixo para cima. A coordenada inicial y0 e a velocidade inicial v0y são iguais a zero. A aceleração está orientada para baixo (no sentido negativo do eixo Oy), de modo que ay � �g � �9,8 m/s2. (Lembre-se de que, por definição, g é sempre positivo.) As variáveis-alvo são y e vy nos três instantes especificados. Para determiná-las, usamos as equações 2.8 e 2.12, substituindo-se x por y. Nossa escolha do sentido para cima como positivo significa que todas as posições e velocidades que calcularmos serão negativas.EXECUTAR: em um instante t após a moeda ser derrubada, sua posição e velocidade são: y = y0 + v0y t + 12 ay t2 = 0 + 0 + 12 1-g2 t2 = 1-4,9 m>s22 t2 vy = v0y + ay t = 0 + 1-g2 t = 1-9,8 m>s22 tQuando t � 1,0 s, y � (�4,9 m/s2)(1,0 s)2 � �4,9 m e vy � (�9,8 m/s2) (1,0 s) � �9,8 m/s; depois de 1 s, a moeda está a 4,9 m abaixo da origem (y é negativo) e possui uma velocidade orientada para baixo (vy é negativa) com módulo igual a 9,8 m/s.A posição e a velocidade nos instantes 2,0 s e 3,0 s são encontradas da mesma forma. Os resultados são y � �20 m e vy � �20 m/s em t � 2,0 s, e y � �44 m e vy � �29 m/s em t � 3,0 s.AVALIAR: todas as respostas são negativas, como esperávamos. Mas também poderíamos ter escolhido o sentido para baixo. Nesse caso, a aceleração teria sido ay � �g e todas as respostas teriam sido positivas.Figura 2.23 Uma moeda em queda livre a partir do repouso.yv0 = 00v2y = ?v3y = ?t3 = 3,0 s,y3 = ?t2 = 2,0 s,y2 = ?t0 = 0 s,y0 = 0t1 = 1,0 s,y1 = ?ay = -9,8 m/s2EXEMPLO 2.6 UMA MOEDA EM QUEDA LIVREVocê arremessa uma bola de baixo para cima do topo de um edifício alto. A bola deixa sua mão à velocidade de 15 m/s em um ponto que coincide com a extremidade superior do para-peito do edifício; a seguir, ela passa a se mover em queda livre. Quando a bola volta, ela passa raspando pelo parapeito e conti-nua a queda. Calcule (a) a posição e a velocidade da bola 1,0 s e 4,0 s depois que ela deixa sua mão; (b) a velocidade quando a bola está a 5,0 m acima do parapeito; (c) a altura máxima atin-gida; (d) a aceleração da bola quando ela se encontra em sua altura máxima.SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: as palavras “queda livre” no enun-ciado do problema significam que a aceleração é constante e se deve à gravidade. Nossas variáveis-alvo são posição [nas partes (a) e (c)], velocidade [nas partes (a) e (b)] e aceleração [na parte (d)]. Tome a origem na extremidade superior do parapeito, no ponto onde a bola deixa sua mão, e considere o sentido positivo como de baixo para cima (Figura 2.24). A posição inicial y0 é igual a zero, a velocidade inicial v0y é �15,0 m/s e a aceleração é ay � � g � �9,80 m/s2. Na parte (a), como no Exemplo 2.6, usaremos as equações 2.12 e 2.8 para achar a posição e a velo-cidade em função do tempo. Na parte (b), precisamos encontrar a velocidade em uma certa posição (nenhum tempo é indicado); por isso, nessa parte, usaremos a Equação 2.13.A Figura 2.25 mostra os gráficos yt e vyt para a bola. O gráfico yt é uma parábola com concavidade para baixo, que sobe e de-pois desce, e o gráfico vyt é uma linha reta com inclinação para baixo. Note que a velocidade da bola é zero quando ela está em seu ponto mais alto.EXECUTAR: (a) A posição y e a velocidade vy em qualquer ins-tante t são dadas pelas equações 2.12 e 2.8, substituindo-se x por y, portanto: y = y0 + v0y t + 12 ay t2 = y0 + v0y t + 12 1-g2 t2 = 102 + 115,0 m>s2 t + 12 1-9,80 m>s22 t2 vy = v0y + ay t = v0y + 1-g2 t = 15,0 m>s + 1-9,80 m>s22 tQuando t � 1,00 s, essas equações fornecem y � �10,1 m e vy � �5,2 m/s. Ou seja, a bola está a 10,1 m acima da origem (y é positivo) e se move de baixo para cima (vy é positiva) com um módulo igual a 5,2 m/s. Esse valor é menor que a velocidade ini-cial, já que a bola perde velocidade conforme ascende. Quando EXEMPLO 2.7 MOVIMENTO PARA CIMA E PARA BAIXO EM QUEDA LIVRE(Continua)Capítulo 2 – Movimento retilíneo 57t � 4,0 s, as equações fornecem y � �18,4 m e vy � �24,2 m/s A bola já passou pela altura máxima e está 18,4 m abaixo da origem (y é negativo). Ela possui uma velocidade orientada de cima para baixo (vy é negativa), cujo módulo é igual a 24,2 m/s. A Equação 2.13 nos diz que a bola se move na velocidade inicial de 15,0 m/s enquanto se move de cima para baixo, passando pelo ponto de lançamento (a origem), e continua a ganhar velocidade enquanto desce além desse ponto.(b) A velocidade vy em qualquer posição y é dada pela Equação 2.13, substituindo-se x por y, portanto: v 2y = v 20y + 2ay 1 y - y02 = v 20y + 2 1-g2 1 y - 02 = 115,0 m>s2 2 + 2 1- 9,80 m>s22yQuando a bola está 5,0 m acima da origem, y � �5,00 m, logov 2y = 115,0 m>s2 2 + 21- 9,80 m>s22 15,00 m2 = 127 m2>s2 vy = {11,3 m>sObtivemos dois valores de vy, um positivo e outro negativo, por-que a bola passa duas vezes pelo ponto y � �5,0 m: uma vez durante a ascensão (quando vy é positivo) e a outra durante a queda (quando vy é negativo) (ver figuras 2.24 e 2.25a).(c) No exato instante em que a bola atinge seu ponto mais elevado y1, sua velocidade é momentaneamente nula: vy � 0. Usamos a Equação 2.13 para descobrir y1. Com vy � 0, y0 � 0 e ay � �g, obtemos: 0 = v 20y + 2 1-g21 y1 - 02 y1 =v 20y2g=115,0 m>s2 2219,80 m>s22 = +11,5 m(d) ATENÇÃO Um erro conceitual de queda livre É um erro comum supor que no ponto da altura máxima, onde a velocidade é zero, a aceleração também seja zero. Se isso fosse verdade, a bola ficaria suspensa nesse ponto para sem-pre! Para entender a razão, lembre-se de que a aceleração é a variação da velocidade, e a velocidade da bola está variando continuamente. Em cada ponto, incluindo no ponto mais ele-vado, e em qualquer velocidade, inclusive zero, a aceleração em queda livre é sempre ay � �g � �9,80 m/s2.AVALIAR: uma forma útil de conferir qualquer problema de queda livre é desenhar dois gráficos de posição e velocidade em função do tempo (yt e vyt), como mostra a Figura 2.25. Observe que esses gráficos são os das equações 2.12 e 2.8, respectiva-mente. Dadas a posição inicial, a velocidade inicial e a acele-ração, você pode facilmente criar esses gráficos usando uma calculadora gráfica ou um programa matemático on-line.(Continuação)Figura 2.24 Posição e velocidade de uma bola lançada verticalmente de baixo para cima.A bola na realidade se move para cima e depois diretamente para baixo; mostramos o percurso em forma de “U” para que o movimento fique mais claro.t = 0, v0y = 15,0 m>st = 1,00 s, vy = ?y = ?y = ?y = ?y = 5,00 my = 0yt = 4,00 svy = ?vy = ?t = ?t = ?vy = 0ay = -gt = ?, vy = ?= -9,80 m>s2Figura 2.25 (a) Posição e (b) velocidade em função do tempo para uma bola lançada verticalmente de baixo para cima com velocidade inicial de 15,0 m/s.Antes de t = 1,53 s, a velocidade y é positiva.Antes de t = 1,53 s, a bola se move para cima.Depois de t = 1,53 s, a bola se move para baixo.(a) Gráfico yt (concavidade voltada para baixo porque ay = –g é negativo)51015-20-15-10-5-250(b) Gráfico vyt (linha reta com inclinação negativa porque ay = –g é constante e negativo)431t (s)2vy (m>s)431t (s)251015y (m)-20-15-10-50Depois de t = 1,53 s, a velocidade y é negativa.Calcule o instante para o qual a bola do Exemplo 2.7 está a 5,0 m abaixo do parapeito do edifício.SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: tratamos isso como no Exemplo 2.7, de modo que y0, v0y e ay � �g têm os mesmos valores de lá. Agora, porém, a variável-alvo é o tempo em que a bola está em y � �5,00 m. A melhor equação a usar é a Equação 2.12, que oferece a posição y em função do tempo t: y = y0 + v0y t + 12 ay t2= y0 + v0y t + 12 1-g2 t2EXEMPLO 2.8 DUAS SOLUÇÕES OU UMA?(Continua)58 Física ITESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 2.5 Se você arremessa uma bola de baixo para cima com certa velocidade inicial, ela cai livremente e atinge uma altura máxima h em um instante t, após deixar sua mão. (a) Se você jogar a bola para cima com o dobro da veloci-dade inicial, que nova altura máxima a bola atingirá? (i) h!2 ; (ii) 2h; (iii) 4h; (iv) 8h; (v) 16h. (b) Se você jogar a bola para cima com o dobro da velocidade inicial, quanto tempo levará para ela atingir sua nova altura máxima? (i) t/2; (ii) t/!2 ; (iii) t; (iv) t!2 ; (v) 2t. 2.6 VELOCIDADE E POSIÇÃO POR INTEGRAÇÃOEsta seção opcional destina-se a estudantes que já tenham aprendido um pouco de cálculo integral. Na Seção 2.4, analisamos o caso especial do movimento re-tilíneo com aceleração constante. Quando ax não é constante, como ocorre fre-quentemente, as equações que foram deduzidas nessa seção não são mais válidas (Figura 2.26). Contudo, mesmo quando ax varia com o tempo, ainda podemos usar a relação vx � dx/dt para achar a velocidade vx em função do tempo quando a posição x da partícula for conhecida em função do tempo.Entretanto, em muitas situações, embora sabendo a aceleração em função do tempo, não conhecemos nem a posição nem a velocidade em função do tempo, mas sim a aceleração (Figura 2.27). Como determinar a posição e a velocidade a partir da aceleração em função do tempo ax(t)?A Figura 2.28 mostra um gráfico de aceleração versus tempo para um corpo cuja aceleração não é constante. Podemos dividir o intervalo de tempo entre t1 e t2 em intervalos muito menores e designar cada um deles como �t. Seja amx a Esta é uma equação quadrática para t, que queremos resolver para o valor de t quando y � �5,00 m.EXECUTAR: inicialmente, reagrupamos os termos dessa equa-ção para ficar na forma padronizada de uma equação do se-gundo grau para uma incógnita x, Ax2 � Bx � C � 0:1 12 g 2 t2 + 1-v0y2 t + 1 y - y02 = At2 + Bt + C = 0Por comparação, identificamos A � 12g, B � �v0y e C � y � y0. Usando a fórmula da solução de uma equação de segundo grau (Apêndice B), verificamos que essa equação possui duas soluções: t =-B { "B2 - 4AC2A =- 1-v0y2 { "1-v0y2 2 - 4 1 12 g 2 1 y - y022 1 12 g 2 =v0y { "v 20y - 2g 1 y - y02gSubstituindo os valores y0 � 0, v0y � �15,0 m/s, g � 9,80 m/s2 e y � �5,0 m, encontramos:t =115,0 m>s2 { "115,0 m>s2 2 - 219,80 m > s221-5,00 m - 029,80 m>s2Você pode confirmar que as respostas numéricas são t � �3,36 s e t � �0,30 s. A resposta t � �0,30 s não faz sentido físico, pois refere-se a um tempo anterior à saída da bola de sua mão em t � 0. Assim, a resposta correta é t � �3,36 s.AVALIAR: de onde surgiu a segunda “solução”, errada? A expli-cação é que equações de aceleração constante, como a 2.12, são baseadas na hipótese de que a aceleração é constante para todos os valores de tempo, sejam eles positivos, negativos ou nulos. Logo, a solução t � �0,30 s refere-se a um momento imaginá-rio em que uma bola em queda livre estava a 5,00 m abaixo do parapeito do edifício e subindo para alcançar sua mão. Como a bola não saiu da sua mão e entrou em queda livre antes de t � 0, esse resultado é pura ficção.Convidamos você a repetir esses cálculos para achar os tempos para os quais a bola está a 5,0 m acima da origem (y � �5,0 m). As duas respostas são t � �0,38 s e t � �2,68 s; esses valo-res correspondem a valores positivos de t e ambos referem-se ao movimento real da bola depois que você a arremessou. O tempo menor corresponde ao instante em que ela passa por esse ponto no movimento de ascensão, e o tempo maior, ao instante em que ela passa por esse ponto durante a queda. [Compare esse resultado com a solução da parte (b) do Exemplo 2.7, e novamente consulte a Figura 2.25a.]Você também deve obter as soluções para os tempos correspon-dentes a y � �15,0 m. Nesse caso, as duas soluções envolvem a raiz quadrada de um número negativo, de modo que não existe nenhuma solução real. Novamente, a Figura 2.25a mostra o mo-tivo; na parte (c) do Exemplo 2.7, achamos que a altura máxima atingida pela bola é y � �11,5 m, de modo que a bola jamais poderia atingir uma altura y � �15,0 m. Embora uma equação do segundo grau, como a 2.12, sempre possua duas soluções, em algumas situações uma delas ou as duas podem deixar de ser fisicamente possíveis.(Continuação)Capítulo 2 – Movimento retilíneo 59aceleração média durante �t. Pela Equação 2.4, a variação da velocidade �vx du-rante �t é dada por�vx = amx �tGraficamente, �vx é a área sombreada do retângulo que possui altura amx e lar-gura �t, ou seja, a área sob a curva entre a extremidade esquerda e a extremidade direita de �t. A variação total da velocidade em qualquer intervalo de tempo (di-gamos, de t1 a t2) é a soma das variações de �vx de todos os pequenos subinterva-los. Logo, a variação total da velocidade é dada graficamente pela área total sob a curva axt delimitada entre as linhas verticais t1 e t2. (Na Seção 2.4, mostramos que isso é verdade para o caso específico do movimento com aceleração ax constante.)No limite em que todos os intervalos �t tornam-se muito pequenos e numero-sos, o valor de amx para o intervalo entre t e t + �t se aproxima da aceleração ax no tempo t. Nesse limite, a área sob a curva axt é dada pela integral de ax (que ge-ralmente é função de t) de t1 a t2. Se v1x for a velocidade do corpo no tempo t1 e v2x for a velocidade no tempo t2, então v2x - v1x =v2xv1xdvx =t2t1ax dt (2.15)A variação na velocidade vx é obtida pela integral da aceleração ax em relação ao tempo.Podemos fazer exatamente o mesmo procedimento com a curva da velocidade versus tempo. Se x1 for a posição do corpo no tempo t1 e x2 for a posição no tempo t2, pela Equação 2.2, o deslocamento �x durante um pequeno intervalo de tempo �t será igual a vmx �t, onde vmx é a velocidade média durante �t. O deslo-camento total x2 � x1 durante o intervalo t2 � t1 é dado por: x2 - x1 =x2x1dx =t2t1vx dt (2.16)A variação da posição x — isto é, o deslocamento — é dada pela integral da velocidade vx em relação ao tempo. Graficamente, o deslocamento durante o in-tervalo t1 e t2 é dado pela área sob a curva vxt entre esses dois limites. (Esse re-sultado é semelhante ao obtido na Seção 2.4 para o caso específico no qual vx era dada pela Equação 2.8.)Figura 2.26 Quando você pisa até o fundo no pedal do acelerador do seu carro, a aceleração resultante não é constante: quanto maior a velocidade do carro, mais lentamente ele ganha velocidade adicional. Para um carro comum, o tempo para acelerar de 50 km/h a 100 km/h é igual ao dobro do tempo necessário para acelerar de 0 a 50 km/h.Área total sob a curva em um gráfico xt entre os tempos t1 e t2 = variação da velocidade que ocorre entre esses limites.Área desta coluna = �vx= variação na velocidade durante o intervalo de tempo �tOamxaxt1 t2t�tFigura 2.28 Um gráfico axt para um corpo cuja aceleração não é constante.Figura 2.27 O sistema de navegação inercial (INS — Inertial Navigation System) a bordo de uma aeronave registra sua aceleração. Dadas a posição inicial da aeronave e a velocidade antes da decolagem, o INS usa os dados da aceleração para calcular sua posição e velocidade durante o voo.60 Física IQuando t1 � 0 e t2 for t em algum instante posterior, e quando x0 e v0x corres-ponderem, respectivamente, à posição e à velocidade, para t � 0, então podemos reescrever as equações 2.15 e 2.16 do seguinte modo:(2.17)Velocidade da partícula no instante 0Velocidade de uma partícula no instante tIntegral da aceleração da partícula entre os instantes 0 e tvx = v0x + t0ax dt(2.18)Posição da partícula no instante 0Integral da velocidade da partícula entre os instantes 0 e tx = x0 + vx dtt0Posição de uma partícula no instante tConhecendo a aceleração ax em função do tempo e a velocidade inicial v0x,po-demos usar a Equação 2.17 para achar a velocidade vx em qualquer tempo; em ou-tras palavras, podemos achar vx em função do tempo. Conhecendo essa função e sabendo a posição inicial x0, podemos usar a Equação 2.18 para achar a posição x a qualquer tempo.Sueli está dirigindo seu Mustang 1965 em um trecho retilíneo de uma estrada. No tempo t � 0, quando ela está se movendo a 10 m/s no sentido positivo do eixo Ox, ela passa por um poste de sinaliza-ção a uma distância x � 50 m. Sua aceleração em função do tempo é dada por:ax = 2,0 m>s2 - 10,10 m>s32 t(a) Deduza uma expressão para a posição e a velocidade em fun-ção do tempo. (b) Qual é o instante em que sua velocidade atinge o valor máximo? (c) Qual é a velocidade máxima? (d) Onde está o carro quando a velocidade atinge seu valor máximo?SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: a aceleração é uma função do tempo, por isso não podemos usar as fórmulas de aceleração constante da Seção 2.4. Em vez disso, usamos a Equação 2.17 para obter uma expressão para vx em função do tempo, e depois usamos esse resultado na Equação 2.18 para achar uma expres-são para x em função de t. Poderemos, então, responder a uma série de perguntas sobre o movimento.EXECUTAR: (a) No tempo t � 0, a posição de Sueli é x0 � 50 m e sua velocidade é v0x � 10 m/s. Para usar a Equação 2.17, observa-mos que a integral de tn (exceto por n � �1) é 1 tn dt = 1n + 1 tn +1, de modo que vx = 10 m>s +t032,0 m>s2 - 10,10 m>s32 t4 dt = 10 m>s + 12,0 m>s22 t - 12 10,10 m>s32 t2A seguir, usamos a Equação 2.18 para achar x em função do tempo t: x = 50 m +t0310 m>s + 12,0 m>s22 t - 12 10,10 m>s32 t24 dt = 50 m + 110 m>s2 t + 12 12,0 m>s22 t2 - 16 10,10 m>s32 t3A Figura 2.29 mostra gráficos de ax, vx e x em função do tempo, conforme mostrado nas equações anteriores. Note que, para qual-quer tempo t, a inclinação do gráfico vxt fornece o valor de ax e a inclinação do gráfico xt fornece o valor de vx. (b) O valor máximo de vx ocorre quando v para de crescer e co-meça a decrescer. Para esse instante, dvx/dt � ax � 0. Igualando a zero a expressão de ax e explicitando t, obtemos 0 = 2,0 m>s2 - 10,10 m>s32 t t =2,0 m>s20,10 m>s3 = 20 s(c) Para achar a velocidade máxima, substituímos t � 20 s (quando a velocidade é máxima) na equação para vx da parte (a): vmáx@x = 10 m>s + 12,0 m>s22 120 s2 - 12 10,10 m>s32 120 s2 2 = 30 m>s(d) Para obter a posição do carro no instante que achamos na parte (b), substituímos t � 20 s na equação geral de x da parte (a): x = 50 m + 110 m>s2 120 s2 + 12 12,0 m>s22 120 s2 2- 16 10,10 m>s32 120 s2 3= 517 mEXEMPLO 2.9 MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO VARIÁVEL(Continua)Capítulo 2 – Movimento retilíneo 61Movimento retilíneo, velocidade média e ve-locidade instantânea: quando uma partícula se move em linha reta, descrevemos sua posição em relação à origem O especificando uma coordenada tal como x. A velocidade média da partícula vmx em um intervalo de tempo �t � t2 � t1 é igual a seu deslocamento �x � x2 � x1 dividido por �t. A velocidade instantânea vx em qualquer instante t é igual à velocidade média para o intervalo de tempo entre t e t � �t até o limite em que �t seja zero. Da mesma forma, vx é a derivativa da função posição em relação ao tempo (Exemplo 2.1).vmx =�x�t=x2 - x1t2 - t1 vx = lim�t S 0 �x�t=dxdt (2.2)(2.3)xp1p2Ot�x = x2 - x1�t = t2 - t1t2t1x1x2Inclinação = v mxInclinação = v xAceleração média e instantânea: a aceleração média amx em um intervalo de tempo �t é igual à variação em velocidade �vx � v2x � v1x no inter-valo dividido por �t. A aceleração instantânea ax é o limite de amx conforme �t tende a zero, ou a derivativa de vx em relação a t (exemplos 2.2 e 2.3).amx =�vx�t=v2x - v1xt2 - t1 ax = lim�t S 0 �vx�t=dvxdt(2.4)(2.5)vxv2xv1xt2t1tOp1p2�t = t2 - t1�vx = v2x - v1xInclinação = a mxInclinação = axMovimento retilíneo com aceleração constante: quando a aceleração é constante, quatro equações relacionam a posição x e a velocidade vx, em qual-quer instante t, à posição inicial x0, à velocidade inicial v0x (ambas medidas no instante t � 0) e à aceleração ax (exemplos 2.4 e 2.5).Aceleração constante somente:vx = v0x + ax t x = x0 + v0x t + 12 ax t2 vx 2 = v0x 2 + 2ax 1x - x02 x - x0 = 12 1v0x + vx 2 t (2.8)(2.12)(2.13)(2.14)00000t = 2�tt = 3�tt = �tt = 4�tt = 0vavavavavaxxxxxCAPÍTULO 2 RESUMOAVALIAR: a Figura 2.29 ajuda a interpretar nossos resultados. O gráfico no topo dessa figura indica que ax é positiva entre t � 0 e t � 20 s e negativa a partir daí. É nula em t � 20 s, o tempo no qual vx atinge seu valor máximo (o ponto mais alto no gráfico do meio). O carro acelera até t � 20 s (porque vx e ax possuem o mesmo sinal) e passa a diminuir de velocidade depois de t � 20 s (porque vx e ax possuem sinais contrários).Uma vez que o valor máximo de vx ocorre para t � 20 s, o grá-fico xt (o gráfico da direita na Figura 2.29) possui sua inclinação máxima nesse instante. Note que o gráfico xt possui concavidade para cima (curvado para cima) de t � 0 até t � 20 s, quando ax é positiva. O gráfico possui concavidade para baixo (curvado para baixo) após t � 20 s, quando ax é negativa.(Continuação)Figura 2.29 A posição, a velocidade e a aceleração do carro do Exemplo 2.9 em função do tempo. Você é capaz de mostrar que, se esse movimento continuasse, o carro pararia no instante t � 44,5 s?25O gráfico xt possui concavidade para baixo apóst = 20 s.O gráfico xt possui concavidade para cima antes det = 20 s.A velocidade aumenta antes de t = 20 s.A velocidade diminui após t = 20 s.A aceleração é positiva antes de t = 20 s.A aceleração é negativa após t = 20 s.vx (m>s)O1020305 10 15 20 25 30t (s)x (m)t (s)O2004006008005 10 15 20 25 30ax (m>s2)O1,02,05 10 15 20 30-1,0t (s)62 Física IProblema em destaque A queda de um super-heróiO super-herói Lanterna Verde para no topo de um prédio alto. Ele cai livremente a partir do repouso até o solo, caindo por metade da distância total até o solo durante o último 1 s de sua queda (Figura 2.30). Qual é a altura h do prédio?Figura 2.30 Nosso desenho para este problema.Queda de h/2 em 1,00 s.h = ?GUIA DA SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR1. Você sabe que o Lanterna Verde caiu livremente a partir do repouso. O que isso significa para a sua aceleração? E sobre sua velocidade inicial?2. Escolha o sentido positivo para o eixo Oy. É mais fácil fazer a mesma escolha que usamos para os objetos em queda livre, na Seção 2.5.3. Você pode dividir a queda do Lanterna Verde em duas par-tes: do topo do prédio até a metade do percurso e da metade até o solo. Você sabe que a segunda parte da queda dura 1,00 s. Decida o que precisaria saber sobre o movimento do Lanterna Verde na metade do percurso para explicitar a variável h. Depois, escolha duas equações, uma para a pri-meira parte da queda e outra para a segunda parte, que você usará em conjunto para encontrar uma expressão para h. (Existem vários pares de equações que você poderia escolher.)EXECUTAR4. Use suas duas equações para explicitar a altura h. As altu-ras são sempre números positivos, de modo que sua res-posta deverá ser positiva.AVALIAR5. Para verificar sua resposta para h, use uma das equações de queda livre para descobrir quanto tempo leva para o Lanterna Verde cair (i) do topo do prédio até metade de sua altura e (ii) da metade da altura do prédio até o solo. Se a sua resposta para h estiver correta, o tempo (ii) deverá ser 1,00 s maior que o tempo (i). Se não for, volte e procure os erros na forma como encontrou h.Corpos em queda livre: a queda livre é um caso particular de movimento com aceleração constante. O módulo daaceleração da gravidade é uma gran-deza positiva, g. A aceleração de um corpo em queda livre é sempre orientada de cima para baixo (exemplos 2.6 a 2.8).ay = -g= -9,80 m>s2Movimento retilíneo com aceleração variada: quando a aceleração não é constante, mas é conhe-cida em função do tempo, podemos determinar a velocidade e a posição em função do tempo, inte-grando a função aceleração (Exemplo 2.9).vx = v0x +t0ax dt x = x0 +t0vx dt (2.17)(2.18)Oamxaxt1 t2t�tCapítulo 2 – Movimento retilíneo 63 PROBLEMAS, , : níveis de dificuldade. PC: problemas cumulativos, incorporando material de outros capítulos. CALC: problemas exigindo cálculo. DADOS: problemas envolvendo dados reais, evidência científica, projeto experimental e/ou raciocínio científico. BIO: problemas envolvendo biociências.QUESTÕES PARA DISCUSSÃOQ2.1 O velocímetro de um automóvel mede a velocidade esca-lar ou o vetor velocidade? Explique.Q2.2 A Figura Q2.2 mostra uma série de fotografias em alta velocidade de um inseto voando em linha reta, da esquerda para a direita (no sentido positivo do eixo Ox). Qual dos gráfi-cos na Figura Q2.2 descreve de forma mais plausível o movi-mento desse inseto?Figura Q2.2(a)vxtO(b)axtO(c)xtO(d)vxtO(e)vxtOQ2.3 Um objeto com aceleração constante pode reverter o sen-tido de seu percurso? Duas vezes? Em cada caso, explique seu raciocínio.Q2.4 Em que condições uma velocidade média é igual a uma velocidade instantânea?Q2.5 É possível um objeto (a) reduzir a velocidade enquanto o módulo de sua aceleração cresce? (b) aumentar a velocidade enquanto sua aceleração é reduzida? Em cada caso, explique seu raciocínio.Q2.6 Sob quais condições o módulo do vetor velocidade média é igual ao módulo da velocidade escalar?Q2.7 Quando um Dodge Viper está no lava-jato situado na Rua da Consolação, uma BMW Z3 está na Rua Bela Cintra com a Avenida Paulista. Mais tarde, quando o Dodge chega à Rua Bela Cintra com a Avenida Paulista, a BMW chega ao lava-jato na Consolação. Como estão relacionadas as velocidades médias dos carros entre esses dois intervalos de tempo?Q2.8 Um motorista em Curitiba foi levado a julgamento por excesso de velocidade. A evidência contra o motorista foi o depoimento de uma policial que notou que o carro do acusado estava emparelhado com um segundo carro que o ultrapassou. Conforme a policial, o segundo carro já havia ultrapassado o limite de velocidade. O motorista acusado se defendeu alegando que “o segundo carro me ultrapassou, portanto eu não estava acelerando”. O juiz deu a sentença contra o motorista, alegando que, “se dois carros estavam emparelhados, ambos estavam ace-lerando”. Se você fosse o advogado de defesa do motorista acu-sado, como contestaria?Q2.9 É possível ter deslocamento nulo e velocidade média dife-rente de zero? E deslocamento nulo e vetor velocidade diferente de zero? Ilustre suas respostas usando um gráfico xt.Q2.10 Pode existir uma aceleração nula e uma velocidade di-ferente de zero? Ilustre suas respostas usando um gráfico vxt.Q2.11 É possível ter uma velocidade nula e uma aceleração média diferente de zero? E velocidade nula e aceleração instan-tânea diferente de zero? Ilustre suas respostas usando um gráfico vxt e exemplifique tal movimento.Q2.12 Um automóvel está se deslocando para oeste. Ele pode ter uma velocidade orientada para oeste e ao mesmo tempo uma aceleração orientada para leste? Em que circunstâncias?Q2.13 A caminhonete da Figura 2.2 está em x1 � 277 m para t1 � 16,0 s e em x2 � 19 m para t2 � 25,0 s. (a) Desenhe dois diferentes gráficos xt possíveis para o movimento da caminho-nete. (b) As duas velocidades médias vmx durante os intervalos de t1 até t2 possuem o mesmo valor nos dois gráficos? Explique.Q2.14 Em movimento com aceleração constante, a velocidade de uma partícula é igual à metade da soma da velocidade inicial com a velocidade final. Isso ainda é verdade se a aceleração não for constante? Explique.Q2.15 Você lança uma bola de beisebol verticalmente para cima e ela atinge uma altura máxima muito maior que sua altura. O módulo da aceleração é maior enquanto ela está sendo lançada ou logo depois que ela deixa a sua mão? Explique.Q2.16 Prove as seguintes afirmações: (a) desprezando os efei-tos do ar, quando você lança qualquer objeto verticalmente para cima, ele possui a mesma velocidade em seu ponto de lança-mento tanto durante a ascensão quanto durante a queda. (b) O tempo total da trajetória é igual ao dobro do tempo que o objeto leva para atingir sua altura máxima.Q2.17 Uma torneira mal fechada libera uma gota a cada 1,0 s. Conforme essas gotas caem, a distância entre elas aumenta, di-minui ou permanece a mesma? Prove.Q2.18 A posição inicial e a velocidade inicial de um veículo são conhecidas e faz-se um registro da aceleração a cada ins-tante. Depois de certo tempo, a posição do veículo pode ser de-terminada a partir desses dados? Caso seja possível, explique como isso poderia ser feito.Q2.19 Do topo de um edifício alto, você joga uma bola de baixo para cima com velocidade v0 e outra bola de cima para baixo com velocidade v0. (a) Qual das bolas possui maior velocidade ao atin-gir o chão? (b) Qual das bolas chega primeiro ao chão? (c) Qual das bolas possui maior deslocamento ao atingir o chão? (d) Qual das bolas percorreu a maior distância ao atingir o chão?Q2.20 Você corre no sentido de oeste para leste a uma velo-cidade constante de 3,00 m/s por uma distância de 120,0 m e, depois, continua correndo no mesmo sentido a uma velocidade constante de 5,00 m/s por outros 120,0 m. Para o percurso total de 240,0 m, sua velocidade média é igual, maior ou menor que 4,00 m/s? Explique.Q2.21 Um objeto é lançado verticalmente para cima e não en-contra resistência do ar. Como o objeto poderá ter uma acelera-ção quando tiver parado no ponto mais alto?Q2.22 Quando você solta um objeto de uma certa altura, ele precisa de um tempo T até atingir o solo, sem resistência do ar. Se você o soltasse de uma altura três vezes maior, quanto tempo (em termos de T) seria necessário para ele atingir o solo?EXERCÍCIOSSeção 2.1 Deslocamento, tempo e velocidade média2.1 Um carro trafega no sentido �x em uma estrada reta e ni-velada. Para os primeiros 4,00 s de seu movimento, a velocidade 64 Física Imédia do carro é vmx � 6,25 m/s. Que distância o carro percorre em 4,00 s?2.2 Em uma experiência, um pombo-correio foi retirado de seu ninho, levado para um local a 5.150 km do ninho e libertado. Ele retorna ao ninho depois de 13,5 dias. Tome a origem no ninho e estenda um eixo �Ox até o ponto onde ele foi libertado. Qual a velocidade média do pombo-correio em m/s para: (a) o voo de retorno e (b) o trajeto todo, desde o momento em que ele é retirado do ninho até seu retorno?2.3 De volta para casa. Normalmente, você faz uma via-gem de carro de San Diego a Los Angeles com uma velocidade média de 105 km/h, em 1h50 min. Em uma tarde de sexta-feira, contudo, o trânsito está muito pesado e você percorre a mesma distância com uma velocidade média de apenas 70 km/h. Calcule o tempo que você leva nesse percurso.2.4 De um pilar até um poste. Começando em um pilar, você corre 200 m para leste (o sentido do eixo �Ox) com uma velocidade média de 5,0 m/s e, a seguir, corre 280 m para oeste com uma velocidade média de 4,0 m/s até um poste. Calcule: (a) sua velocidade escalar média do pilar até o poste e (b) o módulo do vetor velocidade média do pilar até o poste.2.5 Partindo da porta de entrada de uma casa no campo, você percorre 60,0 m no sentido leste até um moinho de vento, vira--se e depois percorre lentamente 40,0 m em sentido oeste até um banco, onde você se senta e observa o nascer do sol. Foram necessários 28,0 s para fazer o percurso da casa até o moinho e depois 36,0 s para seguir do moinho até o banco. Para o trecho total da porta da frente até o banco, quais são (a) o vetorveloci-dade média e (b) a velocidade escalar média?2.6 Um Honda Civic percorre um trecho retilíneo ao longo de uma estrada. Sua distância a um sinal de parada é uma função do tempo t dada pela equação x(t) � at2 � bt3, onde a � 1,50 m/s2 e b � 0,0500 m/s3. Calcule a velocidade média do carro para os seguintes intervalos: (a) t � 0 até t � 2,0 s; (b) t � 0 até t � 4,0 s; (c) t � 2,0 s até t � 4,0 s.Seção 2.2 Velocidade instantânea2.7 CALC Um carro para em um semáforo. A seguir, ele per-corre um trecho retilíneo de modo que sua distância desde o sinal é dada por x(t) � bt2 � ct3, onde b � 2,40 m/s2 e c � 0,120 m/s3. (a) Calcule a velocidade média do carro para o intervalo t � 0 até t � 10,0 s. (b) Calcule a velocidade instantânea do carro para t � 0, t � 5,0 s e t � 10,0 s. (c) Quanto tempo após partir do repouso o carro retorna novamente ao repouso?2.8 CALC Um pássaro está voando para o leste. Sua dis-tância a partir de um prédio alto é dada por x(t) � 28,0 m � (12,4 m/s)t � (0,0450 m/s3)t3. Qual é a velocidade instantânea do pássaro quando t � 8,00 s?2.9 Uma bola se move em linha reta (o eixo Ox). O gráfico na Figura E2.9 mostra a velo-cidade dessa bola em função do tempo. (a) Qual é a velo-cidade escalar média e o vetor velocidade média nos primei-ros 3,0 s? (b) Suponha que a bola se mova de tal modo que o gráfico, após 2,0 s, seja �3,0 m/s em vez de �3,0 m/s. Determine a velocidade esca-lar média e o vetor velocidade média da bola nesse caso.2.10 Uma professora de física sai de sua casa e se dirige a pé pelas calçadas do campus. Depois de 5 min começa a chover e ela volta para casa. Sua distância da casa em função do tempo é indicada pelo gráfico da Figura E2.10. Em qual dos pontos indicados sua velocidade é: (a) zero? (b) constante e positiva? (c) constante e negativa? (d) crescente em módulo? (e) decres-cente em módulo?Figura E2.101 2 3 4 5 6 7 8t (min)O400300200100x (m)IIIIIIIVV2.11 Um carro de testes trafega em movimento retilí-neo pelo eixo Ox. O gráfico na Figura E2.11 mostra a posição x do carro em fun-ção do tempo. Determine sua velocidade instantânea nos pontos de A até G.Seção 2.3 Aceleração instantânea e aceleração média2.12 A Figura E2.12 mostra a velocidade em função do tempo de um carro movido a energia solar. O motorista acelera a partir de um sinal de parada e se desloca durante 20 s com velocidade constante de 60 km/h, e a seguir pisa no freio e para 40 s após sua partida do sinal. (a) Calcule sua aceleração média para os seguin-tes intervalos: (i) t � 0 até t � 10 s; (ii) t � 30 s até t � 40 s; (iii) t � 10 s até t � 30 s; (iv) t � 0 até t � 40 s. (b) Qual é a aceleração instantânea a t � 20 s e a t � 35 s?Figura E2.12O 10 20 30t (s)405 15 25 35vx (km>h)2030406010502.13 O carro mais rápido (e mais caro)! A tabela mostra dados de teste para o Bugatti Veyron Super Sport, o carro mais veloz já fabricado. O carro se move em linha reta (eixo Ox).Tempo (s) 0 2,1 20,0 53Velocidade (m/s) 0 60 200 253(a) Desenhe um gráfico vxt da velocidade desse carro (em km/h) em função do tempo. A aceleração é constante? (b) Calcule a aceleração média (em m/s2) entre (i) 0 e 2,1 s; (ii) 2,1 s e 20,0 s; Figura E2.1140302010A1 2 3 4 5 6 7 8 9 10EF GBCDt (s)x (m)OFigura E2.9vx (m/s)3,02,01,0t (s)1,0 2,0 3,0OCapítulo 2 – Movimento retilíneo 65(iii) 20,0 s e 53 s. Esses resultados são compatíveis com seu gráfico na parte (a)? (Antes de você decidir comprar esse carro, talvez devesse saber que apenas 300 serão fabricados, ele con-some todo o combustível em 12 minutos na velocidade máxima e custa mais de US$ 1,5 milhão!)2.14 CALC Um carro de corrida parte do repouso e viaja para leste por um trecho reto e nivelado. Durante os primeiros 5,0 s do movimento do carro, o componente voltado para o leste do vetor velocidade do carro é dado por vx(t) � (0,860 m/s3)t2. Qual é a aceleração do carro quando vx � 12,0 m/s?2.15 CALC Uma tartaruga se arrasta em linha reta, à qual chamaremos de eixo Ox, com o sentido positivo para a direita. A equação para a posição da tartaruga em função do tempo é x(t) � 50,0 cm � (2,0 cm/s)t � (0,0625 cm/s2)t2. (a) Determine a velocidade, a posição e a aceleração iniciais da tartaruga. (b) Em qual instante t a velocidade da tartaruga é zero? (c) Quanto tempo do ponto inicial a tartaruga leva para retornar ao ponto de partida? (d) Em qual instante t a tartaruga está a uma distância de 10,0 cm do ponto inicial? Qual é a velocidade (módulo, direção e sentido) da tartaruga em cada um desses instantes? (e) Desenhe um gráfico de x versus t, vx versus t e ax versus t, para o intervalo de tempo t � 0 até t � 40 s.2.16 Uma astronauta saiu da Estação Espacial Internacional para testar um novo veículo espacial. Seu companheiro perma-nece a bordo e registra as variações de velocidade dadas a seguir, cada uma ocorrendo em intervalos de 10 s. Determine o módulo, a direção e o sentido da aceleração média em cada intervalo. Suponha que o sentido positivo seja da esquerda para a direita. (a) No início do intervalo, a astronauta se move para a direita ao longo do eixo Ox com velocidade de 15,0 m/s e, no final do intervalo, ela se move para a direita com velocidade de 5,0 m/s. (b) No início do intervalo, a astronauta move-se a 5,0 m/s para a esquerda e, no final, move-se para a esquerda com velocidade de 15,0 m/s. (c) No início do intervalo, ela se move para a direita com velocidade de 15,0 m/s e, no final, move-se para a esquerda com velocidade de 15,0 m/s.2.17 CALC A velocidade de um carro em função do tempo é dada por vx(t) � a � bt2, onde a � 3,00 m/s e b � 0,100 m/s3. (a) Calcule a aceleração média do carro para o intervalo de t� 0 a t � 5,0 s. (b) Calcule a aceleração instantânea parat� 0 e t � 5,0 s. (c) Desenhe gráficos vxt e axt para o movimento do carro entre t � 0 e t � 5,0 s.2.18 CALC Um microprocessador controla a posição do para-choque dianteiro de um carro usado em um teste. A posi-ção é dada por x(t) � 2,17 m � (4,80 m/s2)t2 � (0,100 m/s6)t6. (a) Determine sua posição e aceleração para os instantes em que o carro possui velocidade zero. (b) Desenhe gráficos xt, vxt e axt para o movimento do para-choque entre t � 0 e t � 2,0 s.Seção 2.4 Movimento com aceleração constante2.19 Um antílope que se move com aceleração constante leva 6,0 s para percorrer uma distância de 70,0 m entre dois pon-tos. Ao passar pelo segundo ponto, sua velocidade é de 15,0 m/s. (a) Qual era sua velocidade quando passava pelo primeiro ponto? (b) Qual era sua aceleração?2.20 BIO Desmaio? Um piloto de caça deseja acelerar desde a posição de repouso a uma aceleração constante de 5g para atingir Mach 3 (três vezes a velocidade do som) o mais rápido possível. Os testes experimentais revelam que ele desmaiará se essa aceleração for mantida por mais de 5,0 s. Considere que a velocidade do som é de 331 m/s. (a) O período de aceleração du-rará tempo suficiente para fazer com que ele desmaie? (b) Qual é a maior velocidade que ele poderá atingir com uma aceleração de 5g antes de desmaiar?2.21 Um arremesso rápido. O arremesso mais rápido já me-dido de uma bola de beisebol saiu da mão do arremessador a uma velocidade de 45,0 m/s. Se o arremessador estava em contato com a bola a uma distância de 1,50 m e produziu aceleração constante, (a) qual aceleração ele deu à bola e (b) quanto tempo ele levou para arremessá-la?2.22 Um saque no tênis. No saque mais rápido já medido no tênis, a bola deixou a raquete a 73,14 m/s. O saque de uma bola de tênis normalmente está em contato com a raquete por 30,0 ms e parte do repouso. Suponha que a aceleração seja cons-tante. (a) Qual foi a aceleração da bola nesse saque? (b) Qual foi a distância percorrida pela bola durante o saque?2.23 BIO Airbag de automóvel. O corpo humano pode sobreviver a um trauma por acidente com aceleraçãoda corrente, (ii) a força exercida pelo elo superior sobre o elo do meio e (iii) a força exercida pelo elo do meio sobre o elo inferior. A corda deve ser considerada desprovida de massa.GUIA DA SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR1. Há quatro objetos de interesse neste problema: a corrente como um todo e os três elos individuais. Para cada um des-ses quatro objetos, faça uma lista das forças externas que atuam sobre ele. Além da força da gravidade, sua lista de-verá incluir apenas forças exercidas por outros objetos que tocam no objeto em questão.2. Algumas das forças na sua lista formam pares de ação e reação (um desses pares é a força no elo superior sobre o elo do meio e a força do elo do meio sobre o elo superior). Identifique todos esses tipos de pares.3. Use sua lista para ajudá-lo a desenhar um diagrama do corpo livre para cada um dos quatro objetos. Escolha os eixos de coordenadas.4. Use sua lista para decidir quantas incógnitas existem neste problema. Quais destas são variáveis-alvo?EXECUTAR5. Escreva a equação da segunda lei de Newton para cada um dos quatro objetos, e escreva uma equação da terceira lei para cada par de ação e reação. Você deverá ter pelo menos tantas equações quantas incógnitas que existirem (veja a etapa 4). Será que consegue?6. Resolva as equações para as variáveis-alvo.AVALIAR7. Você pode verificar seus resultados substituindo-os nas equações da etapa 6. Isso é especialmente importante se você acabou com mais equações na etapa 5 do que as que usou na etapa 6.8. Classifique a força da corda sobre a corrente, a força do elo superior sobre o do meio, e a força do elo do meio sobre o elo inferior, em ordem do menor para o maior módulo. Essa classificação faz sentido? Explique.9. Repita o problema para o caso em que a força para cima, exercida pela corda sobre a corrente, é de apenas 7,35 N. A classificação na etapa 8 é a mesma? Isso faz sentido?Problema em destaque Elos em uma corrente O FOCO NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS baseado em pesquisa — IDENTIFICAR, PREPARAR, EXECUTAR, AVALIAR — é utilizado em cada Exemplo. Essa abor-dagem consistente ajuda os alunos a enfrentarem os problemas de modo ponderado, em vez de partir di-reto para o cálculo.ESTRATÉGIAS PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS fornecem aos alunos táticas específicas para a resolução de determinados tipos de problema.PEDAGOGIA INSPIRADA POR DADOS E PESQUISAINFLUENCIADO PELO QUE HÁ DE MAIS NOVO EM PESQUISA ACADÊMICADADOS MOSTRAM Força e movimentoQuando os alunos recebiam um problema sobre forças atuando sobre um objeto e como elas afetam o movimento dele, mais de 20% davam uma resposta incorreta. Erros comuns:Confusão sobre forças de contato. Se os seus dedos empurram um objeto, a força que você exerce atua somente quando seus dedos e o objeto estão em contato. Quando o contato acaba, a força não está mais presente, mesmo que o objeto ainda esteja se movendo.Confusão sobre a terceira lei de Newton. A terceira lei relaciona as forças que dois objetos exercem um sobre o outro. Por si só, essa lei não diz nada sobre duas forças que atuam sobre o mesmo objeto.9.89 DADOS Você está reformando um Chevrolet 1965. Para decidir se irá substituir o volante por um mais novo e mais leve, você deseja determinar o momento de inércia do volante original, com diâmetro de 35,6 cm. Ele não é um disco uni-forme e, portanto, você não pode usar I � 12 MR2 para calcular o momento de inércia. Você remove o volante do carro e usa rolamentos de baixo atrito para montá-lo sobre uma haste hori-zontal, estacionária, que passa pelo centro do volante, que pode então girar livremente (cerca de 2 m acima do chão). Depois de fixar uma ponta de um longo pedaço de linha de pesca à borda do volante, você enrola a linha por algumas voltas em torno da borda e suspende um bloco de metal de 5,60 kg pela ponta solta da linha. Quando o bloco é liberado do repouso, ele desce enquanto o volante gira. Com fotografias de alta veloci-dade, você mede a distância d que o bloco desceu em função do tempo desde que foi liberado. A equação para o gráfico mos-trado na Figura P9.89, que oferece um bom ajuste aos pontos Problemas com contextoBIO Fluxo sanguíneo no coração. O sistema circulatório hu-mano é fechado — ou seja, o sangue bombeado do ventrículo esquerdo do coração para as artérias é restrito a uma série de vasos contínuos, ramificados, à medida que passa pelos capilares e depois para as veias e retorna ao coração. O sangue em cada uma das quatro câmaras do coração repousa rapidamente antes que seja ejetado por contração do músculo do coração.2.90 Se a contração do ventrículo esquerdo dura 250 ms e a ve-locidade do fluxo sanguíneo na aorta (a maior artéria que sai do coração) é de 0,80 m/s ao final da contração, qual é a aceleração média de um glóbulo vermelho ao sair do coração? (a) 310 m/s2; (b) 31 m/s2; (c) 3,2 m/s2; (d) 0,32 m/s2.2.91 Se a aorta (com diâmetro da) se ramifica em duas artérias de mesmo tamanho com uma área combinada igual à da aorta, qual é o diâmetro de uma das ramificações? (a) !da ; (b) da!2 ; (c) 2da; (d) da/2.Coordenadas no instante t de um projétil (direção y positiva para cima e x = y = 0 em t = 0)Velocidadeem t = 0Direçãoem t = 0 TempoTempoAceleração devida à gravidade:note g 7 0.Componentes de velocidade no instante t de um projétil (direção y positiva para cima)x = 1 v0 cos a02 tvx = v0 cos a0vy = v0 sen a0 - gt(3.19)(3.20)(3.21)(3.22)y = 1 v0 sen a02 t - 12 gt2 Velocidadeem t = 0Direçãoem t = 0 NOTAS DADOS MOSTRAM alertam os alunos para os erros estatisticamente mais comuns cometidos na solução de problemas de determinado tópico. Todas as EQUAÇÕES PRINCIPAIS AGORA ESTÃO COMENTADAS para ajudar os alunos a fazer uma ligação entre entendimento conceitual e ma-temático da física. Cada capítulo inclui de três a cinco PROBLEMAS COM CON-TEXTO, que seguem o formato usado nos testes de medicina MCAT. Esses problemas exigem que os alunos investiguem diver-sos aspectos de uma situação física da vida real, normalmente bio-lógica por natureza, conforme descrito em um texto inicial. PROBLEMAS DE DADOS aparecem em cada capí-tulo. Esses problemas de raciocínio baseados em dados, muitos deles ricos em contexto, exigem que os alunos usem evidência experimental, apresen-tada no formato de tabela ou gráfico, para formular conclusões.Para o professorEste livro é o resultado de seis décadas e meia de liderança e inovação no ensino da física. A primeira edição do livro Física, de Francis W. Sears e Mark W. Zemansky, publicada em 1949, foi revolucionária dentre os livros-texto baseados em cálculo por dar ênfase aos princípios da física e suas aplicações. O êxito alcançado por esta obra para o uso de diversas gerações de alunos e professores, em várias partes do mundo, atesta os méritos desse método e das muitas inovações introduzidas posteriormente. Tornou-se famoso pela clareza das apli-cações e pela solução de exemplos e problemas fundamentais para a compreensão da matéria.Ao preparar esta décima quarta edição, incrementamos e desenvolvemos o livro, de modo a incorporar as melhores ideias extraídas de pesquisas acadêmicas, com ensino aprimorado de solução de problemas, pedagogia visual e conceitual pioneira e novas categorias de problemas de final de capítulo, além de melhorar as explicações de novas aplicações da Física oriundas das pesquisas científicas recentes.Novidades desta ediçãoTodas as equações principais agora incluem anotações que descrevem a equação e explicam os significados dos símbolos. Essas anotações ajudam a promover o pro-cessamento detalhado da informação e melhoram a assimilação do conteúdo.Notas de DADOS MOSTRAM em cada capítulo, com base em dados capturados de milhares de alunos, advertem sobre os erros mais comuns cometidos ao resolver problemas.Conteúdo atualizadonegativa (parada súbita) quando o módulo de aceleração é menor do que 250 m/s2. Suponha que você sofra um acidente de automóvel com velocidade inicial de 105 km/h e seja amortecido por um air bag que infla no painel. Qual deve ser a distância em que o airbag para seu movimento para que você consiga sobreviver ao acidente?2.24 BIO Um piloto que acelera a mais de 4g começa a sen-tir tontura, mas não perde completamente a consciência. (a) Considerando aceleração constante, qual é o tempo mais curto que o piloto do jato, começando do repouso, pode permanecer até atingir Mach 4 (quatro vezes a velocidade do som) sem pas-sar mal? (b) Até que distância o avião viajará durante esse pe-ríodo de aceleração? (Considere que a velocidade do som no ar frio é de 331 m/s.)2.25 BIO Lesões pelo airbag. Durante um acidente auto-mobilístico, os airbags do veículo se posicionam e suavizam o impacto dos passageiros mais do que se tivessem atingido o para-brisas ou o volante. De acordo com os padrões de segu-rança, os airbags produzem uma aceleração máxima de 60g, que dura apenas 36 ms (ou menos). Até que distância (em metros) uma pessoa trafega até chegar a uma parada completa em 36 ms a uma aceleração constante de 60g?2.26 BIO Prevenção de fraturas no quadril. Quedas que resultam em fraturas no quadril são uma causa importante de lesões e até mesmo morte entre os mais idosos. Normalmente, a velocidade do quadril no impacto é cerca de 2,0 m/s. Se isso puder ser reduzido para 1,3 m/s ou menos, o quadril normal-mente não sofrerá fratura. Um modo de fazer isso é usando al-mofadas elásticas para quadril. (a) Se uma almofada típica tem 5,0 cm de espessura e se comprime em 2,0 cm durante o impacto de uma queda, que aceleração constante (em m/s2 e em g) o qua-dril sofre para reduzir sua velocidade de 2,0 m/s para 1,3 m/s? (b) A aceleração que você encontrou na parte (a) pode parecer grande, mas, para avaliar seus efeitos sobre o quadril, calcule quanto tempo ela dura.2.27 BIO Somos marcianos? Sugere-se, não jocosamente, que a vida possa ter sido originada em Marte e transportada para a Terra quando um meteoro atingiu Marte e liberou partes de rocha (talvez contendo vida primitiva) da superfície daquele pla-neta. Os astrônomos sabem que muitas rochas marcianas vieram para a Terra dessa maneira. (Por exemplo, procure na internet por “ALH 84001”.) Uma objeção a essa ideia é que os micróbios teriam de passar por uma aceleração letal enorme durante o im-pacto. Vamos investigar qual poderia ser essa aceleração. Para escapar de Marte, os fragmentos de rocha teriam de alcançar sua velocidade de escape de 5,0 km/s, e isso provavelmente aconte-ceria a uma distância de cerca de 4,0 m durante o impacto do me-teoro. (a) Qual seria a aceleração (em m/s2 e g) desse fragmento 66 Física Ide rocha, se a aceleração fosse constante? (b) Quanto tempo essa aceleração duraria? (c) Nos testes, os cientistas descobriram que mais de 40% da bactéria Bacillus subtilis sobreviveria após uma aceleração de 450.000g. Com base na sua resposta para a parte (a), podemos desconsiderar a hipótese de que a vida poderia ter sido lançada de Marte para a Terra?2.28 Entrando na rodovia. Um carro está parado na rampa de acesso de uma rodovia, esperando uma diminuição no tráfego. O motorista se move a uma aceleração constante ao longo da rampa para entrar na rodovia. O carro parte do repouso, move-se ao longo de uma linha reta e atinge uma velocidade de 20 m/s no final da rampa de 120 m de comprimento. (a) Qual é a aceleração do carro? (b) Quanto tempo ele leva para percorrer a rampa? (c) O tráfego na rodovia se move a uma velocidade constante de 20 m/s. Qual é o deslocamento do tráfego enquanto o carro atravessa a rampa?2.29 No lançamento, uma nave espacial pesa 4,5 milhões de libras. Quando lançada a partir do repouso, leva 8,0 s para atingir 161 km/h e, ao final do primeiro minuto, sua velocidade é de 1.610 km/h. (a) Qual é a aceleração média (em m/s2) da nave (i) durante os primeiros 8,0 s e (ii) entre 8,0 s e o final do primeiro minuto? (b) Supondo que a aceleração seja constante, durante cada intervalo (mas não necessariamente a mesma em ambos os intervalos), que distância a nave viajou (i) durante os primeiros 8,0 s e (ii) durante o intervalo entre 8,0 s e 1,0 min?2.30 Um gato anda em uma linha reta, à qual chamaremos de eixo Ox, com o sentido positivo para a direita. Como um físico ob-servador, você mede o movimento desse gato e desenha um gráfico da velocidade do felino em função do tempo (Figura E2.30). (a) Determine a velocidade do gato a t � 4,0 s e a t � 7,0 s. (b) Qual é a aceleração do gato a t � 3,0 s? A t � 6,0 s? A t � 7,0 s? (c) Qual é a distância percorrida pelo gato nos primeiros 4,5 s? De t � 0 até t � 7,5 s? (d) Desenhe gráficos claros da aceleração e da posi-ção do gato em função do tempo, supondo que ele tenha partido da origem.Figura E2.30t (s)O 1 2 3 4 5 6 7vx (cm>s)24682.31 O gráfico da Figura E2.31 mostra a velocidade da motocicleta de um poli-cial em função do tempo. (a) Calcule a aceleração instan-tânea para t � 3 s, t � 7 s e t � 11 s. (b) Qual foi o des-locamento do policial nos 5 s iniciais? E nos 9 s iniciais? E nos 13 s iniciais?2.32 Dois carros, A e B, movem-se ao longo do eixo Ox. O gráfico da Figura E2.32 mostra as posições de A e B em função do tempo. (a) Faça um diagrama de mo-vimento (como o da Figura 2.13b ou o da Figura 2.14b) mostrando a posição, a veloci-dade e a aceleração do carro para t � 0, t � 1 s e t � 3 s. (b) Para que tempo(s), caso exista algum, A e B possuem a mesma posição? (c) Faça um gráfico de velocidade versus tempo para A e B. (d) Para que tempo(s), caso exista algum, A e B possuem a mesma ve-locidade? (e) Para que tempo(s), caso exista algum, o carro B ultrapassa o carro A?2.33 Um pequeno bloco tem aceleração constante enquanto desliza por uma rampa sem atrito. O bloco é lançado a partir do repouso, no topo da rampa, e sua velocidade depois de ter per-corrido 6,80 m até a parte inferior da rampa é 3,80 m/s. Qual é a velocidade do bloco quando ele está a 3,40 m do topo da rampa?2.34 No momento em que um sinal luminoso fica verde, um carro que estava parado começa a mover-se com aceleração constante de 2,80 m/s2. No mesmo instante, um caminhão que se desloca com velocidade constante de 20,0 m/s ultrapassa o carro. (a) Qual a distância percorrida a partir do sinal para que o carro ultrapasse o caminhão? (b) Qual é a velocidade do carro no momento em que ultrapassa o caminhão? (c) Faça um gráfico xt dos movimentos desses dois veículos. Considere x � 0 o ponto de intersecção inicial. (d) Faça um gráfico vxt dos movimentos desses dois veículos.Seção 2.5 Queda livre de corpos2.35 (a) Se uma pulga pode dar um salto e atingir uma al-tura de 0,440 m, qual seria sua velocidade inicial ao sair do solo? (b) Durante quanto tempo ela permanece no ar?2.36 Uma pequena pedra é lançada verticalmente para cima com velocidade de 22,0 m/s a partir do beiral de um prédio com 30,0 m de altura. A pedra não atinge o prédio ao descer, e para na rua em frente a ele. Desconsidere a resistência do ar. (a) Qual é a velocidade da pedra antes que ela alcance a rua? (b) Quanto tempo é decorrido desde que a pedra é lançada até que ela alcance a rua?2.37 Um malabarista lança um pino de boliche diretamente para cima com uma velocidade inicial de 8,20 m/s. Quanto tempo se passa até que o pino retorne às mãos do malabarista?2.38 Você lança uma bola de massa diretamente para cima, em direção ao teto, que está 3,60 m acima do ponto onde a bola sai de sua mão. A velocidade inicial da bola ao deixar sua mão é de 9,50 m/s. (a) Qual é a velocidade da bola imediatamente antes de atingir o teto? (b) Quanto tempo decorrerá desde quando ela sai da sua mão até que ela atinja o teto?2.39 Uma bola de tênis em Marte, onde a aceleração devido à gravidade é de 0,379g e aresistência do ar é desprezível, é atingida diretamente para cima e retorna ao mesmo nível 8,5 s depois. (a) A que altura, acima do ponto de contato original, a bola subirá? (b) Em que velocidade ela estava se movendo logo depois de ser atingida? (c) Desenhe gráficos para a posição vertical da bola, a velocidade vertical e a aceleração vertical em função do tempo enquanto ela está no ar marciano.2.40 Descida na Lua. Um módulo explorador da Lua está pousando na Base Lunar I (Figura E2.40). Ele desce lentamente sob a ação dos retropropulsores do motor de descida. O motor 50vx (m>s)51015202530354045O 2 4 6 8 10 12t (s)14Figura E2.31Figura E2.321 2 3 4t (s)AB2015105x (m)O25Capítulo 2 – Movimento retilíneo 67se separa do módulo quando ele se encontra a 5,0 m da superfície lunar e possui uma velocidade para baixo igual a 0,8 m/s. Ao se separar do motor, o módulo inicia uma queda livre. Qual é a veloci-dade do módulo no instante em que ele toca a superfície? A aceleração da gravidade na Lua é igual a 1,6 m/s2.2.41 Um teste simples para o tempo de reação. Uma régua de medição é man-tida verticalmente acima de sua mão, com a extremidade inferior entre o polegar e o indicador. Ao ver a régua sendo largada, você a segura com esses dois dedos. Seu tempo de reação pode ser cal-culado pela distância percorrida pela régua, medida diretamente pela posição dos seus dedos na escala da régua. (a) Deduza uma relação para seu tempo de reação em função da distância d. (b) Calcule o tempo de reação considerando uma distância medida igual a 17,6 cm.2.42 Um tijolo é largado (velocidade inicial nula) do alto de um edifício. Ele atinge o solo em 1,90 s. A resistência do ar pode ser desprezada, de modo que o tijolo está em queda livre. (a) Qual é a altura do edifício em metros? (b) Qual é o módulo da velocidade quando ele atinge o solo? (c) Faça gráficos ayt, vyt e yt para o movimento do tijolo.2.43 Falha no lançamento. Um foguete de 7.500 kg é lan-çado verticalmente da plataforma com uma aceleração constante no sentido de baixo para cima de 2,25 m/s2 e não sente qualquer resistência significativa do ar. Ao atingir uma altura de 525 m, seus motores falham repentinamente, de modo que a única força atuando sobre ele nesse momento é a gravidade. (a) Qual é a altura máxima que esse foguete atingirá a partir da plataforma de lançamento? (b) A partir da falha no motor, quanto tempo decorrerá antes que o foguete caia sobre a plataforma de lança-mento e qual será sua velocidade instantes antes da queda? (c) Faça gráficos ayt, vyt e yt do movimento do foguete, do instante do lançamento até a queda.2.44 Um balonista de ar quente que se desloca verticalmente para cima com velocidade constante de módulo igual a 5,0 m/s deixa cair um saco de areia no momento em que ele está a uma distância de 40,0 m acima do solo (Figura E2.44). Após ser largado, o saco de areia passa a se mover em queda livre. (a) Calcule a po-sição e a velocidade do saco de areia 0,250 s e 1,0 s depois de ser largado. (b) Calcule o tempo que o saco de areia leva para atingir o solo desde o momento em que foi lançado. (c) Qual é a velocidade do saco de areia quando atinge o solo? (d) Qual é a altura máxima em relação ao solo atingida pelo saco de areia? (e) Faça gráficos ayt, vyt e yt para o movimento do saco de areia.2.45 BIO O Sonic Wind (Vento Sônico) N. 2 é uma espécie de trenó movido por um foguete, usado para investigar os efeitos fisiológicos de acelerações elevadas. Ele se desloca em uma pista retilínea com 1.070 m de comprimento. Partindo do repouso, pode atingir uma velocidade de 224 m/s em 0,900 s. (a) Calcule a aceleração em m/s2, supondo que ela seja constante. (b) Qual a razão entre essa aceleração e a aceleração de um corpo em queda livre (g)? (c) Qual a distância percorrida em 0,900 s? (d) Um artigo publicado por uma revista afirma que, ao final de uma corrida, a velocidade desse trenó diminui de 283 m/s até zero em 1,40 s e que, durante esse intervalo, a aceleração é maior que 40 g. Esses valores são coerentes?2.46 Um ovo é atirado verticalmente de baixo para cima de um ponto próximo do beiral na extremidade superior de um edifício alto. Ele passa rente ao beiral em seu movimento para baixo, atingindo um ponto a 30,0 m abaixo do beiral, 5,0 s após deixar a mão do lançador. Despreze a resistência do ar. (a) Calcule a velocidade inicial do ovo. (b) Qual a altura máxima atingida acima do ponto inicial do lançamento? (c) Qual o mó-dulo da velocidade nessa altura máxima? (d) Qual o módulo e o sentido da aceleração nessa altura máxima? (e) Faça gráficos de ayt, vyt e yt para o movimento do ovo.2.47 Uma rocha de 15 kg cai de uma posição de repouso na Terra e atinge o solo em 1,75 s. Quando cai da mesma altura no satélite de Saturno, Enceladus, ela atinge o solo em 18,6 s. Qual é a aceleração da gravidade em Enceladus?2.48 Uma pedra grande é expelida verticalmente de baixo para cima por um vulcão com velocidade inicial de 40,0 m/s. Despreze a resistência do ar. (a) Qual é o tempo que a pedra leva, após o lan-çamento, para que sua velocidade seja de 20,0 m/s de baixo para cima? (b) Qual o tempo que a pedra leva, após o lançamento, para que sua velocidade seja de 20,0 m/s de cima para baixo? (c) Quando o deslocamento da pedra, a partir de sua posição inicial, é igual a zero? (d) Quando a velocidade da pedra é igual a zero? (e) Qual o módulo e o sentido da aceleração enquanto a pedra (i) está se movendo de baixo para cima? (ii) Está se movendo de cima para baixo? (iii) Está no ponto mais elevado da sua trajetória? (f) Faça gráficos ayt, vyt e yt para o movimento.2.49 Você atira uma pequena pedra diretamente para cima a partir da beira de uma ponte que cruza um rio em uma estrada. A pedra passa por você ao descer, 6,00 s depois de ser atirada. Qual é a velocidade da pedra imediatamente antes de atingir a água, 28,0 m abaixo do ponto onde ela saiu de sua mão? Despreze a resistência do ar.2.50 CALC Um pequeno objeto se move ao longo do eixo Ox com aceleração ax(t) � −(0,0320 m/s3) (15,0 s � t). Em t � 0, o objeto está em x � −14,0 m e possui velocidade v0x � 8,00 m/s. Qual é a coordenada x do objeto quando t � 10,0 s?Seção 2.6 Velocidade e posição por integração2.51 CALC Um foguete parte do repouso e se move para cima a partir da superfície da Terra. Durante os primeiros 10,0 s de seu movimento, a aceleração vertical do foguete é dada por ay � (2,80 m/s3)t, onde o sentido �y é para cima. (a) Qual é a altura do foguete acima da superfície da Terra a t � 10,0 s? (b) Qual é a velocidade do foguete quando ele estiver 325 m acima da superfície da Terra?2.52 CALC A aceleração de um ônibus é dada por ax(t) � at, onde a � 1,2 m/s3. (a) Se a velocidade do ônibus para t � 1,0 s é igual a 5,0 m/s, qual é sua velocidade para t � 2,0 s? (b) Se a posição do ônibus para t � 1,0 s é igual a 6,0 m, qual sua posição para t � 2,0 s? (c) Faça gráficos ayt, vyt e xt para esse movimento.5,0 mFigura E2.40Figura E2.4440,0 m em relação ao solov = 5,00 m>s68 Física I2.53 CALC A aceleração de uma motocicleta é dada por ax(t) � At − Bt2, onde A � 1,50 m/s3 e B � 0,120 m/s4. A moto-cicleta está em repouso na origem no instante t � 0. (a) Calcule sua velocidade e posição em função do tempo. (b) Calcule a velocidade máxima que ela pode atingir.2.54 BIO O salto voador de uma pulga. A Figura E2.54 mostra o gráfico de dados coletados de uma pulga saltitante de 210 μg em um filme de alta velocidade (3.500 quadros/se-gundo). Essa pulga tinha aproximadamente 2 mm de compri-mento e saltou a um ângulo de decolagem quase vertical. Use o gráfico para responder a estas perguntas: (a) a aceleração da pulga pode chegar a zero? Se sim, quando? Justifique sua res-posta. (b) Determine a altura máxima que a pulga atingiu nos primeiros 2,5 ms. (c) Determine a aceleração da pulga a 0,5 ms,1,0 ms e 1,5 ms. (d) Determine a altura da pulga a 0,5 ms, 1,0 ms e 1,5 ms.Tempo (ms)Velocidade (cm>s)O501501000,5 1,0 1,5 2,0 2,5Figura E2.54PROBLEMAS2.55 BIO Um velocista típico pode manter sua aceleração máxima por 2,0 s e sua velocidade máxima é de 10 m/s. Depois que ele atinge essa velocidade máxima, a aceleração torna-se zero, e então ele corre a uma velocidade constante. Suponha que a aceleração seja constante durante os primeiros 2,0 s da corrida, que ele comece a partir do repouso, e que ele corra em uma linha reta. (a) Quanto o velocista correu ao atingir a velocidade máxima? (b) Qual é o módulo de sua velocidade média para uma corrida com estas distâncias: (i) 50,0 m; (ii) 100,0 m; (iii) 200,0 m?2.56 CALC Um módulo lunar está descendo em direção à su-perfície da Lua. Até que o módulo atinja a superfície, sua altura é dada por y(t) � b � ct � dt2, onde b � 800 m é a altura inicial do módulo acima da superfície, c � 60,0 m/s e d � 1,05 m/s2. (a) Qual é a velocidade inicial do módulo, em t � 0? (b) Qual é a velocidade do módulo imediatamente antes de atingir a super-fície lunar?2.57 Análise de terremoto. Terremotos produzem diver-sos tipos de ondas de choque. As mais conhecidas são as ondas P (P de primária ou pressão) e ondas S (S de secundária ou shear — transversa). Na crosta terrestre, as ondas P trafegam a cerca de 6,5 km/s e as ondas S se movem a 3,5 km/s. O atraso no tempo entre a chegada dessas duas ondas em uma estação de registro sísmico diz aos geólogos a que distância ocorreu um ter-remoto. Se o atraso é de 33 s, a que distância da estação sísmica ocorreu o terremoto?2.58 Uma pedra é largada do teto de um prédio alto. Depois de estar caindo por alguns segundos, ela percorre 40,0 m no in-tervalo de 1,00 s. Que distância ela cairá durante o próximo se-gundo? Despreze a resistência do ar.2.59 Um foguete carregando um satélite está acelerando para cima, a partir da superfície da Terra. A 1,15 s após o lançamento, o foguete libera o topo de sua plataforma de lan-çamento, 63 m acima do solo. Depois de mais 4,75 s, ele está 1,00 km acima do solo. Calcule o módulo da velocidade média do foguete para (a) a parte de 4,75 s de seu voo e (b) os primeiros 5,90 s de seu voo.2.60 Um trem parte do repouso em uma estação e acelera a uma taxa de 1,60 m/s2 por 14,0 s. Ele corre em velocidade cons-tante por 70,0 s e reduz a velocidade a uma taxa de 3,50 m/s2 até que para na próxima estação. Determine a distância total percorrida.2.61 Uma gazela está correndo em linha reta (o eixo Ox). O gráfico na Figura P2.61 mostra a velocidade desse animal em função do tempo. Nos primeiros 12,0 s, determine: (a) a distân-cia total percorrida e (b) o deslocamento da gazela. (c) Faça um gráfico axt demonstrando a aceleração desse animal em função do tempo para os primeiros 12,0 s.Figura P2.61t (s)O4,0012,08,002,00 4,00 6,00 8,00 12,010,0vx (m>s)2.62 Colisão. O maquinista de um trem de passageiros que viaja com velocidade vTP � 25,0 m/s avista um trem de carga cuja traseira se encontra a 200,0 m de distância à frente (Figura P2.62). O trem de carga se desloca no mesmo sentido do trem de passageiros com velocidade vTC � 15,0 m/s. O maquinista ime-diatamente aciona o freio, produzindo uma aceleração constante igual a 0,100 m/s2 no sentido contrário à velocidade do trem, enquanto o trem de carga continua com a velocidade constante. Considere x � 0 como o local onde se encontra a frente do trem de passageiros quando o freio é acionado. (a) As vacas na vizi-nhança assistirão a uma colisão? (b) Se houver uma colisão, em que ponto ela ocorrerá? (c) Faça um único gráfico mostrando a posição da frente do trem de passageiros e a traseira do trem de carga.200 mvTP = 25,0 m>sa = -0,100 m>s2vTC = 15,0 m>sFigura P2.622.63 Uma bola deixa a posição de repouso e rola co-lina abaixo com aceleração uniforme, percorrendo 200 m no decorrer do segundo intervalo de 5,0 s de seu movimento. Capítulo 2 – Movimento retilíneo 69Qual a distância percorrida no primeiro intervalo de 5,0 s do movimento?2.64 Dois carros estão a 200 m de distância entre si e os dois se movem em sentidos contrários a uma velocidade cons-tante de 10 m/s. Da capota de um deles, um vigoroso gafanhoto pula entre os carros com uma velocidade horizontal constante de 15 m/s em relação ao solo. O inseto pula no instante em que pousa, ou seja, não se demora sobre qualquer dos carros. Qual a distância total percorrida pelo gafanhoto antes que os carros colidam?2.65 Um automóvel e um caminhão partem do repouso no mesmo instante, estando o automóvel uma certa distância atrás do caminhão. O caminhão possui aceleração constante de 2,10 m/s2 e o automóvel, de 3,40 m/s2. O automóvel ultrapassa o caminhão depois que este se deslocou 60,0 m. (a) Qual o tempo necessá-rio para que o automóvel ultrapasse o caminhão? (b) Qual era a distância inicial do automóvel em relação ao caminhão? (c) Qual a velocidade de cada um desses veículos quando eles estão lado a lado? (d) Em um único diagrama, desenhe a posição de cada veículo em função do tempo. Considere x � 0 como a posição inicial do caminhão.2.66 Você está parado em repouso em um ponto de ônibus. Um ônibus movendo-se a uma velocidade constante de 5,00 m/s para à sua frente. Quando a traseira dele passa 12,00 m por você, você observa que esse é o seu ônibus, e então começa a correr no mesmo sentido dele com aceleração constante de 0,960 m/s2. A que distância você terá de correr antes de alcançar a traseira do ônibus, e com que velocidade você deverá estar correndo? Um universitário comum seria fisicamente capaz de conseguir isso?2.67 Ultrapassagem. O motorista de um carro deseja ultra-passar um caminhão que se desloca com velocidade constante de 20,0 m/s. Inicialmente, o carro também se desloca com ve-locidade de 20,0 m/s e seu para-choque dianteiro está 24,0 m atrás do para-choque traseiro do caminhão. O motorista acelera com taxa constante de 0,600 m/s2, a seguir volta para a pista do caminhão, quando a traseira de seu carro está a 26,0 m à frente do caminhão. O carro possui comprimento de 4,5 m e o compri-mento do caminhão é igual a 21,0 m. (a) Qual o tempo neces-sário para o carro ultrapassar o caminhão? (b) Qual a distância percorrida pelo carro nesse intervalo? (c) Qual é a velocidade final do carro?2.68 CALC A velocidade de um objeto é dada por vx(t) � � � bt2, onde � � 4,0 m/s e b � 2,0 m/s3. No instante t � 0, o objeto está em x � 0. (a) Calcule a posição e a aceleração do ob-jeto em função do tempo. (b) Qual a distância positiva máxima entre o objeto e a origem?2.69 CALC A acelera-ção de uma partícula é dada por ax(t) � �2,00 m/s2 � (3,00 m/s3)t. (a) Calcule a ve-locidade inicial v0x de modo que a partícula tenha a mesma coordenada x para t � 4,00 s e t � 0. (b) Qual será sua velo-cidade para t � 4,0 s?2.70 Queda do ovo. Você está sobre o telhado do prédio da Física, 46 m acima do solo (Figura P2.70). Seu professor de física, que possui 1,80 m de altura, está caminhando próximo ao edifício com uma velocidade constante de 1,20 m/s. Se você deseja jogar um ovo na cabeça dele, em que ponto ele deve estar quando você largar o ovo? Suponha que o ovo esteja em queda livre.2.71 Um vulcão na Terra pode ejetar rochas verticalmente a uma altura máxima H. (a) A que altura (em termos de H) essas rochas chegariam, se um vulcão em Marte as expelisse com a mesma velocidade inicial? A aceleração da gravidade em Marte é de 3,71 m/s2, e a resistência do ar pode ser desprezada em ambos os planetas. (b) Se as rochas ficam suspensas no ar por um inter-valo de tempo T, por quanto tempo (em termos de T) elas perma-necerão no ar em Marte?2.72 Uma malabarista joga bolas ao ar enquanto realiza outras atividades. Em um ato, ela joga uma bola verticalmente para cima e, enquanto a bola está no ar, ela corre até uma mesa a 5,50 mde distância, a uma velocidade escalar constante de 3,00 m/s, e retorna bem a tempo de apanhar a bola em queda. (a) Qual é a velocidade inicial mínima com que ela deve jogar a bola para cima de modo a realizar esse feito? (b) A que altura de sua posição inicial está a bola quando a malabarista chega à mesa?2.73 Atenção abaixo. Sérgio arremessa uma esfera de chumbo de 7 kg de baixo para cima, aplicando-lhe um impulso que a acelera a partir do repouso até 35,0 m/s2 para um desloca-mento vertical de 64,0 cm. Ela sai da sua mão a 2,20 m acima do solo. Despreze a resistência do ar. (a) Qual a velocidade da esfera imediatamente após sair da sua mão? (b) Qual a altura máxima atingida pela esfera? (c) Qual o tempo de que ele dispõe para sair da vertical antes que a esfera volte até a altura da sua cabeça, situada a 1,83 m acima do solo?2.74 Um vaso de flores cai do peitoril de uma janela e passa pela janela de baixo. Despreze a resistência do ar. Ele leva 0,380 s para passar por essa janela, cuja altura é igual a 1,90 m. Qual é a distância entre o topo dessa janela e o peitoril de onde o vaso caiu?2.75 Duas pedras são lançadas verticalmente para cima a partir do solo, uma com o triplo da velocidade inicial da outra. (a) Se a pedra mais rápida leva 10 s para retornar ao solo, quanto tempo a pedra mais lenta levará para retornar? (b) Se a pedra mais lenta alcançar uma altura máxima de H, a que altura (em termos de H) a pedra mais rápida subirá? Considere uma queda livre.2.76 Um foguete de múltiplos estágios. No primeiro es-tágio de um foguete de dois estágios, ele é lançado de uma pla-taforma a partir do repouso, mas com uma aceleração constante de 3,50 m/s2, no sentido de baixo para cima. Em 25,0 s após o lançamento, o foguete aciona o segundo estágio por 10,0 s, que repentinamente aumenta sua velocidade para 132,5 m/s, no sentido de baixo para cima, a 35,0 s do lançamento. Mas essa arrancada consome todo o combustível, e a única força a atuar sobre o foguete passa a ser a gravidade, depois que o segundo estágio for disparado. A resistência ao ar pode ser desprezada. (a) Determine a altura máxima atingida pelo foguete de dois estágios, acima da plataforma. (b) Quanto tempo após o acio-namento do segundo estágio o foguete levará para cair de volta na plataforma? (c) Com que velocidade o foguete estará se mo-vendo assim que atingir a plataforma de lançamento?2.77 Durante seu estágio em uma companhia aeroespa-cial, você deverá projetar um pequeno foguete de pesquisa. O foguete deve ser lançado a partir do repouso, na superfície da Terra, e deve alcançar uma altura máxima de 960 m acima do solo. Os motores do foguete dão a ele uma aceleração para Figura P2.701,80 mv = 1,20 m>s46,0 m70 Física Icima de 16,0 m/s2 durante o tempo T em que eles disparam. Depois que os motores desligam, o foguete está em queda livre. A resistência do ar pode ser ignorada. Qual deverá ser o valor de T para que o foguete alcance a altitude exigida?2.78 Uma professora de física faz uma demonstração ao ar livre e, estando em repouso, repentinamente cai da beira de um penhasco alto e ao mesmo tempo grita “Socorro!”. Após 3,0 s da queda, ela ouve o eco de seu grito, que vem do fundo do vale abaixo dela. A velocidade do som é 340 m/s. (a) Qual é a altura do penhasco? (b) Desprezando-se a resistência do ar, a qual velocidade ela estará se movendo quando atingir o solo? (A velocidade real seria menor, em virtude da resistência do ar.)2.79 Um helicóptero transportando o Dr. Evil decola com uma aceleração constante e ascendente de 5,0 m/s2. O agente se-creto Austin Powers pula a bordo assim que o helicóptero deixa o solo. Após os dois lutarem por 10,0 s, Powers desliga o motor e salta do helicóptero. Suponha que o helicóptero esteja em queda livre após o motor ser desligado e ignore os efeitos da resistência do ar. (a) Qual é a altura máxima sobre o solo que o helicóptero atinge? (b) Powers aciona um dispositivo a jato que carrega às costas 7,0 s após deixar o helicóptero e depois se mantém a uma aceleração constante descendente com módulo 2,0 m/s2. A que distância do solo Powers está quando o helicóptero se espatifa no solo?2.80 Altura do penhasco. Você está escalando um pe-nhasco quando, de repente, se vê envolto pela névoa. Para saber a altura em que está, você joga uma pedra do alto e 8,0 s de-pois ouve o som dela atingindo o solo, ao pé do penhasco. (a) Desprezando-se a resistência do ar, a que altura está o penhasco, considerando que a velocidade do som é 330 m/s? (b) Suponha que você tenha ignorado o tempo que leva para o som chegar até você. Nesse caso, você teria superestimado ou subestimado a altura do penhasco? Explique seu raciocínio.2.81 CALC Um objeto está se movendo ao longo do eixo Ox. No instante t � 0, ele tem velocidade v0x � 20,0 m/s. A partir do instante t � 0, ele tem aceleração ax � �Ct, onde C tem unidades de m/s3. (a) Qual é o valor de C se o objeto para em 8,00 s após t � 0? (b) Para o valor de C calculado na parte (a), a que distância o objeto trafega durante os 8,00 s?2.82 Uma bola é lançada do solo diretamente de baixo para cima com velocidade v0. No mesmo instante, outra bola é largada do repouso a uma altura H, diretamente acima do ponto onde a primeira bola foi lançada para cima. Despreze a resistência do ar. (a) Calcule o instante em que as duas bolas colidem. (b) Ache o valor de H em termos de v0 e g, de modo que, no momento da colisão, a primeira bola atinja sua altura máxima.2.83 CALC Dois carros, A e B, se deslocam ao longo de uma linha reta. A distância de A ao ponto inicial é dada em função do tempo por xA(t) � at � bt2, com � � 2,60 m/s e b � 1,20 m/s2. A distância de B ao ponto inicial é dada em função do tempo por xB(t) � gt2 � dt3, com � 2,80 m/s2 e d � 0,20 m/s3. (a) Qual carro está na frente logo que eles saem do ponto inicial? (b) Em que instante(s) os carros estão no mesmo ponto? (c) Em que instante(s) a distância entre os carros A e B não aumenta nem diminui? (d) Em que instante(s) os carros A e B possuem a mesma aceleração?2.84 DADOS Em seu laboratório de física, você solta um pequeno planador a partir do repouso em diversos pontos em uma rota aérea longa, sem atrito, que está inclinada em um ângulo u acima da horizontal. Com uma fotocélula eletrônica, você mede o tempo t necessário para o planador deslizar por uma distância x a partir do ponto de lançamento até o final da rota. Suas medições são dadas na Figura P2.84, que mos-tra um polinômio de segundo grau (quadrático) ajustado aos dados plotados. Você deverá encontrar a aceleração do pla-nador, que é considerada constante. Há algum erro em cada medição, de modo que, em vez de usar um único conjunto de valores x e t, você pode ser mais preciso se usar métodos gráficos para obter seu valor medido da aceleração a partir do gráfico. (a) Como você pode refazer o gráfico dos dados de modo que os pontos de dados fiquem mais próximos de uma linha reta? (Dica: você poderia desenhar x, t ou ambos, elevado a alguma potência.) (b) Construa o gráfico descrito na parte (a) e ache a equação para a linha reta que melhor se encaixe aos pontos de dados. (c) Use a linha reta da parte (b) para calcular a aceleração do planador. (d) O planador é lançado a uma distância x � 1,35 do final da rota. Use o valor da aceleração obtido na parte (c) para calcular a velocidade do planador quando ele alcança o final da rota.0,20,10,30,40,50,60,70,80,90 1,00 1,500,50 2,00 2,50 3,00t (s)x (m)Figura P2.842.85 DADOS Em um experimento no laboratório de fí-sica, você lança uma pequena bola de aço em diversas alturas acima do solo e mede a velocidade da bola imediatamente antes de atingir o solo. Você desenha seus dados em um gráfico que tem a altura de lançamento (em metros) no eixo vertical e o quadrado da velocidade final (em m2/s2) no eixo horizontal. Nesse gráfico, seus pontos de dadosestão próximos de uma formação em linha reta. (a) Usando g � 9,80 m/s2 e ignorando o efeito da resistência do ar, qual é o valor numérico da inclinação dessa linha reta? (Inclua as unidades corretas.) A presença da resistência do ar reduz o módulo da aceleração para baixo, e o efeito dessa resistência aumenta à medida que a velocidade do objeto aumenta. Você repete o experimento, mas dessa vez lançando uma bola de tênis. A resistência do ar agora tem um efeito observável sobre os dados. (b) A ve-locidade final para uma altura qualquer é maior, menor ou igual àquela de quando você ignorou a resistência do ar? (c) O gráfico da altura versus o quadrado da velocidade final ainda é uma linha reta? Desenhe a forma qualitativa do gráfico quando a resistência do ar está presente.2.86 DADOS Um carrinho de controle remoto parte do repouso e segue em movimento retilíneo. Um smartphone mon-tado no carrinho tem um aplicativo que transmite o módulo da aceleração do carro (medido por um acelerômetro) a cada se-gundo. Os resultados são dados nesta tabela:Capítulo 2 – Movimento retilíneo 71Tempo (s) Aceleração (m/s2)0 5,951,00 5,522,00 5,083,00 4,554,00 3,965,00 3,40Cada valor medido tem algum erro experimental. (a) Desenhe um gráfico de aceleração versus tempo e determine a equação para a linha reta que oferece o melhor ajuste dos dados. (b) Use a equação para a(t) que você encontrou na parte (a) para calcu-lar v(t), a velocidade do carro em função do tempo. Desenhe o gráfico de v × t. Esse gráfico é uma linha reta? (c) Use seu resultado da parte (b) para calcular a velocidade do carro em t � 5,00 s. (d) Calcule a distância que o carro trafega entre t � 0 e t � 5,00 s.PROBLEMAS DESAFIADORES2.87 Estando inicialmente agachado, um atleta dá um salto vertical para atingir a máxima altura possível. Os melhores atletas permanecem cerca de 1,0 s no ar (o “tempo de suspensão” no ar). Considere o atleta como uma partícula e denomine ymáx sua altura máxima acima do solo. Para explicar por que ele parece estar sus-penso no ar, calcule a razão entre o tempo em que ele fica acima de ymáx/2 e o tempo que ele leva para subir do chão até essa altura. Você pode ignorar a resistência do ar.2.88 Pegando o ônibus. Uma estudante está se deslocando com sua velocidade máxima de 5,0 m/s para pegar um ônibus parado no ponto. Quando ela está a uma distância de 40,0 m do ônibus, ele começa a se mover com aceleração constante igual a 0,170 m/s2. (a) Durante quanto tempo e por qual distância a estudante deve correr a 5,0 m/s para que alcance o ônibus? (b) Quando a estudante alcança o ônibus, qual é a velocidade dele? (c) Faça um gráfico de xt para a estudante e para o ônibus. Considere x � 0 como a posição inicial da estudante. (d) As equações usadas para calcular o tempo na parte (a) possuem uma segunda solução, que corresponde a um tempo posterior para o qual a estudante e o ônibus estão na mesma posição, caso conti-nuem com seus movimentos especificados. Explique o signifi-cado dessa segunda solução. Qual é a velocidade do ônibus neste ponto? (e) Caso sua velocidade máxima fosse igual a 3,5 m/s, ela poderia alcançar o ônibus? (f) Qual seria a velocidade mí-nima para que ela pudesse alcançar o ônibus? Neste caso, quanto tempo e qual seria a distância percorrida para que a estudante pudesse alcançar o ônibus?2.89 Uma bola é atirada de baixo para cima do canto su-perior do telhado de um edifício. Uma segunda bola é largada do mesmo ponto 1,00 s mais tarde. Despreze a resistência do ar. (a) Sabendo que a altura do edifício é igual a 20,0 m, qual deve ser a velocidade inicial da primeira bola para que ambas atinjam o solo no mesmo instante? Em um mesmo gráfico, desenhe a posição de cada bola em função do tempo medido a partir do lançamento da primeira bola. Considere a mesma situação, mas agora suponha que a velocidade inicial v0 da primeira bola seja conhecida e que a altura h do edifício seja uma incógnita. (b) Qual deve ser a altura do edifício para que ambas atinjam o solo no mesmo instante para os seguintes valores de v0: (i) 6,0 m/s; (ii) 9,5 m/s? (c) Quando v0 for superior a certo valor máximo vmáx, não existirá nenhum valor de h que satisfaça a condição de as bolas atingirem o solo no mesmo instante. Resolva explici-tando vmáx. O valor vmáx possui uma interpretação física simples. Qual seria? (d) Quando v0 for inferior a certo valor mínimo vmín, não existirá um valor de h que satisfaça a condição de as bolas atingirem o solo no mesmo instante. Resolva explicitando vmín. O valor vmín também possui uma interpretação física simples. Qual seria?Problemas com contextoBIO Fluxo sanguíneo no coração. O sistema circulatório hu-mano é fechado — ou seja, o sangue bombeado do ventrículo esquerdo do coração para as artérias é restrito a uma série de vasos contínuos, ramificados, à medida que passa pelos capilares e depois para as veias e retorna ao coração. O sangue em cada uma das quatro câmaras do coração repousa rapidamente antes que seja ejetado por contração do músculo do coração.2.90 Se a contração do ventrículo esquerdo dura 250 ms e a ve-locidade do fluxo sanguíneo na aorta (a maior artéria que sai do coração) é de 0,80 m/s ao final da contração, qual é a aceleração média de um glóbulo vermelho ao sair do coração? (a) 310 m/s2; (b) 31 m/s2; (c) 3,2 m/s2; (d) 0,32 m/s2.2.91 Se a aorta (com diâmetro da) se ramifica em duas artérias de mesmo tamanho com uma área combinada igual à da aorta, qual é o diâmetro de uma das ramificações? (a) !da ; (b) da!2 ; (c) 2da; (d) da/2.2.92 O vetor velocidade do sangue na aorta pode ser medido diretamente com técnicas de ultrassom. Um gráfico típico do vetor velocidade do sangue versus tempo durante um único ba-timento cardíaco aparece na Figura P2.92. Qual afirmação é a melhor interpretação desse gráfico? (a) O fluxo sanguíneo muda de sentido em cerca de 0,25 s; (b) a velocidade do fluxo sanguí-neo começa a diminuir em cerca de 0,10 s; (c) a aceleração do sangue é maior em módulo em cerca de 0,25 s; (d) a aceleração do sangue é maior em módulo em cerca de 0,10 s.Velocidade do sangue (m>s)Tempo (s)01,00,80,60,40,20,25 0,50 0,75 1,00Figura P2.92RESPOSTASResposta à pergunta inicial do capítulo(iii) A aceleração se refere a qualquer variação na velocidade, incluindo tanto seu aumento quanto sua redução.Respostas às perguntas dos testes de compreensão2.1 Respostas para (a): (iv), (i) e (iii) (empate), (v), (ii); resposta para (b): (i) e (iii); resposta para (c): (v) Em (a), a velocidade 72 Física Imédia é vmx � �x/�t. Para todas as cinco viagens, �t � 1h. Para cada uma das viagens, temos (i) �x � �50 km, vmx � �50 km/h; (ii) �x � �50 km, vmx � �50 km/h; (iii) �x � 60 km � 10 km � �50 km, vmx � �50 km/h; (iv) �x � �70 km, vmx � �70 km/h; (v) �x � �20 km � 20 km � 0, vmx � 0. Em (b), ambos possuem vmx � �50 km/h.2.2 Respostas: (a) P, Q e S (empatadas), R; a velocidade é (b) positiva, quando a inclinação do gráfico xt é positiva (P); (c) negativa, quando a inclinação é negativa (R); e (d) zero, quando a inclinação é zero (Q e S); (e) R, P, Q e S (empatadas). A ve-locidade é maior quando a inclinação do gráfico xt é a máxima (seja positiva ou negativa) e zero, quando a inclinação é zero.2.3 Respostas: (a) S, onde o gráfico xt tem concavidade voltada para cima; (b) Q, onde o gráfico xt tem concavidade voltada para baixo; (c) P e R, onde o gráfico xt não tem concavidade nem para cima nem para baixo; (d) em P, ax � 0 (velocidade não varia); em Q, ax � 0 (velocidade está diminuindo, ou seja, variando de positiva para zero para negativa); em R, ax � 0 (velocidade não varia); em S, ax > 0 (velocidade está aumentando, ou seja, variando de negativa para zero para positiva).2.4 Resposta: (b) A aceleração da policial é constante, logo, seu gráfico vxt é uma linha reta, e a motocicleta da policial está se movendo maisrapidamente que o carro do motorista quando os dois veículos se encontram, em t � 10 s.2.5 Respostas: (a) (iii) Use a Equação 2.13 substituindo x por y e ay � �g; vy2 � v0y2 � 2g(y � y0). A altura inicial é y0 � 0 e a velocidade na altura máxima y � h é vy � 0, portanto, 0 � v0y2 � 2gh e h � v0y2/2g. Se a velocidade inicial é aumentada por um fator de 2, a altura máxima aumenta por um fator de 22 � 4 e a bola vai à altura de 4h. (b) (v) Use a Equação 2.8 substituindo x por y e ay � �g; vy � v0y � gt. A velocidade na altura máxima é vy � 0, de modo que 0 � v0y � gt e t � v0y/g. Se a velocidade inicial é aumentada por um fator de 2, o tempo para se atingir a altura máxima aumenta por um fator de 2 e torna-se 2t.2.6 Resposta: (ii) A aceleração ax é igual à inclinação do grá-fico vxt. Quando ax está aumentando, a inclinação do gráfico vxt também aumenta e o gráfico tem concavidade para cima.Problema em destaqueh � 57,1 m3?Quando um ciclista faz uma curva com um vetor velo-cidade que possui um módulo constante ele está acelerando? Neste caso, qual é a direção e o sentido da sua aceleração? (i) Não; (ii) sim, na direção de seu movimento; (iii) sim, para dentro da curva; (iv) sim, para fora da curva; (v) sim, mas em alguma outra direção.MOVIMENTO EM DUAS OU TRÊS DIMENSÕESOBJETIVOS DE APRENDIZAGEMAo estudar este capítulo, você aprenderá:3.1 Como usar vetores para representar a posição e a velocidade de um corpo em duas ou três dimensões.3.2 Como achar o vetor aceleração de um corpo e por que um corpo tem essa ace-leração, mesmo que sua velocidade es-calar seja constante, e como interpretar os componentes da aceleração paralela e perpendicular da trajetória de um corpo.3.3 Como resolver problemas que envolvem a trajetória em curva percorrida por um projétil.3.4 Como analisar o movimento em uma tra-jetória circular, seja com velocidade cons-tante ou com variação na velocidade.3.5 Como relacionar as velocidades de um corpo em movimento, visto a partir de dois diferentes pontos de referência.Revendo conceitos de:2.1 Velocidade média.2.2 Velocidade instantânea.2.3 Aceleração média e instantânea.2.4 Movimento retilíneo com aceleração constante.2.5 Movimento de corpos em queda livre.Oque determina onde uma bola de beisebol vai parar? Como você descreve o movimento do carro de uma montanha-russa ao longo de um trilho em curva ou o voo de uma águia circulando por um campo aberto? O que atinge o solo primeiro: uma bola lançada horizontalmente ou uma bola simples-mente largada a partir do mesmo ponto?Não podemos responder a essas questões usando as técnicas do Capítulo 2, no qual consideramos partículas se movendo somente ao longo de uma linha reta. Em vez disso, é necessário estender a descrição do movimento para duas e três dimensões. Continuaremos a usar as grandezas vetoriais de deslocamento, veloci-dade e aceleração, mas não vamos mais considerar movimentos ao longo de uma linha reta. Verificaremos que muitos movimentos importantes ocorrem somente em duas dimensões, ou seja, estão contidos em um plano.Também será necessário considerar como o movimento de uma partícula é descrito por observadores que possuem movimentos relativos entre si. O conceito de velocidade relativa desempenhará um papel importante neste livro, quando estudarmos as colisões, explorarmos os fenômenos eletromagnéticos e introduzir-mos a fascinante teoria da relatividade de Einstein.Este capítulo une a matemática vetorial que aprendemos no Capítulo 1 com a linguagem cinemática do Capítulo 2. Como antes, estamos interessados em des-crever o movimento, e não em analisar suas causas. Porém, a linguagem que você aprenderá aqui será uma ferramenta essencial para capítulos posteriores, quando estudarmos a relação entre força e movimento.3.1 VETOR POSIÇÃO E VETOR VELOCIDADEVejamos como descrever o movimento de uma partícula no espaço. Considere uma partícula que esteja em um ponto P em dado instante. O vetor posição da 74 Física Ipartícula nesse instante é um vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto P (Figura 3.1). As coordenadas cartesianas x, y e z do ponto P são os componentes x, y e z do vetor . Usando os vetores unitários introduzidos na Seção 1.9, podemos escreverVetores unitários nas direções dos eixos Ox, Oy e OzCoordenadas da posição da partículaS ^r xd ye z^^ k (3.1)Vetor posição de uma partícula em dado instante...= + +Durante um intervalo de tempo �t, a partícula se move de um ponto P1, onde o vetor posição é 1, até um ponto P2, onde o vetor posição é 2. A variação da posição (o deslocamento) durante esse intervalo é � � 2 � 1 � (x2 � x1) � (y2 � y1) � (z2 � z1) . Definimos a velocidade média m do mesmo modo que fizemos no Capítulo 2 para um movimento retilíneo, como o deslocamento divi-dido pelo intervalo (Figura 3.2):Mudança no vetor posição da partículaTempo final menos o tempo inicialIntervalo de tempoPosição final menos a posição inicial (3.2)Vetor velocidade médiade uma partícula durante um intervalo de tempo de t1 a t2SSvm �t�rt2 --=== t1r2 r1S SNote que dividir um vetor por um escalar é um caso especial de multiplicar o vetor por um escalar, descrito na Seção 1.7; a velocidade média m é igual ao vetor deslocamento � multiplicado por 1/�t. Note também que o componente x da Equação 3.2 é vmx � (x2 – x1)/(t2 – t1) = �x/�t. É exatamente a Equação 2.2, a expressão para a velocidade média que encontramos na Seção 2.1 para o movi-mento unidimensional.Agora, definimos a velocidade instantânea tal como no Capítulo 2: é a taxa instantânea de variação do vetor posição com o tempo. A diferença fundamental é que agora a posição e a velocidade instantânea são vetores:...é igual ao limite de seu vetor velocidade média quando o intervalo de tempo se aproxima de zero......e se iguala à taxa instantânea de mudança do seu vetor posição.(3.3)O vetor velocidade instantânea de uma partícula...S Sv �t�rSdtdrlim�t S 0= =O módulo do vetor em qualquer instante é a velocidade v da partícula no re-ferido instante. A direção de é a direção em que ela se move no referido instante.Note que, quando �t 0, os pontos P1 e P2 na Figura 3.2 ficam cada vez mais próximos. Nesse limite, o vetor � torna-se tangente à curva. A direção do vetor � nesse limite também é igual à direção da velocidade instantânea. Dessa forma, o vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória em cada um dos seus pontos (Figura 3.3).Normalmente é mais fácil calcular o vetor velocidade instantânea usando com-ponentes. Durante qualquer deslocamento de � , as variações �x, �y e �z das três coordenadas da partícula são os componentes de � . Daí se conclui que os componentes vx, vy e vz da velocidade instantânea � vx � vy � vz são simplesmente as derivadas das coordenadas x, y e z em relação ao tempo. Ou seja:(3.4)...é igual às variações de suas coordenadas correspondentes.Cada componente de um vetor velocidade instantânea de uma partícula...vx = dtdxvy = dtdyvz = dtdzFigura 3.1 O vetor posição da origem O até o ponto P possui componentes x, y e z.rS^^k̂A posição P de uma partícula em dado instante possui coordenadas x, y, z.zyxxzPOyz xdyeO vetor posição do ponto P possui componentes x, y, z:r = x d + ye + zk.^ ^ ^SFigura 3.2 A velocidade média m entre os pontos P1 e P2 possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento � .SSSSS=Posição da partícula no instante t1Posição da partícula no instante t2zyxOTrajetória da partícula.P1P2r2 � rVetor deslocamento � r aponta de P1 para P2.Svm� r�tr1Figura 3.3 Os vetores 1 e 2 são as velocidades instantâneas nos pontos P1 e P2 mostrados na Figura 3.2.SSzyxOTrajetória da partículaP1P2v2O vetor velocidade instantânea v é tangente à trajetória em cada ponto.Sv1Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 75O componente x de é vx = dx/dt, que é o mesmo da Equação 2.3 para o movi-mento retilíneo que obtivemos na Seção 2.2. Logo, a Equação 3.4 é uma extensão direta do conceito de velocidade instantânea para o movimento em três dimensões.Também podemos obter esse resultado da Equação 3.4 derivando a Equação 3.1. Os vetores unitários , e não dependem do tempo; logo, suas derivadas são nulas, e encontramos vS drSdtdxdt d̂dydt êdzdt k̂ = = + + (3.5)Isso mostra novamente que os componentes de são dx/dt, dy/dt e dz/dt.O módulo do vetor velocidade instantânea — isto é, a velocidade escalar — é dado em termos dos componentes vx, vy e vz pelo teorema de Pitágoras: 0 vS 0 = v = "vx 2 + vy 2 + vz 2 (3.6)A Figura 3.4 mostra a situação quando uma partícula se move no plano xy. Nesse caso, z e vz são nulos. Então, a velocidade escalar (o módulo do vetor ) é:v = "vx 2 + vy 2 e a direção da velocidade instantânea é dada pelo ângulo a (a letra grega alfa) indicado nessa figura. Vemos que tan a =vyvx (3.7)(Usamos a para indicar a direção do vetor velocidade instantânea para não confundir com a direção u do vetor posição da partícula.)A partir de agora, sempre que mencionarmos a palavra “velocidade”, queremos nos referir ao vetor velocidade instantânea (em vez do vetor velocidade média). Normalmente, não se costuma dizer que é um vetor; cabe a você lembrar-se de que velocidade é uma grandeza vetorial que possui módulo, direção e sentido.Figura 3.4 Os dois componentes da velocidade para movimento no plano xy.a vSO vetor velocidade instantânea vé sempre tangente à trajetória.Svx e vy são os componentes x e y de v.SOCaminho da partícula no plano xyvyvxyxUm veículo robótico está explorando a superfície de Marte. O módulo de aterrissagem é a origem do sistema de coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O veículo, que será re-presentado por um ponto, possui componentes x e y que variam com o tempo de acordo com a seguinte relação: x = 2,0 m - 10,25 m > s2 2 t2 y = 11,0 m > s2 t + 10,025 m > s3 2 t3(a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de aterrissagem no instante t � 2,0 s. (b) Calcule o vetor deslo-camento e o vetor velocidade média no intervalo entre t � 0,0 s e t � 2,0 s. (c) Deduza uma expressão geral para o vetor veloci-dade instantânea do vetor . Expresse a velocidade instantânea em t � 2,0 s, usando componentes e também em termos de módulo e direção.SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: este problema se refere ao movi-mento em duas dimensões. Logo, devemos usar as expressões dos vetores obtidos nesta seção. A Figura 3.5 mostra a trajetória do veículo robótico (linha tracejada). Usaremos a Equação 3.1 para a posição , a expressão � � 2 � 1 para o deslocamento, a Equação 3.2 para a velocidade média e as equações 3.5, 3.6 e 3.7 para a velocidade instantânea e seu módulo e direção.Figura 3.5 No instante t � 0,0 s, o veículo possui o vetor posição 0 e o vetor velocidade instantânea 0. Do mesmo modo, 1 e 1 são os vetores no instante t � 1,0 s; 2 e 2 são os vetores no instante t � 2,0 s.Sy (m)x (m)O0,51,01,52,00,5 1,0 1,5Trajetória do veículot = 0,0 s2,02,5a = 128t = 1,0 st = 2,0 sv2v1v0r0r1r2SSSSSEXEMPLO 3.1 CÁLCULO DA VELOCIDADE INSTANTÂNEA MÉDIA(Continua)76 Física IEXECUTAR: (a) No instante t � 2,0 s, as coordenadas do veí-culo são: x = 2,0 m - 10,25 m > s22 12,0 s 22 = 1,0 m y = 11,0 m > s2 12,0 s2 + 10,025 m > s3 2 12,0 s23 = 2,2 mA distância entre o veículo e a origem nesse instante é:r = "x2 + y2 = "(1,0 m)2 + 12,2 m 22 = 2,4 m(b) Para achar o deslocamento e a velocidade média no inter-valo de tempo informado, primeiro escrevemos o vetor posição em função do tempo t. Pela Equação 3.1, temos rS x d̂ yê 32,0 m -==10,25 m > s22 t24 d̂ 311,0 m>s2 t +++ 10,025 m>s32 t34 êEm t � 0,0 s, o vetor posição 0 érS0 12,0 m2 d̂ 10,0 m2 ê= +A partir da parte (a), o vetor posição 2 em t � 2,0 s érS2 11,0 m2 d̂ 12,2 m2 ê= +O deslocamento de t � 0,0 s até t � 2,0 s, portanto, pode ser calculado da seguinte forma:�rSrS2 rS0 11,0 m2 d̂ 12,2 m2 ê 12,0 m2 d̂ 1-- -1,0 m2 d̂ 12,2 m2 ê= ==++Durante esse intervalo, o veículo se move 1,0 m no sentido negativo do eixo x e 2,2 m no sentido positivo do eixo y. Pela Equação 3.2, calculamos a velocidade média no intervalo como o deslocamento dividido pelo tempo decorrido:vSm�rS�t1-1,0 m2 d̂ 12,2 m2 ê2,0 s - 0,0 s1- 0,50 m>s2 d̂ 11,1 m>s2 ê= =++=Os componentes dessa velocidade média são vmx � �0,50 m/s e vmy � 1,1 m/s.(c) De acordo com a Equação 3.4, os componentes da veloci-dade instantânea são as derivadas das coordenadas em relação ao tempo: vx =dxdt= 1-0,25 m > s22 12t2 vy =dydt= 1,0 m > s + 10,025 m > s32 13t22Podemos então escrever o vetor velocidade instantânea como==++ vS vx d̂ vy ê1-0,50 m > s22 t d̂ 31,0 m>s + 10,075 m > s32 t24 êPara t � 2,0 s, os componentes da velocidade instantânea 2 são v2x � (� 0,50 m/s2) (2,0 s) � �1,0 m/s v2y � 1,0 m/s � (0,075 m/s3) (2,0 s)2 � 1,3 m/sO módulo da velocidade instantânea (isto é, a velocidade esca-lar) no tempo t = 2,0 s é v2 = "v 22x + v 22y = "1-1,0 m> s2 2 + 11,3 m > s2 2 = 1,6 m > sA Figura 3.5 mostra a direção do vetor velocidade 2, que está em um ângulo a entre 90º e 180º em relação ao eixo x positivo. A partir da Equação 3.7, temosarctan vyvx= arctan 1,3 m > s-1,0 m > s= -52Esse está fora por 180º; o valor correto de a � 180º � 52º � 128º, ou 38º direção norte para oeste.AVALIAR: compare os componentes da velocidade média da parte (b) para o intervalo de t = 0,0 s a t = 2,0 s (vmx � �0,50 m/s e vmy � 1,1 m/s) com os componentes da velocidade instantânea em t = 2,0 s obtidos na parte (c) (v2x � �1,0 m/s e v2y � 1,3 m/s). Assim como ocorre em uma dimensão, o vetor velocidade média m sobre o intervalo em geral não é igual à velocidade instantânea no final do intervalo (veja o Exemplo 2.1).A Figura 3.5 mostra os vetores de posição e os vetores de ve-locidade instantânea em t = 0,0 s, 1,0 s e 2,0 s. (Calcule essas grandezas para t = 0,0 s e t � 1,0 s.) Observe que é tangente à trajetória em qualquer ponto. O módulo de aumenta na me-dida em que o carrinho se move, o que significa que sua veloci-dade está aumentando.(Continuação)TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 3.1 Em quais destas situações o vetor veloci-dade média m em um intervalo é igual à velocidade instantânea no final do intervalo? (i) Um corpo movendo-se ao longo de uma curva com velocidade constante; (ii) um corpo movendo-se ao longo de uma curva com velocidade aumentando; (iii) um corpo movendo--se ao longo de uma linha reta com velocidade constante; (iv) um corpo movendo-se ao longo de uma linha reta com velocidade aumentando. Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 773.2 VETOR ACELERAÇÃOVamos agora considerar o vetor aceleração de uma partícula que se move no espaço. Analogamente ao caso do movimento retilíneo, a aceleração indica como a velocidade de uma partícula está variando. Porém, como estamos tratando a velocidade como um vetor, a aceleração descreverá variações no módulo da velo-cidade (isto é, a velocidade escalar) e variações da direção da velocidade (isto é, a direção e o sentido do movimento no espaço).Na Figura 3.6a, um carro (tratado como uma partícula) está se movendo ao longo de uma trajetória curva. Os vetores 1 e 2 representam, respectivamente, o vetor velocidade instantânea do carro no instante t1, quando ele está no ponto P1, e o vetor velocidade instantânea do carro no instante t2, quando ele está no ponto P2. No intervalo de tempo entre t1 e t2, a variaçãovetorial da velocidade é 2 � 1 � � , então 2 � 1 � � (Figura 3.6b). Definimos o vetor aceleração média m do carro nesse intervalo como a variação vetorial da velocidade dividida pelo intervalo t2 � t1 � �t:Variação na velocidade da partículaTempo final menos o inicialIntervalo de tempoVelocidade final menos a inicialVetor aceleração média de uma partícula durante o intervalo de t1 a t2SSam �t�vt2 -- t1v2 v1S S(3.8)==A aceleração média é uma grandeza vetorial que possui a mesma direção e sentido do vetor � (Figura 3.6c). Observe que 2 é a soma vetorial de 1 com a variação � (Figura 3.6b). O componente x da Equação 3.8 é amx � (v2x � v1x)/(t2 � t1) �vx/�t, que é exatamente a Equação 2.4 para a aceleração média no mo-vimento retilíneo.Como no Capítulo 2, definimos a aceleração instantânea no ponto P1 como o limite da aceleração média quando o ponto P2 se aproxima do ponto P1, assim, � e �t tendem a zero simultaneamente (Figura 3.7):...é igual ao limite de seu vetor aceleração média quando o intervalo se aproxima de zero......e é igual à taxa de variação de seu vetor velocidade instantânea.(3.9)O vetor aceleração instantânea de uma partícula...SS Sa �t�vdtdvlim�t S 0= =O vetor velocidade é tangente à trajetória da partícula. Porém, o vetor acele-ração instantânea não tem de ser sempre tangente à trajetória. Se a trajetória for curva, aponta para o lado côncavo da trajetória — ou seja, para o lado interno SS Este carro acelera enquanto reduz ao fazer uma curva. (Sua velocidade instantânea varia tanto em módulo quanto em direção.)(a)P2P1v2v1v2(b)P2P1v1v1v2P2P1v1Δvv2(c)am ΔvΔtSSSA aceleração média possui a mesma direção que a variação na velocidade, �vSSSSSSSSPara determinar a aceleração média do carro entre P1 e P2, primeiro temos de achar a variação na velocidade �v subtraindo v1 de v2. (Note quev1 + Δv = v2.)SSS S SS=Δv = v2 − v1S SvFigura 3.6 (a) Um carro se move ao longo de uma curva de P1 até P2. (b) Obtemos a variação de velocidade � = 2 � 1 por subtração de vetores. (c) O vetor m =� /�t representa a aceleração média entre P1 e P2.78 Física Ide qualquer volta que a partícula esteja fazendo (Figura 3.7a). A aceleração é tan-gente à trajetória somente se a partícula se move em uma linha reta (Figura 3.7b).ATENÇÃO Qualquer partícula que segue uma trajetória curva está acelerando Quando uma partícula se move ao longo de uma trajetória curva, sua aceleração é sempre diferente de zero, mesmo quando o módulo da velocidade for constante. Essa conclusão pode parecer contrária ao uso cotidiano da palavra “aceleração” no sentido de aumento de velocidade. A definição mais precisa da Equação 3.9 mostra que existe aceleração diferente de zero sempre que houver qualquer variação do vetor velocidade, incluindo apenas variação da direção desse vetor, sem variação do módulo da velocidade.Para se convencer de que uma partícula possui aceleração diferente de zero quando ela descreve uma trajetória curva com velocidade constante, lembre-se do que sente quando está viajando em um carro. Quando o carro acelera, você tende a se mover no interior dele em um sentido contrário ao da aceleração do carro. (Explicaremos a razão desse comportamento no Capítulo 4.) Logo, você tende a ser empurrado para a traseira do carro quando ele acelera para a frente (aumenta de velocidade), e para a frente do carro quando ele acelera para trás (diminui de velocidade). Quando o carro faz uma curva em uma estrada plana, você tende a ser empurrado para fora da curva; portanto, o carro possui uma aceleração para dentro da curva.Normalmente, estamos interessados na aceleração instantânea, e não na ace-leração média. A partir de agora, quando mencionamos a palavra “aceleração”, estamos nos referindo ao vetor aceleração instantânea .Cada componente do vetor aceleração � ax � ay � az é dado pela deri-vada do respectivo componente do vetor velocidade:...é igual à taxa de variação instantânea dos seus componentes de velocidade correspondentes.Cada componente do vetor aceleração instantânea da partícula...ax =dtdvxay =dtdvyaz =dtdvz (3.10)Em termos de vetores unitários, = = + +aS dvSdtdvxdtd̂dvydt êdvzdt k̂ (3.11)O componente x das equações 3.10 e 3.11, ax � dvx/dt, é a expressão da Equa-ção 2.5 para a aceleração instantânea em uma dimensão. A Figura 3.8 apresenta o exemplo de um vetor aceleração que possui ambos os componentes, x e y.Figura 3.8 Quando o arqueiro dispara a flecha, seu vetor aceleração possui tanto um componente horizontal (ax) quanto um componente vertical (ay).aSaxayBIO Aplicação Cavalos em uma trajetória curva Ao inclinar-se para o lado e bater o chão com seus cascos em um ângulo, estes cavalos submetem às suas laterais a aceleração necessária para fazer uma acentuada mudança de direção.Figura 3.7 (a) Aceleração instantânea no ponto P1 da Fig. 3.6. (b) Aceleração instantânea para o movimento ao longo de uma linha reta.Para achar a aceleração instantânea a em P1 ...v2SP2P1P1P1P2�tS0�v�v�t�v�tA aceleração instantânea aponta para o lado côncavo da trajetória.Somente se a trajetória for uma linha reta......é que a aceleração será tangente à trajetória.v1v1v1v2(a) Aceleração: trajetória curva (b) Aceleração: trajetória em linha retaSSSSSSSSa = limSa = limS... tomamos o limite de am enquanto P2 se aproxima de P1 ...S... implicando que �v e �ttendem a 0. S�tS0Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 79Como cada componente da velocidade é dado pela derivada da respectiva co-ordenada da posição, podemos escrever os componentes ax, ay e az do vetor ace-leração como ax =d2xdt2 ay =d2ydt2 az =d2zdt2 (3.12)Vamos analisar novamente os movimentos do veículo robótico mencionado no Exemplo 3.1. (a) Calcule os componentes do vetor aceleração média no intervalo entre t � 0,0 s e t � 2,0 s. (b) Ache a aceleração instantânea em t � 2,0 s.SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: no Exemplo 3.1, encontramos os componentes da velocidade instantânea do veículo em qualquer tempo t: vx =dxdt= 1-0,25 m>s22 12t2 = 1-0,50 m>s22 t vy =dydt= 1,0 m>s + 10,025 m>s32 13t22= 1,0 m>s + 10,075 m>s 23 t2Usaremos as relações vetoriais entre velocidade, aceleração média e aceleração instantânea. Na parte (a), determinamos os valores de vx e vy no início e no final do intervalo e então usamos a Equação 3.8 para calcular os componentes da ace-leração média. Na parte (b), determinamos os componentes da aceleração instantânea em qualquer instante t, tomando as derivativas de tempo dos componentes de velocidade, como nas Equações 3.10.EXECUTAR: (a) no Exemplo 3.1, achamos que em t � 0,0 s, os componentes da velocidade instantânea são vx � 0,0 m/s vy � 1,0 m/se em t = 2,0 s, os componentes sãovx � �1,0 m/s vy � 1,3 m/sDessa forma, os componentes da aceleração média no intervalo de t � 0,0 s até t � 2,0 s são: amx =�vx�t=-1,0 m>s - 0,0 m>s2,0 s - 0,0 s= - 0,50 m>s2 amy =�vy�t=1,3 m>s - 1,0 m>s2,0 s - 0,0 s= 0,15 m>s2(b) Usando as equações 3.10, encontramosax =dvxdt= -0,50 m>s2 ay =dvydt= 10,075 m>s32 12t2Podemos escrever o vetor aceleração instantânea no instante t como= =+ +aSax d̂ ay ê̂ 1-0,50 m>s22 d̂ 1 0,15 m>s32 têPara t = 2,0 s, os componentes da aceleração instantânea são-ax = -0,50 m>s2 ay == +10,15 m>s32 12,0 s2 = 0,30 m>s2 aS 1 0,50 m>s22 d̂ 10,30 m>s2 2 êO módulo da aceleração nesse instante é a = "a 2x + a 2y= "1- 0,50 m>s2 22 + 1 0,30 m>s2 22 = 0,58 m>s2O desenho desse vetor é mostrado na Figura 3.9 e mostra que o ângulo b de em relação ao sentido positivo do eixo x está entre 90º e 180º. Da Equação 3.7, obtemosarctan ayax= arctan 0,30 m>s2- 0,50 m>s2= -31°Logo, b � 180º � (�31º) � 149º.AVALIAR: a trajetória do veículo e os vetores velocidade e ace-leração para t � 0,0 s, t � 1,0 s e t � 2,0 s são indicados na Figura 3.9. [Use os resultados da parte (b) para calcular sozinho a aceleração instantânea em t � 0,0 s e t � 1,0 s.] Note que a direção do vetor é diferente da direção do vetor em todos os pontos indicados. O vetor velocidade é tangente à trajetória em cada ponto (como sempre acontece), e o vetor aceleração aponta para o lado côncavo da trajetória.SSSSSSa = 128b = 149y (m)x (m)O0,51,01,52,00,5 1,0 1,5Trajetória do veículot = 0,0 s2,02,5t = 1,0 st = 2,0 sv2v0v1a2a1a0Figura 3.9 Trajetória do veículo robótico mostrando a velocidade e a aceleração para t � 0,0 s ( 0 e 0), t � 1,0 s ( 1 e 1) e t � 2,0 s ( 2 e 2).EXEMPLO 3.2 CÁLCULO DA ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA E DA ACELERAÇÃO MÉDIA80 Física IOs componentes perpendiculares e paralelos da aceleraçãoA Equação 3.10 nos fala sobre os componentes de um vetor da aceleração ins-tantânea da partícula ao longo dos eixos x, y e z. Outra maneira útil de entender esse vetor é pensar nele em termos de seu componente paralelo à trajetória da partícula e à sua velocidade , e outro componente perpendicular à trajetória e a (Figura 3.10). Isto porque o componente paralelo a|| nos informa sobre mudan-ças no módulo da velocidade da partícula, enquanto seu componente perpendicu-lar a⊥ nos informa sobre as variações na direção do movimento da partícula. Para entender por que os componentes paralelo e perpendicular de possuem essas propriedades, consideremos dois casos especiais.Na Figura 3.11a, o vetor aceleração possui a mesma direção do vetor veloci-dade 1. Portanto, possui apenas um componente paralelo a|| (ou seja, a⊥ = 0). A variação de velocidade � durante um pequeno intervalo �t possui a mesma direção que e, portanto, também de 1. A velocidade 2, no final do intervalo �t, possui a mesma direção que 1, mas com um módulo maior. Dessa forma, durante o intervalo �t, a partícula da Figura 3.11a se moveu em linha reta com velocidade crescente (compare com a Figura 3.7b).Na Figura 3.11b, a aceleração é perpendicular ao vetor velocidade, portanto possui apenas um componente perpendicular a⊥ (ou seja, a|| � 0). Durante um pequeno intervalo �t, a variação da velocidade � é aproximadamente perpen-dicular a 1, e então 1 e 2 possuem direções diferentes. Quando o intervalo �t tende a zero, o ângulo f na figura também tende a zero, � se torna perpendicu-lar a ambos os vetores 1 e 2, os quais possuem o mesmo módulo. Em outras pa-lavras, a velocidade escalar permanece constante, porém a trajetória da partícula torna-se curva.Na maioria dos casos, a aceleração possui ambos os componentes, o paralelo e o perpendicular à velocidade , como na Figura 3.10. Então a velocidade da par-tícula sofrerá variação (descrita pelo componente paralelo a||) e a direção de seu movimento sofrerá variação (descrita pelo componente perpendicular a⊥).A Figura 3.12 mostra uma partícula descrevendo uma trajetória curva em três si-tuações diferentes: velocidade constante, velocidade crescente e velocidade escalar Figura 3.11 O efeito da aceleração direcionada (a) em paralelo e (b) ortogonal à velocidade de uma partícula.faSaSSSSSS S Sv2 = v1 + �vS S Sv2 = v1 + �vv1�vv1Há variação somente no módulo da velocidade: a velocidade escalar muda, mas não a direção.Há variação somente na direção da velocidade: a partícula se move em uma trajetória curva com velocidade escalar constante.(a) Aceleração paralela à velocidade da partícula�v(b) Aceleração perpendicular à velocidadeFigura 3.12 Vetores de velocidade e aceleração para uma partícula que atravessa um ponto P em uma trajetória curva com (a) velocidade constante, (b) velocidade crescente e (c) velocidade decrescente.aSaSaSvSvSvS... a aceleração aponta para a frente da normal.(b) Quando a velocidade é crescente ao longo de uma trajetória curva...PNormal em P... a aceleração aponta para trás da normal.(c) Quando a velocidade é decrescente ao longo de uma trajetória curva...PNormal em P... a aceleração é normal à trajetória.(a) Quando a velocidade é constante ao longo de uma trajetória curva...PNormal em PFigura 3.10 A aceleração pode ser decomposta em um componente a|| paralelo à trajetória (ou seja, ao longo da tangente da trajetória) e um componente a⊥ perpendicular à trajetória (ou seja, ao longo da normal à trajetória).Componente de aperpendicular à trajetóriaaSComponente de a paralelo à trajetóriaSSPa#a7Trajetória da partículaOrtogonal à trajetória em PTangente da trajetória em PvSCapítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 81decrescente. Quando a velocidade é constante, é perpendicular, ou normal à e à trajetória e aponta para o lado côncavo da curva (Figura 3.12a). Quando a velo-cidade é crescente, ainda existe um componente perpendicular de , mas também existe um componente paralelo que possui a mesma direção de (Figura 3.12b). Então, aponta para a frente da normal à trajetória. (Este foi o caso do Exem-plo 3.2.) Quando o módulo da velocidade é decrescente, o componente paralelo possui direção oposta à direção de , e aponta para trás da normal à trajetória (Figura 3.12c; compare com a Figura 3.7a). Usaremos essas ideias na Seção 3.4, quando estudarmos o caso especial do movimento circular.Para o veículo robótico mencionado nos exemplos 3.1 e 3.2, ache os componentes paralelos e perpendiculares da aceleração em t � 2,0 s.SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: queremos encontrar os compo-nentes do vetor aceleração que são paralelos e perpendicu-lares ao vetor velocidade . Achamos as direções de e nos exemplos 3.2 e 3.1, respectivamente. A Figura 3.9 mostra os re-sultados. Isso nos permitirá encontrar o ângulo entre os dois ve-tores e, portanto, os componentes de a partir da direção de .EXECUTAR: no Exemplo 3.2, achamos que, para t � 2,0 s, a par-tícula tem aceleração de módulo 0,58 m/s2 em um ângulo de 149º em relação ao sentido positivo do eixo x. Conforme o Exemplo 3.1, nesse mesmo instante o vetor velocidade forma um ângulo de 128º em relação ao sentido positivo do eixo x. O ângulo entre e é 149º � 128º � 21º (Figura 3.13). Desta forma, os compo-nentes paralelo e perpendicular da aceleração são:a|| � a cos 21º � (0,58 m/s2) cos 21º � 0,54 m/s2a⊥ � a sen 21º � (0,58 m/s2) sen 21º � 0,21 m/s2Figura 3.13 Os componentes paralelo e perpendicular da aceleração do veículo robótico em t � 2,0 s.aSvSComponente paralelo da aceleraçãoComponente perpendicular da aceleraçãoPosição do veículo robótico para = 2,0 sTrajetória do veículo robótico21 a7a#AVALIAR: o componente paralelo a|| é positivo (possui a mesma direção de ), indicando que a velocidade é crescente nesse instante. O valor de a|| � �0,54 m/s2 indica que a velocidade aumenta naquele instante a uma taxa de 0,54 m/s por segundo. O componente perpendicular a⊥ não é nulo e, portanto, conclu-ímos que a trajetória do veículo é curva neste ponto; em outras palavras, o veículo está fazendo uma volta.EXEMPLO 3.3 CÁLCULO DOS COMPONENTES PARALELO E PERPENDICULAR DA ACELERAÇÃOUma esquiadora se move ao longo de uma rampa (Figura 3.14a). A rampa é retilínea do ponto A ao ponto C e encurvada a partir do ponto C. A esquiadora ganha velocidade quando desce do ponto A ao ponto E, onde sua velocidade adquire valor máximo. Sua velocidade passa a diminuir depois que ela passa do ponto E. Desenhe a direção do vetor aceleração nos pontos B, D, E e F.SOLUÇÃOA Figura 3.14b demonstra nossa solução. No ponto B, a esquia-dora se move em linha reta com velocidade crescente; logo, sua aceleração aponta de cima para baixo, na mesma direção e sentido de sua velocidade.Nos pontos D, E e F, a esquiadora se move ao longo de uma trajetória curva; logo, sua aceleração possui um componente perpendicular à trajetória (no sentido do lado côncavo da trajetória) em cada um desses pontos. No ponto D também existe um componente na direção de seu mo-vimento, porque ela ainda está ganhando velocidade quando passa por esse ponto. Portanto, o vetor aceleração aponta para a frente da normal à sua trajetória no ponto D. A velocidade escalar da esquiadora não varia instantaneamente no ponto E; sua velocidade adquire o valor máximo nesse ponto, de modo EXEMPLO CONCEITUAL 3.4 ACELERAÇÃO DE UMA ESQUIADORA(Continua)ADireção do movimentoNormal em DNormal em ENormal em FBBCDEFCDEF(a)(b)aSaS aSaSFigura 3.14 (a) A trajetória da esquiadora. (b) Nossa solução.82 Física Ique sua derivada é igual a zero. Portanto, não existe nenhum componente paralelo de , e a aceleração é perpendicular ao seu movimento. Por fim, no ponto F, há um componente para-lelo com sentido oposto ao sentido de seu movimento, pois sua velocidade está diminuindo. Portanto, o vetor aceleração aponta para trás da normal à sua trajetória.Na próxima seção, examinaremos a aceleração da esquiadora quando ela saltar da rampa.(Continuação)TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 3.2 Um trenó passa pelo topo de uma colina coberta de neve. Sua velocidade diminui ao subir pela encosta da colina e aumenta ao descer pelo outro lado. Qual dos vetores (de 1 a 9) na figura demonstra corretamente a di-reção da aceleração do trenó no topo da colina? (A alternativa 9 corresponde a uma acele-ração igual a zero.) 3.3 MOVIMENTO DE UM PROJÉTILUm projétil é qualquer corpo lançado com uma velocidade inicial e que segue uma trajetória determinada exclusivamente pela aceleração da gravidade e pela resistência do ar. Uma bola de beisebol batida, uma bola de futebol chutada e uma bala disparada por uma arma de fogo são exemplos de projéteis. A curva descrita pelo projétil é a sua trajetória.A fim de analisarmos o movimento de um projétil, começaremos com um mo-delo idealizado, representando o projétil como uma partícula com aceleração (de-vida à gravidade) constante em módulo, direção e sentido. Vamos desprezar os efeitos de resistência do ar e a curvatura e rotação da Terra. Como todo modelo, ele possui algumas limitações. A curvatura da Terra tem de ser considerada no movimento de um míssil de longo alcance e a resistência do ar é de importância fundamental, por exemplo, para o movimento de um paraquedista. Contudo, po-demos aprender muito da análise desse modelo simplificado. No restante deste capítulo, a frase “movimento de um projétil” implica que desprezamos os efeitos de resistência do ar. No Capítulo 5, veremos o que ocorre quando não podemos desprezar os efeitos da resistência do ar.Notamos, inicialmente, que o movimento de um projétil está sempre confinado em um plano vertical determinado pela direção da velocidade inicial (Figura 3.15). Isso ocorre porque a aceleração da gravidade é sempre vertical; a gravidade não pode produzir um movimento lateral do projétil. Logo, o movimento de um projétil ocorre em duas dimensões. O plano do movimento será considerado o plano de coordenadas xy, sendo o eixo x horizontal e o eixo y vertical e orientado de baixo para cima.A chave para analisar o movimento de um projétil é tratar as coordenadas x e y separadamente. A Figura 3.16 ilustra isso para dois projéteis: uma bola à esquerda, largada do repouso, e uma bola à direita, projetada horizontalmente da mesma altura. A figura mostra que o movimento horizontal do projétil da direita não tem efeito sobre seu movimento vertical. Para os dois projéteis, o compo-nente x da aceleração é igual a zero, e o componente y é constante e igual a �g. (Lembre-se de que, por definição, g é sempre positivo; com a nossa escolha do sentido do eixo, ay é negativo.) Dessa forma, podemos considerar o movimento de um projétil como a combinação de um movimento horizontal com velocidade constante e um movimento vertical com aceleração constante.Assim, podemos expressar todas as relações vetoriais para posição, velocidade e aceleração usando equações separadas para os componentes horizontal e verti-cal. Os componentes de são ax � 0 ay � �g (movimento de um projétil, sem resistência do ar) (3.13)Uma vez que os componentes x e y da aceleração são constantes, podemos usar as equações 2.8, 2.12, 2.13 e 2.14 diretamente. Por exemplo, suponha que, no instante t � 0, a partícula esteja em repouso no ponto (x0, y0) e que nesse instante ou 9: aceleração = 0Trajetória do trenó1 52 48 637Figura 3.15 Trajetória de um projétil.v vS0.vS0v0aSS Tax = 0, ay = -gyOxCapítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 83sua velocidade inicial possua componentes v0x e v0y. Os componentes da acele-ração são ax � 0 e ay � �g. Considerando inicialmente o movimento no eixo x e substituindo ax por 0 nas equações 2.8 e 2.12, achamos vx � v0x (3.14) x � x0 � v0xt (3.15)Para o movimento no eixo y, substituindo x por y, vx por vy, v0x por v0y e consi-derando ay � �g para ax, achamos vy � v0y � gt (3.16) y = y0 + v0y t - 12 gt2 (3.17)Normalmente, é mais simples considerar a posição inicial (t � 0) como a ori-gem; neste caso, x0 � y0 � 0. Este ponto poderia ser, por exemplo, a posição da mão quando lançamos uma bola ou a posição de uma bala quando ela deixa o cano da arma.A Figura 3.17 mostra a trajetória de um projétil que começa na origem (ou a atravessa) em dado instante t � 0. Os componentes da posição, da velocidade e da aceleração são indicados para intervalos iguais. O componente x da velocidade, vx, é constante; o componente y da velocidade, vy, varia em quantidades iguais durante intervalos, exatamente como se o projétil fosse lançado verticalmente com a mesma velocidade inicial y.Podemos também representar a velocidade inicial 0 por seu módulo v0 (a velocidade escalar inicial) e seu ângulo a0 com o sentido positivo do eixo Ox (Figura 3.18). Em termos dessas grandezas, os componentes v0x e v0y da veloci-dade inicial são: v0x � v0 cos a0 v0y � v0 sen a0 (3.18)Usando esse resultado (Equação 3.18) nas relações indicadas pelas equações 3.14 a 3.17 e fazendo x0 � y0 � 0, obtemos as equações a seguir. Elas descrevem a posição e a velocidade do projétil na Figura 3.17 em qualquer instante t:xy.yxFigura 3.16 A bola da esquerda é largada do repouso e a bola da direita é projetada horizontalmente ao mesmo tempo.Figura 3.17 Se desprezarmos a resistência do ar, a trajetória de um projétil é uma combinação do movimento horizontal com a velocidade constante e do movimento vertical com a aceleração constante.a0No topo da trajetória, o projétil possui velocidade vertical igual a zero (vy = 0), mas sua aceleração vertical continua a ser -g.Verticalmente, o projétil exibe movimento de aceleração constante em resposta à força gravitacional terrestre. Logo, sua velocidade vertical varia em quantidades iguais durante intervalos iguais.Horizontalmente, o projétil exibe movimento de velocidade constante: sua aceleração horizontal é zero e, portanto, percorre distâncias x iguais em intervalos iguais.yOxSv1Sv0Sv2Sv3v2xv1xv0xv0xv3xv1xay = -gv1y v1yv3yv3yv3xv0y v0yaa84 Física ICoordenadas no instante t de um projétil (direção y positiva para cima e x = y = 0 em t = 0)Velocidadeem t = 0Direçãoem t = 0 TempoTempoAceleração devida à gravidade:note g 7 0.Componentes de velocidade no instante t de um projétil (direção y positiva para cima)x = 1 v0 cos a02 tvx = v0 cos a0vy = v0 sen a0 - gt(3.19)(3.20)(3.21)(3.22)y = 1 v0 sen a02 t - 12 gt2 Velocidadeem t = 0Direçãoem t = 0Podemos extrair muitas informações das equações 3.19 a 3.22. Por exemplo, em qualquer instante t, a distância r entreda física moderna inclui seções sobre medição quântica (Ca-pítulo 40) e entrelaçamento quântico (Capítulo 41), bem como dados recentes sobre o bóson de Higgs e radiação básica cósmica (Capítulo 44).Aplicações adicionais da biociência aparecem por todo o texto, principalmente na forma de fotos, com legendas explicativas, para ajudar os alunos a ver como a física está conectada a muitos avanços e descobertas nas biociências.O texto foi simplificado, com uma linguagem mais concisa e mais focada.Revendo conceitos de... relaciona os conceitos passados essenciais, no início de cada capítulo, para que os alunos saibam o que precisam ter dominado antes que se aprofundem no capítulo atual.Principais recursos de FísicaProblemas em destaque ao final dos capítulos, muitos deles revisados, oferecem uma transição entre os Exemplos de único conceito e os problemas mais desafiado-res do final do capítulo. Cada Problema em Destaque impõe um problema difícil, multiconceitual, que normalmente incorpora a física dos capítulos anteriores. Um Guia da Solução de modelo, consistindo em perguntas e dicas, ajuda a treinar os alunos para enfrentar e resolver problemas desafiadores com confiança.Grupos de problemas profundos e extensos abordam uma vasta gama de dificul-dade (com pontos azuis para indicar o nível de dificuldade relativo) e exercitam tanto a compreensão da física quanto a habilidade para a solução de problemas. Muitos problemas são baseados em situações complexas da vida real.Este livro contém mais Exemplos e Exemplos Conceituais que a maioria dos outros principais livros baseados em cálculo, permitindo que os alunos explorem desafios para a solução de problemas que não são tratados em outros livros-texto.PREFÁCIOPrefácio XIIIUma abordagem para a solução de problemas (Identificar, Preparar, Executar e Avaliar) é usada em cada Exemplo, bem como nas Estratégias para a Solução de Pro-blemas e nos Problemas em Destaque. Essa abordagem consistente ajuda os alunos a saber como enfrentar uma situação aparentemente complexa de modo ponderado, em vez de partir direto para o cálculo.Estratégias para a Solução de Problemas ensinam os alunos a tratar de tipos especí-ficos de problemas.As figuras utilizam um estilo gráfico simplificado, com foco na física de uma situa-ção, e incorporam mais anotações explicativas que na edição anterior. As duas técni-cas têm demonstrado um forte efeito positivo sobre o aprendizado.Os populares parágrafos de “Atenção” focalizam as principais ideias erradas e as áreas problemáticas do aluno.As perguntas de Teste sua compreensão, ao final da seção, permitem que os alunos verifiquem se entenderam o material, usando um formato de exercício de múltipla es-colha ou de ordenação, para descobrir problemas conceituais comuns.Resumos visuais ao final de cada capítulo apresentam as principais ideias em pala-vras, equações e imagens em miniatura, ajudando os alunos a revisarem de forma mais eficiente.Para o alunoComo aprender física para valerMark Hollabaugh, Normandale Community College, Professor EméritoA física abrange o pequeno e o grande, o velho e o novo. Dos átomos até as galáxias, dos circuitos elétricos até a aerodinâmica, a física é parte integrante do mundo que nos cerca. Você provavelmente está fazendo este curso de física baseada em cálculo como pré-requisito para cursos subsequentes que fará para se preparar para uma carreira de ciências ou engenha-ria. Seu professor deseja que você aprenda física e que goste da experiência. Ele está muito interessado em ajudá-lo a aprender essa fascinante matéria. Essa é uma das razões para ter escolhido este livro-texto para o seu curso. Também foi por isso que os doutores Young e Fre-edman me pediram para escrever esta seção introdutória. Desejamos seu sucesso!O objetivo desta seção é fornecer algumas ideias que possam auxiliá-lo durante a aprendi-zagem. Após uma breve abordagem sobre hábitos e estratégias gerais de estudo, serão apresen-tadas sugestões específicas sobre como usar o livro-texto.Preparação para este cursoCaso esteja adiantado em seus estudos de física, você aprenderá mais rapidamente alguns conceitos, por estar familiarizado com a linguagem dessa matéria. Da mesma forma, seus estudos de matemática facilitarão sua assimilação dos aspectos matemáticos da física. Seu professor poderá indicar alguns tópicos de matemática que serão úteis neste curso.Aprendendo a aprenderCada um de nós possui um estilo próprio e um método preferido de aprendizagem. Compre-ender seu estilo de aprender ajudará a focar nos aspectos da física que podem ser mais difíceis e a usar os componentes do seu curso que o ajudarão a superar as dificuldades. Obviamente, você preferirá dedicar mais tempo estudando os assuntos mais complicados. Se você aprende mais ouvindo, assistir às aulas e conferências será muito importante. Se aprende mais explicando, o trabalho em equipe vai lhe ser útil. Se a sua dificuldade está na solução de problemas, gaste uma parte maior do seu tempo aprendendo a resolver problemas. Também é fundamental desenvolver bons hábitos de estudo. Talvez a coisa mais importante que você possa fazer por si mesmo seja estabelecer uma rotina de estudos, em horários regulares e em um ambiente livre de distrações.XIV Física IResponda para si mesmo as seguintes perguntas:Estou apto a usar os conceitos matemáticos fundamentais da álgebra, da geometria e da trigonometria? (Em caso negativo, faça um programa de revisão com a ajuda de seu professor.)Em cursos semelhantes, qual foi a atividade na qual tive mais dificuldade? (Dedique mais tempo a isso.) Qual foi a atividade mais fácil para mim? (Execute-a primeiro; isso lhe dará mais confiança.)Eu entendo melhor a matéria se leio o livro antes ou depois da aula? (Pode ser que você aprenda melhor fazendo uma leitura superficial da matéria, assistindo à aula e depois relendo com mais atenção.)Eu dedico tempo adequado aos meus estudos de física? (Uma regra prática para um curso deste tipo é dedicar, em média, 2h30 de estudos para cada hora de aula. Para uma semana com 5 horas de aula, deve-se dedicar cerca de 10 a 15 horas por semana estudando física.)Devo estudar física todos os dias? (Distribua as 10 ou 15 horas de estudos durante a semana!) Em que parte do dia meus estudos são mais eficientes? (Escolha um período específico do dia e atenha-se a ele.)Eu estudo em um ambiente silencioso, que favorece minha concentração? (As distrações podem quebrar sua rotina de estudos e atrapalhar a assimilação de pontos importantes.)Trabalho em grupoCientistas e engenheiros raramente trabalham sozinhos e preferem cooperar entre si. Você aprenderá melhor e com mais prazer estudando física com outros colegas. Alguns professores aplicam métodos formais de aprendizagem cooperativa ou incentivam a formação de grupos de estudo. Você pode, por exemplo, formar seu próprio grupo de estudos com os colegas de sala de aula. Use e-mail para se comunicar com outros colegas. Seu grupo de estudos será um excelente recurso quando estiver fazendo revisões para os exames.Aulas e anotaçõesUm componente importante de seu curso são as aulas e conferências. Na física isso é espe-cialmente importante, porque seu professor geralmente faz demonstrações de princípios físi-cos, executa simulações em computador ou exibe vídeos. Todos esses recursos ajudam você a entender os princípios fundamentais da física. Não falte a nenhuma aula, e caso, por algum motivo, isso seja inevitável, peça a algum colega do seu grupo de estudos suas anotações e explique o que aconteceu.Faça anotações das aulas sob a forma de tópicos e deixe para completar os detalhes do conteúdo mais tarde. É difícil anotar palavra por palavra, portanto, anote apenas as ideias básicas. O professor pode usar um diagrama contido no livro. Deixe um espaço em suas notas para inserir o diagrama depois. Após as aulas, revise suas anotações, preenchendo as lacunas e anotandoo projétil e a origem é dada por r = "x2 + y2 (3.23)A velocidade escalar do projétil (o módulo de sua velocidade) em qualquer instante é dada por v = "vx 2 + vy 2 (3.24)A direção e o sentido da velocidade em termos do ângulo a que ela faz com o sentido positivo do eixo x (Figura 3.17) são dados por tan a =vyvx (3.25)O vetor velocidade em cada ponto é tangente à trajetória no referido ponto.Podemos deduzir a equação da forma da trajetória em termos de x e de y elimi-nando t. Pelas equações 3.19 e 3.20, encontramos t � x/(v0 cos a0) e y = 1tan a02 x -g2v0 2 cos2 a0 x2 (3.26)Não se preocupe com os detalhes desta equação; o ponto importante é sua forma geral. As grandezas v0, tan a0, cos a0 e g são constantes, de modo que essa equação tem a forma:y � bx � cx2onde b e c são constantes. Trata-se da equação de uma parábola. A trajetória do movimento de um projétil, com nosso modelo simplificado, é sempre uma pará-bola (Figura 3.19).Quando a resistência do ar não pode ser desprezada e tem de ser incluída, calcular a trajetória torna-se bem mais complicado; os efeitos da resistência do ar dependem da velocidade, de modo que a aceleração deixa de ser constante. A Figura 3.20 mostra uma simulação de computador para a trajetória de uma bola de beisebol sem resistência do ar e considerando uma resistência proporcional ao quadrado da velocidade da bola de beisebol. Vemos que a resistência do ar possui um grande efeito; o projétil não tão vai alto ou tão distante, e a trajetória deixa de ser uma parábola.Figura 3.18 Os componentes de velocidade inicial v0x e v0y de um projétil (como um bola de futebol chutada) relacionam-se com a velocidade escalar inicial v0 e o ângulo inicial a0.SyOxv0yxv0y = v0 sen a0v0x = v0 cos a0a0Sv0Imagens sucessivas da bola são separadas por intervalos iguais.Picos sucessivos diminuemem altura porque abola perde energiaa cada salto.Figura 3.19 As trajetórias aproximadamente parabólicas de uma bola quicando.10050Ox (m)100 200 300Com resistência do arVelocidade inicial de uma bola de beisebol:v0 = 50 m>s, a0 = 53,1Sem resistência do ary (m)-50-100Figura 3.20 A resistência do ar tem um efeito amplo no movimento de uma bola de beisebol. Nesta simulação, deixamos uma bola cair abaixo da altura da qual foi arremessada (por exemplo, a bola poderia ter sido arremessada de um penhasco.)Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 85Vamos retomar o Exemplo conceitual 3.4, da esquiadora. Qual é a aceleração dela nos pontos G, H e I na Figura 3.21a após ela saltar da rampa? Despreze a resistência do ar.SOLUÇÃOA Figura 3.21b mostra nossa resposta. A aceleração da esquia-dora variou de um ponto a outro enquanto ela estava sobre a rampa. Mas, assim que deixa a rampa, ela se torna um projétil. Logo, nos pontos G, H e I, e de fato em todos os pontos após ela saltar da rampa, a aceleração é orientada de cima para baixo e possui módulo g. Por mais complicada que seja a aceleração de uma partícula antes de ela se tornar um projétil, sua aceleração como projétil é dada por ax � 0, ay � �g.Figura 3.21 (a) A trajetória da esquiadora durante o salto. (b) Nossa solução.(a) (b)FGHI GHIaSaSaSEXEMPLO CONCEITUAL 3.5 ACELERAÇÃO DE UMA ESQUIADORA (CONTINUAÇÃO)ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 3.1 MOVIMENTO DE UM PROJÉTILNOTA: as estratégias recomendadas nas seções 2.4 e 2.5 para problemas de aceleração constante em movimento retilíneo também são úteis aqui.IDENTIFICAR os conceitos relevantes: o principal conceito a se lembrar é que, durante o movimento do projétil, a aceleração é descendente e possui um módulo g constante. Vale obser-var que as equações de movimento de um projétil não se apli-cam ao arremessar uma bola, porque o arremesso sofre ação tanto da mão do arremessador quanto da gravidade. Essas equações se aplicam somente após a bola deixar a mão do arremessador.PREPARAR o problema usando os seguintes passos: 1. Defina seu sistema de coordenadas e faça um desenho mos-trando os eixos. Em geral, é sempre melhor colocar o eixo x na horizontal e o eixo y na vertical, colocando a origem na posição em que um corpo inicialmente se torna um projétil (por exemplo, onde uma bola deixa a mão do arremessador ou uma bala sai do cano de uma espingarda). Nesse caso, os componentes da aceleração (constante) são ax � 0 e ay � �g, e a posição inicial é x0 � y0 � 0; e você pode usar as equações 3.19 a 3.22. (Se você escolher uma origem diferente ou eixos, terá de modificar essas equações.)2. Faça uma lista com as grandezas conhecidas e as desconhe-cidas, para descobrir quais incógnitas são suas variáveis--alvo. Por exemplo, você poderia ter a velocidade inicial (sejam os componentes ou o módulo e a direção e sentido) e precisar achar a posição e os componentes da velocidade em qualquer outro instante. Cuide para que tenha tantas equações quantas variáveis-alvo a serem achadas. Além das equações 3.19 a 3.22, as equações 3.23 a 3.26 também podem ser úteis.3. Normalmente, é útil formular o problema em palavras e posteriormente traduzi-las em símbolos. Por exemplo, quando uma partícula atinge um certo ponto? (Ou seja, qual é o valor de t?) Onde está a partícula quando sua velo-cidade possui um dado valor? (Ou seja, qual é o valor de x e de y quando os valores de vx ou vy forem especificados?) Como vy � 0 no ponto mais elevado de sua trajetória, a pergunta “Quando o projétil atinge o ponto mais elevado de sua trajetória?” se traduz em “Qual é o valor de t quando vy � 0?” Da mesma forma, “Quando o projétil retorna à sua elevação inicial?” se traduz em “Qual é o valor de t quando y � y0?”.EXECUTAR a solução: use as equações que você escolheu para achar as incógnitas. Resista à tentação de segmentar a traje-tória e analisar cada segmento separadamente. Não é neces-sário recomeçar quando o projétil atinge seu ponto mais alto! Quase sempre é mais fácil usar os mesmos eixos e escala de tempo por todo o problema. Se precisar de valores numéricos, use g � 9,80 m/s2. Lembre-se de que g é positivo!AVALIAR sua resposta: seus resultados fazem sentido? Os va-lores numéricos parecem razoáveis?86 Física IUm motociclista dublê se projeta para fora da beira de um pe-nhasco. No ponto exato da borda, sua velocidade é horizontal e possui módulo igual a 9,0 m/s. Ache a posição do motociclista, a distância da borda do penhasco e a velocidade 0,50 s após ele ter saído da beira do penhasco.SOLUÇÃOIDENTIFICAR E PREPARAR: a Figura 3.22 mostra nosso de-senho da trajetória da motocicleta com o dublê. Ele está em movimento de projétil assim que sai da beira do penhasco, que consideramos como a origem (logo, x0 � 0 e y0 � 0). A veloci-dade inicial 0 é puramente horizontal na beira do penhasco (ou seja, a0 � 0), assim, as velocidades iniciais dos componentes são v0x � v0 cos a0 � 9,0 m/s e v0y � v0 sen a0 � 0. Para achar a posição do motociclista no instante t � 0,50 s, usamos as equações 3.19 e 3.20; então, determinamos a distância a partir da origem usando a Equação 3.23. Por fim, usamos as equações 3.21 e 3.22 para encontrar os componentes de velocidade em t � 0,50 s.Figura 3.22 Nosso desenho para este problema.yyOv0Sxxvx = v0avSvy = -gtNeste ponto, a motocicleta e seu motorista tornam-se um projétil.EXECUTAR: a partir das equações 3.19 e 3.20, as coordenadas x e y em t � 0,50 s são x = v0x t = 19,0 m>s2 10,50 s2 = 4,5 m y = - 12 gt2 = - 12 19,80 m>s 22 10,50 s22 = -1,2 mO valor negativo de y mostra que, nesse instante, o motociclista está abaixo de seu ponto de partida.Da Equação 3.23, a distância do motociclista de seu ponto de partida em t � 0,50 s ér = "x2 + y2 = "14,5 m2 2 + 1-1,2 m2 2 = 4,7 mPelas equações 3.21 e 3.22, os componentes da velocidade em t � 0,50 s são:vx � v0x � 9,0 m/svy � �gt � (�9,80 m/s2) (0,50 s) � �4,9 m/sos pontos que devem ser mais desenvolvidos posteriormente. Anote as referências de páginas, equações ou seções do livro.Faça perguntas em classe ou procure o professor depois da aula. Lembre-se de que a única pergunta “tola” é aquela que não foi feita. Sua instituição poderá ter assistentes de ensino ou outros profissionais disponíveis para ajudá-lo com alguma dificuldade.ExamesFazer uma prova gera um elevado nível de estresse. Contudo, estar bem preparado e des-cansado alivia a tensão. Preparar-se para uma prova é um processo contínuo; ele começa assim que a última prova termina. Imediatamente depois de uma prova, você deve rever cuidadosa-mente os eventuais erros cometidos. Se tiver resolvido um problema e cometido erros, proceda do seguinte modo: divida uma folha de papel em duas colunas. Em uma delas, escreva a solu-ção correta do problema. Na outra, coloque sua solução e, se souber, onde foi que errou. Caso não consiga identificar o erro com certeza, ou não souber como evitar cometê-lo novamente, Prefácio XVconsulte seu professor. A física se constrói a partir de princípios básicos e é necessário corrigir imediatamente qualquer interpretação incorreta. Atenção: embora você possa passar em um exame deixando para estudar na última hora, não conseguirá reter adequadamente os concei-tos necessários para serem usados na próxima prova.AGRADECIMENTOSDesejamos agradecer às centenas de revisores e colegas que ofereceram valiosos comentá-rios e sugestões para este livro. O sucesso duradouro de Física deve-se, em grande medida, às suas contribuições.Miah Adel (U. of Arkansas at Pine Bluff), Edward Adelson (Ohio State U.), Julie Alexander (Camosun C.), Ralph Alexander (U. of Missouri at Rolla), J. G. Anderson, R. S. Anderson, Wayne Anderson (Sacramento City C.), Sanjeev Arora (Fort Valley State U.), Alex Azima (Lansing Comm. C.), Dilip Balamore (Nassau Comm. C.), Harold Bale (U. of North Dakota), Arun Bansil (Northeastern U.), John Barach (Vanderbilt U.), J. D. Barnett, H. H. Barschall, Albert Bartlett (U. of Colorado), Marshall Bartlett (Hollins U.), Paul Baum (CUNY, Queens C.), Frederick Becchetti (U. of Michigan), B. Bederson, David Bennum (U. of Nevada, Reno), Lev I. Berger (San Diego State U.), Angela Biselli (Fairfield U.), Robert Boeke (William Rainey Harper C.), Bram Boroson (Clayton State U.), S. Borowitz, A. C. Braden, James Brooks (Boston U.), Nicholas E. Brown (California Polytechnic State U., San Luis Obispo), Tony Buffa (Cali-fornia Polytechnic State U., San Luis Obispo), Shane Burns (Colorado C.), A. Capecelatro, Michael Cardamone (Pennsylvania State U.), Duane Carmony (Purdue U.), Troy Carter (UCLA), P. Catranides, John Cerne (SUNY at Buffalo), Shinil Cho (La Roche C.), Tim Chupp (U. of Michigan), Roger Clapp (U. of South Florida), William M. Cloud (Eastern Illinois U.), Leonard Cohen (Drexel U.), W. R. Coker (U. of Texas, Austin), Malcolm D. Cole (U. of Mis-souri at Rolla), H. Conrad, David Cook (Lawrence U.), Gayl Cook (U. of Colorado), Hans Courant (U. of Minnesota), Carl Covatto (Arizona State U.), Bruce A. Craver (U. of Dayton), Larry Curtis (U. of Toledo), Jai Dahiya (Southeast Missouri State U.), Dedra Demaree (Geor-getown U.), Steve Detweiler (U. of Florida), George Dixon (Oklahoma State U.), Steve Drasco (Grinnell C.), Donald S. Duncan, Boyd Edwards (West Virginia U.), Robert Eisenstein (Carne-gie Mellon U.), Amy Emerson Missourn (Virginia Institute of Technology), Olena Erhardt (Richland C.), William Faissler (Northeastern U.), Gregory Falabella (Wagner C.), William Fasnacht (U.S. Naval Academy), Paul Feldker (St. Louis Comm. C.), Carlos Figueroa (Cabrillo C.), L. H. Fisher, Neil Fletcher (Florida State U.), Allen Flora (Hood C.), Robert Folk, Peter Fong (Emory U.), A. Lewis Ford (Texas A&M U.), D. Frantszog, James R. Gaines (Ohio State U.), Solomon Gartenhaus (Purdue U.), Ron Gautreau (New Jersey Institute of Technology), J. David Gavenda (U. of Texas, Austin), Dennis Gay (U. of North Florida), Elizabeth George (Wittenberg U.), James Gerhart (U. of Washington), N. S. Gingrich, J. L. Glathart, S. Goodwin, Rich Gottfried (Frederick Comm. C.), Walter S. Gray (U. of Michigan), Paul Gresser (U. of Maryland), Benjamin Grinstein (UC, San Diego), Howard Grotch (Pennsylvania State U.), John Gruber (San Jose State U.), Graham D. Gutsche (U.S. Naval Academy), Michael J. Harrison (Michigan State U.), Harold Hart (Western Illinois U.), Howard Hayden (U. of Connecticut), Carl Helrich (Goshen C.), Andrew Hirsch (Purdue U.), Linda Hirst (UC, Merced), Laurent Hodges (Iowa State U.), C. D. Hodgman, Elizabeth Holden (U. of Wisconsin, Platteville), Mi-chael Hones (Villanova U.), Keith Honey (West Virginia Institute of Technology), Gregory Hood (Tidewater Comm. C.), John Hubisz (North Carolina State U.), Eric Hudson (Pennsylva-nia State U.), M. Iona, Bob Jacobsen (UC, Berkeley), John Jaszczak (Michigan Technical U.), Alvin Jenkins (North Carolina State U.), Charles Johnson (South Georgia State C.), Robert P. Johnson (UC, Santa Cruz), Lorella Jones (U. of Illinois), Manoj Kaplinghat (UC, Irvine), John Karchek (GMI Engineering & Management Institute), Thomas Keil (Worcester Polytechnic Institute), Robert Kraemer (Carnegie Mellon U.), Jean P. Krisch (U. of Michigan), Robert A. Kromhout, Andrew Kunz (Marquette U.), Charles Lane (Berry C.), Stewart Langton (U. of Victoria), Thomas N. Lawrence (Texas State U.), Robert J. Lee, Alfred Leitner (Rensselaer Polytechnic U.), Frederic Liebrand (Walla Walla U.), Gerald P. Lietz (DePaul U.), Gordon Lind (Utah State U.), S. Livingston (U. of Wisconsin, Milwaukee), Jorge Lopez (U. of Texas, El Paso), XVI Física IElihu Lubkin (U. of Wisconsin, Milwaukee), Robert Luke (Boise State U.), David Lynch (Iowa State U.), Michael Lysak (San Bernardino Valley C.), Jeffrey Mallow (Loyola U.), Robert Mania (Kentucky State U.), Robert Marchina (U. of Memphis), David Markowitz (U. of Connecticut), Philip Matheson (Utah Valley U.), R. J. Maurer, Oren Maxwell (Florida International U.), Jo-seph L. McCauley (U. of Houston), T. K. McCubbin, Jr. (Pennsylvania State U.), Charles Mc-Farland (U. of Missouri at Rolla), James Mcguire (Tulane U.), Lawrence McIntyre (U. of Arizona), Fredric Messing (Carnegie Mellon U.), Thomas Meyer (Texas A&M U.), Andre Mi-rabelli (St. Peter’s C., New Jersey), Herbert Muether (SUNY, Stony Brook), Jack Munsee (Ca-lifornia State U., Long Beach), Lorenzo Narducci (Drexel U.), Van E. Neie (Purdue U.), Forrest Newman (Sacramento City C.), David A. Nordling (U.S. Naval Academy), Benedict Oh (Pen-nsylvania State U.), L. O. Olsen, Michael Ottinger (Missouri Western State U.), Russell Palma (Minnesota State U., Mankato), Jim Pannell (DeVry Institute of Technology), Neeti Parashar (Purdue U., Calumet), W. F. Parks (U. of Missouri), Robert Paulson (California State U., Chico), Jerry Peacher (U. of Missouri at Rolla), Arnold Perlmutter (U. of Miami), Lennart Peterson (U. of Florida), R. J. Peterson (U. of Colorado, Boulder), R. Pinkston, Ronald Poling (U. of Minne-sota), Yuri Popov (U. of Michigan), J. G. Potter, C. W. Price (Millersville U.), Francis Prosser (U. of Kansas), Shelden H. Radin, Roberto Ramos (Drexel U.), Michael Rapport (Anne Arundel Comm. C.), R. Resnick, James A. Richards, Jr., John S. Risley (North Carolina State U.), Fran-cesc Roig (UC, Santa Barbara), T. L. Rokoske, Richard Roth (Eastern Michigan U.), Carl Rot-ter (U. of West Virginia), S. Clark Rowland (Andrews U.), Rajarshi Roy (Georgia Institute of Technology), Russell A. Roy (Santa Fe Comm. C.), Desi Saludes (Hillsborough Comm. C.), Thomas Sandin (North Carolina A&T State U.), Dhiraj Sardar (U. of Texas, San Antonio), Tumer Sayman (Eastern Michigan U.), Bruce Schumm (UC, Santa Cruz), Melvin Schwartz (St. John’s U.), F. A. Scott, L. W. Seagondollar, Paul Shand (U. of Northern Iowa), Stan Shepherd (Pennsylvania State U.), Douglas Sherman (San Jose State U.), Bruce Sherwood (Carnegie MellonU.), Hugh Siefkin (Greenville C.), Christopher Sirola (U. of Southern Mississippi), To-masz Skwarnicki (Syracuse U.), C. P. Slichter, Jason Slinker (U. of Texas, Dallas), Charles W. Smith (U. of Maine, Orono), Malcolm Smith (U. of Lowell), Ross Spencer (Brigham Young U.), Julien Sprott (U. of Wisconsin), Victor Stanionis (Iona C.), James Stith (American Institute of Physics), Chuck Stone (North Carolina A&T State U.), Edward Strother (Florida Institute of Technology), Conley Stutz (Bradley U.), Albert Stwertka (U.S. Merchant Marine Academy), Kenneth Szpara-DeNisco (Harrisburg Area Comm. C.), Devki Talwar (Indiana U. of Pennsyl-vania), Fiorella Terenzi (Florida International U.), Martin Tiersten (CUNY, City C.), David Toot (Alfred U.), Greg Trayling (Rochester Institute of Technology), Somdev Tyagi (Drexel U.), Matthew Vannette (Saginaw Valley State U.), Eswara Venugopal (U. of Detroit, Mercy), F. Verbrugge, Helmut Vogel (Carnegie Mellon U.), Aaron Warren (Purdue U., North Central), Ro-bert Webb (Texas A&M U.), Thomas Weber (Iowa State U.), M. Russell Wehr (Pennsylvania State U.), Robert Weidman (Michigan Technical U.), Dan Whalen (UC, San Diego), Lester V. Whitney, Thomas Wiggins (Pennsylvania State U.), Robyn Wilde (Oregon Institute of Techno-logy), David Willey (U. of Pittsburgh, Johnstown), George Williams (U. of Utah), John Williams (Auburn U.), Stanley Williams (Iowa State U.), Jack Willis, Suzanne Willis (Northern Illinois U.), Robert Wilson (San Bernardino Valley C.), L. Wolfenstein, James Wood (Palm Beach Ju-nior C.), Lowell Wood (U. of Houston), R. E. Worley, D. H. Ziebell (Manatee Comm. C.), George O. Zimmerman (Boston U.)Além disso, gostaria de agradecer aos meus colegas do passado e do presente da UCSB, in-cluindo Rob Geller, Carl Gwinn, Al Nash, Elisabeth Nicol e Francesc Roig, pelo dedicado apoio e pelas valiosas discussões. Expresso minha gratidão especial aos meus primeiros professores, Willa Ramsay, Peter Zimmerman, William Little, Alan Schwettman e Dirk Walecka, por me mostrarem como é claro e envolvente o ensino da física, e a Stuart Johnson, por me convidar a participar deste projeto como coautor deste livro a partir da nona edição. Meus especiais agradecimentos a Lewis Ford, por criar diversos novos problemas para esta edição, incluindo a nova categoria de problemas DADOS; a Wayne Anderson, que revisou cuidadosamente todos os problemas e os resolveu, com Forrest Newman e Michael Ottinger; e a Elizabeth George, que forneceu a maior parte da nova categoria de Problemas com Contexto. Agradeço em particular a Tom Sandin, por suas diversas contribuições para os problemas de final de capítulo, incluindo a verificação cuidadosa de todos eles e a escrita de outros novos. Também tiro meu chapéu e Prefácio XVIIdou as boas-vindas a Linda Hirst, por colaborar com uma série de ideias que se tornaram novos recursos de Aplicação nesta edição. Quero expressar meu agradecimento especial à equipe edi-torial da Pearson norte-americana: a Nancy Whilton, pela visão editorial; a Karen Karlin, por sua leitura atenta e cuidadoso desenvolvimento desta edição; a Charles Hibbard, pela cuidadosa leitura das provas; e a Beth Collins, Katie Conley, Sarah Kaubisch, Eric Schrader e Cindy John-son, por manter a produção editorial fluindo. Acima de tudo, desejo expressar minha gratidão e meu amor à minha esposa, Caroline, a quem dedico minhas contribuições a este livro. Alô, Caroline, a nova edição finalmente saiu – vamos comemorar!Diga-me o que você pensa!Gosto de receber notícias de alunos e professores, especialmente com relação a erros ou defeitos que vocês encontrarem nesta edição. O falecido Hugh Young e eu dedicamos muito tempo e esforço para escrever o melhor livro que soubemos escrever, e espero que ele o ajude à medida que você ensina e aprende física. Por sua vez, você pode me ajudar avisando sobre o que ainda precisa ser melhorado! Por favor, fique à vontade para entrar em contato eletronicamente ou pelo correio comum. Seus comentários serão muito bem recebidos.Agosto de 2014Roger A. FreedmanDepartment of PhysicsUniversity of California, Santa BarbaraSanta Barbara, CA 93106-9530airboy@physics.ucsb.eduhttp://www.physics.ucsb.edu/~airboy/Twitter: @RogerFreedmanEsse material é de uso exclusivo para professores e está pro-tegido por senha. Para ter acesso a ele, os professores que adotam o livro devem entrar em contato com seu representante Pearson ou enviar e-mail para .Site de apoio do livroNa Sala Virtual deste livro (), professores e estudantes podem acessar os seguintes materiais adicionais a qualquer momento:Para professores: Apresentações em PowerPoint; Manual de soluções; Exercícios adicionais (em inglês).Para estudantes: Exercícios adicionais.1? Tornados são gerados por fortes tempestades. Dessa forma, torna-se fundamental aprendermos a fazer uma pre-visão da trajetória de tempesta-des. Considere um furacão se movendo com uma velocidade de 15 km/h em uma direção formando um ângulo de 37º com o eixo leste-oeste e se deslocando no sentido norte. Faça o cálculo de quanto ele se afastará da origem ao longo do eixo norte-sul no sentido norte em 2 horas. (I) 30 km; (II) 24 km; (III) 18 km; (IV) 12 km; (V) 9 km.UNIDADES, GRANDEZAS FÍSICAS E VETORESOBJETIVOS DE APRENDIZAGEMAo estudar este capítulo, você aprenderá:1.1 O que é uma teoria física.1.2 Os quatro passos que você pode usar para resolver quaisquer problemas físicos.1.3 Três grandezas fundamentais da física e as grandezas que os físicos usam para medi-las.1.4 Como trabalhar com grandezas em seus cálculos.1.5 Como manter o controle de algarismos significativos em seus cálculos.1.6 Como fazer estimativas grosseiras de ordens de grandeza.1.7 A diferença entre escalares e vetores, e como somar e subtrair vetores graficamente.1.8 O que são os componentes de um vetor e como usá-los em cálculos.1.9 O que são vetores unitários e como usá-los com componentes para descrever vetores.1.10 Duas maneiras de multiplicar vetores: o produto escalar e o produto vetorial.A física é uma das ciências mais importantes. Cientistas de todas as disciplinas usam os conceitos da física, desde os químicos, que estudam a estrutura das moléculas, até os paleontólogos, que tentam reconstruir como os dinossau-ros caminhavam, e os climatologistas, que analisam como as atividades humanas afetam a atmosfera e os oceanos. A física é também a base de toda engenharia e tecnologia. Nenhum engenheiro pode projetar uma tela plana de TV, uma prótese de perna ou mesmo uma ratoeira mais eficiente sem antes entender os princípios básicos da física.O estudo da física também é uma aventura. Ela poderá ser desafiadora, algumas vezes frustrante, ocasionalmente dolorosa e, com frequência, significativamente gratificante. Se desejar saber por que o céu é azul, como as ondas de rádio se propagam através do espaço ou como um satélite permanece em órbita, você en-contrará as respostas ao aplicar conceitos fundamentais da física. Acima de tudo, você passará a encarar a física como uma elevada aquisição da mente humana na busca para compreender nossa existência e nosso mundo.Neste capítulo inicial, apresentaremos algumas preliminares importantes que se-rão necessárias em nosso estudo. Discutiremos a natureza da teoria física e o uso de modelos idealizados para representar sistemas físicos. Introduziremos os sistemas de unidades usados para descrever grandezas físicas e discutiremos como represen-tar a exatidão de um número. Apresentaremos exemplos de problemas para os quais não podemos (ou não desejamos) encontrar uma resposta exata, porém para os quais um cálculo aproximado pode ser útil e interessante. Finalmente, estudaremos diver-sos aspectos dos vetores e da álgebra vetorial. Os vetores serão permanentemente necessários em nossos estudosde física para descrever e analisar grandezas físicas que possuem módulo e direção, como velocidade e força.2 Física I1.1 A NATUREZA DA FÍSICAA física é uma ciência experimental. O físico observa fenômenos naturais e tenta encontrar os padrões e os princípios que relacionam esses fenômenos. Esses padrões são denominados teorias físicas ou, quando bem estabelecidos e bastante utilizados, leis ou princípios físicos.ATENÇÃO O significado de “teoria” Chamar uma ideia de teoria não significa que se trata apenas de um pensamento aleatório ou um conceito não comprovado. Uma teoria é, isso sim, uma explicação de fenômenos naturais pautada em observação e princípios fun-damentais aceitos. Exemplo disso é a bem fundamentada teoria da evolução biológica, resultante de extensiva pesquisa e observação por gerações de biólogos.Para desenvolver uma teoria física, o físico deve aprender a fazer perguntas pertinentes, projetar experimentos para tentar respondê-las e tirar conclusões apropriadas dos resultados. A Figura 1.1 mostra duas importantes instalações utilizadas em experimentos de física.De acordo com a lenda, Galileu (Galileo Galilei — 1564-1642) deixava cair objetos leves e pesados do topo da inclinada Torre de Pisa (Figura 1.1a) para veri-ficar se suas velocidades de queda livre eram diferentes. Examinando os resulta-dos dessas experiências (que eram na verdade muito mais sofisticadas do que as contadas na lenda), ele deu o salto intuitivo para o princípio, ou teoria, segundo o qual a aceleração de um corpo em queda livre não depende de seu peso.O desenvolvimento de teorias físicas como a de Galileu é sempre um processo com caminhos indiretos, becos sem saída, suposições erradas e o abandono de teorias malsucedidas em favor de outras mais promissoras. A física não é sim-plesmente uma coleção de fatos e de princípios; também é o processo pelo qual chegamos a princípios gerais que descrevem como o universo físico se comporta.Nunca se considera uma teoria como a verdade final e definitiva. Existe sem-pre a possibilidade de novas observações exigirem a revisão ou o abandono de uma teoria. Faz parte da natureza da teoria física podermos desaprovar uma teoria ao encontrarmos um comportamento que não seja coerente com ela, porém nunca podemos provar que uma teoria esteja sempre correta.Retornando a Galileu, suponha que você deixe cair uma bala de canhão e uma pena. Certamente elas não caem com a mesma aceleração. Isto não significa que Galileu estivesse errado; significa que sua teoria estava incompleta. Se deixásse-mos cair a bala de canhão e a pena no vácuo para eliminar os efeitos do ar, então elas cairiam com a mesma aceleração. A teoria de Galileu possui um limite de validade: ela se aplica somente a objetos para os quais a força exercida pelo ar (em decorrência do empuxo e da resistência do ar) seja muito menor que o peso do objeto. Objetos como penas ou paraquedas estão claramente fora desse limite.1.2 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE FÍSICAEm algum ponto em seus estudos, a maioria dos estudantes de física pensa: “Entendo os conceitos, mas não consigo resolver os problemas”. Em física, po-rém, compreender realmente um conceito ou princípio significa ser capaz de aplicá-lo a uma variedade de problemas práticos. Aprender a resolver problemas é fundamental; você não sabe física, a menos que você faça física.Como você aprende a resolver problemas de física? Em todo capítulo deste livro, você encontrará Estratégias para a solução de problemas que apresentam técnicas de preparo e solução de problemas de modo eficiente e preciso. Após cada Estratégia para a solução de problemas, há um ou mais Exemplos resolvi-dos que demonstram a aplicação dessas técnicas. (As Estratégias para a solução de problemas também o manterão longe de técnicas incorretas que você pode se sentir tentado a usar.) Há também exemplos extras que não estão associados Figura 1.1 Dois ambientes de pesquisa.FPO(a) Segundo a lenda, Galileu investigava a queda livre de corpos deixando-os cair da Torre de Pisa, na Itália. (b) A nave espacial Planck foi projetada para estudar a radiação eletromagnética que restou do Big Bang, 13,8 bilhões de anos atrás. Também se diz que ele estudou o movimento pendular observando as oscilações de um candelabro na catedral atrás da torre.A imagem destes técnicos está refletida no espelho de coleta de luz da nave durante o teste de pré-lançamento.Capítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 3a uma estratégia em particular, além de um problema em destaque que usa as principais ideias do capítulo. Estude essas estratégias e exemplos com atenção e resolva por si mesmo cada exemplo em um pedaço de papel.Diferentes técnicas são úteis para a resolução de diversos tipos de problemas de física e, por isso, este livro apresenta dezenas de Estratégias para a solução de problemas. Entretanto, seja qual for o tipo de problema a solucionar, há algumas etapas essenciais a seguir. (As mesmas etapas são igualmente úteis para proble-mas de matemática, engenharia, química e muitas outras áreas.) Neste livro, or-ganizamos esses passos em quatro etapas de solução de problemas.Todas as Estratégias para a solução de problemas e os Exemplos deste livro seguirão esses quatro passos. (Em alguns casos, combinaremos os dois ou três primeiros passos.) Recomendamos que você siga essas mesmas etapas quando for resolver um problema. Você pode achar útil usar o seguinte acrônimo: IPEA, segundo o qual você poderá lembrar das iniciais das etapas importantes para re-solver um problema: Identificar, Preparar, Executar e Avaliar.ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 1.1 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE FÍSICAIDENTIFICAR os conceitos relevantes: use as condições físi-cas estabelecidas no problema para auxiliá-lo na decisão de quais conceitos físicos são relevantes. Nesse ponto, você deve identificar a variável-alvo do problema — ou seja, as grandezas cujos valores está tentando descobrir, como a ve-locidade em que um projétil atinge o solo, a intensidade do som de uma sirene ou a dimensão da imagem produzida por uma lupa. Identifique as grandezas conhecidas, conforme foi estabelecido ou se pode deduzir pelo enunciado do problema. Esse passo é essencial se o problema pede como solução uma expressão algébrica ou uma resposta numérica.PREPARAR o problema: dados os conceitos que você identifi-cou, as grandezas conhecidas e as variáveis-alvo, escolha as equações que vai utilizar para resolver o problema e decida como vai usá-las. Assegure-se de que as variáveis que você identificou possuem uma correlação exata com as que estão presentes nas equações. Se for apropriado, faça um desenho da situação descrita no problema (papel milimetrado, régua, transferidor e compasso irão ajudá-lo a fazer desenhos claros e úteis). Da melhor maneira que puder, estime quais serão seus resultados e, se for apropriado, faça uma previsão de qual será o comportamento físico do sistema como um todo. Os exemplos desenvolvidos neste livro incluem dicas a res-peito de como fazer esses tipos de estimativas e previsões. Se isso parecer desafiador demais, não se preocupe: você vai melhorar com a prática!EXECUTAR a solução: é nesse momento que você “faz as con-tas”. Estude os exemplos resolvidos para ver o que se deve fazer nesse passo.AVALIAR sua resposta: compare sua resposta com suas estima-tivas e reveja tudo se encontrar alguma discrepância. Se sua resposta inclui uma expressão algébrica, assegure-se de que ela representa corretamente o que aconteceria se as variáveis da expressão assumissem valores muito pequenos ou muito grandes. Para referências futuras, tome nota de qualquer res-posta que represente uma quantidade que tenha relevância significativa. Questione-se como você poderia responder a uma versão mais genérica ou mais difícil do problema que acabou de resolver.Modelos idealizadosNa linguagem cotidiana, geralmente usamosa palavra “modelo” para indicar uma réplica em pequena escala, como um modelo de estrada de ferro ou uma pessoa que exibe artigos de vestuário (ou a ausência deles). Na física, um modelo é uma versão simplificada de um sistema físico que seria complicado demais para analisar com detalhes completos.Por exemplo, suponha que queiramos analisar o movimento de uma bola de beisebol atirada ao ar (Figura 1.2a). O quão complicado é este problema? A bola não é uma esfera perfeita (ela possui costuras salientes) e gira durante seu movi-mento no ar. O vento e a resistência do ar influenciam seu movimento, o peso da bola varia ligeiramente com a variação da altitude etc. Se tentarmos incluir todos esses fatores, a análise se tornará inutilmente complexa. Em vez disso, criamos uma versão simplificada do problema. Desprezamos a forma e o tamanho da bola considerando-a um objeto puntiforme, ou partícula. Desprezamos a resistência supondo que ela se desloca no vácuo e consideramos o peso constante. Agora o problema se torna bastante simples de resolver (Figura 1.2b). Analisaremos esse modelo com detalhes no Capítulo 3.Figura 1.2 Para simplificar a análise de (a) uma bola de beisebol arremessada ao ar, usamos (b) um modelo idealizado. Direção do movimentoDireção do movimentoTrate a bola de beisebol como um objeto puntiforme (partícula).Sem resistência do ar.A bola de beisebol gira e tem um formato complexo.A resistência do ar e o vento exercem forças sobre a bola.A força gravitacional sobre a bola depende da altitude.A força gravitacional sobre a bola é constante.(a) Arremesso real de uma bola de beisebol(b) Modelo idealizado da bola de beisebol4 Física ITemos de ignorar completamente alguns efeitos menores para fazer um mo-delo idealizado, mas precisamos ser cuidadosos para não negligenciar demais. Se ignorarmos completamente os efeitos da gravidade, então nosso modelo prevê que, quando a bola for lançada, ela seguirá em uma linha reta e desaparecerá no espaço. Um modelo útil simplifica um problema o suficiente para torná-lo viável, mas ainda mantém suas características essenciais.A validade de nossas previsões usando um modelo é limitada pela validade do modelo. Por exemplo, a previsão de Galileu sobre a queda livre de corpos (Seção 1.1) corresponde a um modelo idealizado que não inclui os efeitos da resistência do ar. Esse modelo funciona bem para uma bala de canhão, mas nem tanto para uma pena.Os modelos idealizados desempenham um papel crucial neste livro. Observe--os nas discussões de teorias físicas e suas aplicações em problemas específicos.1.3 PADRÕES E UNIDADESComo aprendemos na Seção 1.1, a física é uma ciência experimental. Os ex-perimentos exigem medidas, e normalmente usamos números para descrever os resultados dessas medidas. Qualquer número usado para descrever quantitati-vamente um fenômeno físico denomina-se grandeza física. Por exemplo, duas grandezas físicas para descrever você são o seu peso e a sua altura. Algumas grandezas físicas são tão fundamentais que podemos defini-las somente descre-vendo como elas são medidas. Tal definição denomina-se definição operacional. Alguns exemplos: medir distância usando uma régua e medir intervalo usando um cronômetro. Em outros casos, definimos uma grandeza física descrevendo como calculá-la a partir de outras grandezas que podemos medir. Portanto, pode-ríamos definir a velocidade média de um objeto em movimento como a distância percorrida (medida com uma régua) dividida pelo intervalo do percurso (medido com um cronômetro).Quando medimos uma grandeza, sempre a comparamos com um padrão de re-ferência. Quando dizemos que uma Ferrari 458 Itália possui comprimento de 4,53 metros, queremos dizer que possui comprimento 4,53 vezes maior que uma barra de um metro, a qual, por definição, possui comprimento igual a um metro. Tal padrão define uma unidade da grandeza. O metro é uma unidade de distância, e o segundo é uma unidade de tempo. Quando usamos um número para descrever uma grandeza física, precisamos sempre especificar a unidade que estamos utili-zando; descrever uma distância simplesmente como “4,53” não significa nada.Para calcular medidas confiáveis e precisas, necessitamos de medidas que não variem e que possam ser reproduzidas por observadores em diversos locais. O sistema de unidades usado por cientistas e engenheiros, em todas as partes do mundo, normalmente é denominado “sistema métrico”, porém, desde 1960, ele é conhecido oficialmente como Sistema Internacional ou SI (das iniciais do nome francês Système International). No Apêndice A, apresentamos uma lista de todas as unidades SI, bem como as definições das unidades mais fundamentais.TempoDe 1889 até 1967, a unidade de tempo era definida como certa fração do dia solar médio, a média de intervalos entre sucessivas observações do Sol em seu ponto mais elevado no céu. O padrão atual, adotado desde 1967, é muito mais preciso. Fundamentado em um relógio atômico, que usa a diferença de energia entre os dois menores estados de energia do átomo de césio (133Cs). Quando bom-bardeado com micro-ondas na frequência apropriada, os átomos de césio sofrem transições de um estado para outro. Um segundo (abreviado como s) é definido como o tempo necessário para a ocorrência de 9.192.631.770 ciclos dessa radiação (Figura 1.3a).Figura 1.3 Medições utilizadas para determinar (a) a duração de um segundo e (b) o tamanho de um metro. Essas medições são úteis para estabelecer padrões porque oferecem os mesmos resultados, não importa onde sejam feitas.Fonte de luzÁtomo de césio-133Átomo de césio-133Radiação de micro-ondas com uma frequência exata de 9.192.631.770 ciclos por segundo...... faz com que o elétron mais externo de um átomo de césio-133 inverta a direção de seu giro.Um relógio atômico usa esse fenômeno para sintonizar micro-ondas a esta frequência exata. Em seguida, ele conta um segundo a cada 9.192.631.770 ciclos.A luz percorre exatamente 299.792.458 m em 1 s.(a) Medição de um segundo(b) Medindo o metro0:00 s 0:01 sElétron mais externoCapítulo 1 – Unidades, grandezas físicas e vetores 5ComprimentoEm 1960, um padrão atômico para o metro também foi estabelecido, usando--se o comprimento de onda da luz vermelho-laranja emitida pelos átomos do criptônio (86Kr) em um tubo de descarga luminescente. Por esse padrão de com-primento, a velocidade da luz em um vácuo foi medida em 299.792.458 m/s. Em novembro de 1983, o padrão de comprimento foi novamente alterado, de modo que a velocidade da luz no vácuo foi definida como sendo exatamente igual a 299.792.458 m/s. Logo, a nova definição de metro (abreviado como m) passou a ser a distância que a luz percorre no vácuo em uma fração de 1/299.792.458 do segundo (Figura 1.3b). Essa definição moderna fornece um padrão de compri-mento muito mais preciso que o construído com base no comprimento de onda da luz.MassaA unidade de massa, o quilograma (abreviado como kg), é definida como a massa de um cilindro específico feito com uma liga de platina e irídio. Esse cilin-dro é mantido na Agência Internacional de Pesos e Medidas em Sèvres, próximo de Paris (Figura 1.4). Um padrão atômico para massa seria mais fundamental, porém, até o presente, não podemos medir massas em escala atômica com exatidão igual à obtida em medidas macroscópicas. O grama (que não é uma unidade fundamental) é igual a 0,001 quilograma.Outras unidades derivadas podem ser formadas a partir das unidades de me-dida fundamentais. Por exemplo, as unidades de velocidade são metros por se-gundo, ou m/s; estas são as unidades de comprimento (m) divididas pelas de tempo (s).Prefixos das unidadesUma vez definidas as unidades fundamentais, é fácil introduzir unidades maio-res e menores para as mesmas grandezas físicas. No sistema métrico, elas são relacionadas com as unidades fundamentais (ou, no caso da massa, com o grama)